9.3 동형사상(Isomorphism)
동영상 강의 주소: http://youtu.be/Y2lhCID0XS8
상의 선형변환의 정의를 일반적인 벡터공간 로 확장하여 다음과 같이 일반적인 선형변환을 정의하자. 이 선형변환 중, 전단사인 선형변환들은 특별한 의미를 갖는다.
9.3 연습문제
1. 임의의 벡터공간 에 대하여 선형변환 가
을 만족할 때, 와 을 구하여라.
Ans |
[2-7] 다음 중 선형변환인 것과 아닌 것을 구별하고 선형변환이 아닌 경우 그이유를
서술하여라.
2. ,
Ans |
3. ,
Ans |
4. ,
Ans |
5. ,
Ans |
6. ,
Ans |
7. ,
Ans |
이고 따라서‘선형변환이 아니다.’
[8-11] 다음 선형변환의 핵과 치역을 각각 구하여라.
8. ,
Ans |
, 치역 = 상수항이 0인의 부분집합
9. ,
Ans |
10. ,
Ans |
예,
11. ,
Ans |
집합
12. 에서 으로의 동형사상을 하나 결정하여라.
Ans |
로 정의된 함수는 동형사상이다.
토론과 발표
P1. 다음과 같이 주어진 선형변환의 표준행렬을 구하여라.
Ans |
P2. 다음 선형변환의 표준행렬을 구하여라.
,
Ans |
(이건 에서() 로 이해.)
P3. 선형변환이 다음과 같이 정의된 경우 핵(kernel)을 구하여라.
Ans |
P4. 이 다음과 같다.
주어진 변환이 선형임을 보이고, 영공간(null space)를 구하여라.
Ans |
이하의 모든 다항식들의 집합이다.
P5. 이 다음과 같다.
주어진 변환이 선형변환임을 보이고 핵과 치역을 각각 구하여라.
Ans |
핵=, 치역=안의 대칭행렬들의 집합
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