9.2 내적공간; *푸리에 급수

chapter 9. 일반벡터공간 (전자책)


 동영상 강의 주소: http://youtu.be/nIkYF-uvFdA


 이 절에서는 상의 Euclid 내적(dot product)을 일반화하여 일반적인 벡터공간에서 길이, 거리, 직교성에 대한 개념을 소개할 것이다.


9.2 연습문제


 문제풀이 동영상 http://www.youtube.com/watch?v=UuSBrN4-4Fc

http://youtu.be/HY1yp--98-Q 

   


[1-4] 문제 1-4에서 주어진 각각의 2×2 행렬이 위의

내적임을 보여라.가 주어졌을 때, 의 관계식으로

나타내라.


        1.

Ans

        

        


        2. 

Ans


        3.

Ans


        4.      

Ans


        [5-6] 다음과 같이 주어진 3×3행렬이 상에서내적임

        을 보이시오.가 주어졌을 때, 의 관계식으로

        나타내어라.


        5. 

Ans

 


        6.

Ans

 


        [7-10] Euclid 내적이 정의되어 있는 복소내적공간 에서 다음을

        답하여라.

                 


        7. 를 구하여라.

Ans

 1


        8. 를 구하여라.

Ans

 

                


        9. Cauchy-Schwartz 부등식을 확인하여라.

Ans


        10. 삼각부등식을 확인하여라.

Ans

  


        11. 에서 , 에 대하여

                

        로 정의된 함수는 내적이다. 다음을 구하여라.

        (a) 를 만족하는 대칭행렬을 구하여라.

Ans

 

        (b) 의 크기 를 구하여라.

Ans

 

        (c) 의 크기 를 구하여라.

Ans

 

        (d) 를 구하여라.

Ans

 


        12. 에서 로 정의된 내적에 대

        하여 다음을 구하여라. (단 , )

        (a) 를 만족하는 대칭행렬 를 구하여라.

Ans

  

        (b) 의 크기 를 구하여라.

Ans

 


        (c) 의 크기 를 구하여라.

Ans

 


        (d) 를 구하여라.

Ans

    입니다.


토론과 발표


        P1. 이 서로 다른 실수이다. 에 대하여

                

        로 정의하면 상의 내적임을 보여라.

Ans

  로 정의

                

                

                


        P2. 위의 문제인 P1에서 정의된 내적에 대하여 다음에 답하여라.

        (a) 이고 , 일 때                 Cauchy-Schwartz 부등식을 확인하여라.

Ans

  

                

                

                


                

        (b) 일 때 의 직교기저를 건설하시오.

Ans

  표준기저 을 이용하여 직교기저 를 구

                구하자.

                

                이라 놓자.

                

                

                

                

                

        

        P3. Euclid 내적을 갖는 벡터공간 상에서

                 

        를 Gram-Schmidt 과정을 이용하여 정규직교기저로 바꾸어라.


        

Ans

  

                

                

                

                

                

                

                

                 

                 

                 

                 

                 

                

                 

                 

        따라서 이다.

        잠깐: 아래 예를 보세요! 내적을 이용하지 않고 dot product 를 이용하면 다음의 엉뚱한

         얻게 됩니다.

        (복소수 경우) 내적을 계산할 때는 complex conjugate 를 고려하여야 한답니다.


        P3. (새 문제) Euclid 내적을 갖는 벡터공간 상에서

                 

        를 Gram-Schmidt 과정을 이용하여 정규직교기저로 바꾸어라.

        

Ans

  

                

                

                

                

                

                =

                

                그러면 는 각각 서로 직교이고 norm이 1이고, 정규직교기저이다.


        P4. 내적 공간 안에서 ‘’ 이 아닌 벡터 이 서로 직교                  (mutually orthogonal) 이라면 그들은 일차 독립임을 보여라.

        

Ans

  정리 7.7.1 증명 참고 Suppose

                (은 스칼라)

                

                 

                 

                 

                Because is orthogonal to , since

                 is nonzero,

                 is not zero and so

                Similarly, must be zeros.

                 are linearly independent.


        P5. 직교 벡터 에 의해서 생성된 부분공간 로의 벡터

        의 정사영이 라면, 벡터 에 직교함을 보여라.

        

Ans

  임을 확인하면 된다.

                

                

                

                (왜냐하면 i.e.,)


        P6.

예제 3

에서 정의된 내적이 내적공리 (i), (ii), (iii)을 만족함을 보여라.

        

Ans

 

                (i)


                (ii)

                (iii)


        P7. 벡터공간 상의 내적을

                

        으로 정의할 때 다음을 구하여라.

        (a) 서로 다른 양의 정수 에 대하여

        를 구하여라.

        

Ans

  

                 

                 

                 


        (b) 직교기저 에 대한

        정규직교기저 를 구하여라.

        

Ans

실습:

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푸리에 급수 Fourier Series