현대 선형대수학 with Sage

연습문제 Solutions (SGLee)


우리들이 일상 사용하는 물리적인 양 중에는 길이, 넓이, 질량, 온도와 같이 그 양의 크기만 주어지면 완전히 표시되는 스칼라(scalar)와 힘, 속도, 위치이동과 같이 크기뿐만 아니라 방향까지 지정하지 않으면 완전히 표현할 수 없는 벡터(vector)가 있다.

문제풀이는 지필 뿐 아니라 원하는 CAS 도구를 이용하여 진행해도 된다. QR코드를 스캔하면 바로 웹사이트로 연결되며 (명령어를 복사하면 어떤 Sage 사이트에서도) 바로 숫자나 식을 바꾸어 다른 문제도 풀 수 있다. 아래 모바일 사이트에서는 로그인 없이도 Sage의 활용이 가능하다.

chpter 1.벡터 (전자책)


http://sage.skku.edu 

http://matrix.skku.ac.kr/2012-sage/sage-la 

(크롬  [Download] 이용권장)



1.2 내적과 직교

이 절에서는 에 대한 벡터의 크기, 거리, 사잇각 및 평행성과 직교성에 대해 생각한다.


 동영상 강의

 - http://youtu.be/g55dfkmlTHE

 문제풀이

 - http://youtu.be/sEFj_7t_bqc



[1-2] 일 때 다음을 구하여라.


1.

Ans)

   ■


[Sage] 2.

http://matrix.skku.ac.kr/LA-Lab/LA-1-2-Ex-2.html 

Ans)

sqrt(17)


sqrt(29)


-16


[Sage] 3. 두 벡터 , 사이의 각을 라 할 때, 를 구하여라.

http://matrix.skku.ac.kr/LA-Lab/LA-1-2-Ex-3.html 

Ans)

-1/7


4. 와 같은 방향을 갖는 단위벡터를 구하여라.

Ans)

   ■


5. 두 점 , 사이의 거리를 구하여라.

Ans)

   ■


6. 다음 세 점을 꼭짓점으로 갖는 삼각형은 직각 삼각형임을 보여라.

, ,

Ans)

이고 

이며 이므로

인 직각 삼각형이다.

더구나 이므로 피타고라스 정리가 성립함을 확인 할 수 있다.   ■



[7-8] 다음에서 주어진 벡터에 대하여 물음에 답하여라.

, , , , , , ,


7. 서로 직교하는 벡터 쌍을 모두 찾아라.

Ans)

, , , , , , , , , ,

, ,    ■


8. 서로 평행하는 벡터 쌍을 모두 찾아라.

Ans)

   ■

9. 벡터 의 크기를 구하여라.

Ans)

,    ■


10. 두 점 , 사이의 거리를 구하여라.

Ans)

   ■


11. 벡터 와 같은 방향을 갖는 단위벡터를 구하여라.

Ans)

단위벡터라는 것은 크기가 1인 벡터이기 때문에

이므로

   ■


12. 두 벡터 , 의 내적 을 구하여라.

Ans)

   ■


[Sage] 13. , 일 때, 을 만족하는 실수 를 모두 구하여라.

http://matrix.skku.ac.kr/LA-Lab/LA-1-2-Ex-13.html 


Ans)

[a == 1, a == 5]


[Sage] 14. 두 벡터 사이의 각(angle)은?

http://matrix.skku.ac.kr/LA-Lab/LA-1-2-Ex-14.html 

  

Ans)

   ■

1.14


[Sage] 15. 이 정규직교벡터들의 집합임을 확인하여라.

http://matrix.skku.ac.kr/LA-Lab/LA-1-2-Ex-15.html 

Ans)

0, 0, 0, 1, 1, 1


모든 벡터의 norm(크기)이 1이고, 서로 직교하므로 정규직교벡터들의 집합이다.   ■



 토론과 발견


P1. 벡터 , 와 각각 직교하면 는 벡터  와 직교함을 증명하여라.

Ans)

조건에서 , 이고,

이므로,

두 벡터는 직교이다.   ■


P2. 의 임의의 벡터 에 대하여 다음이 성립함을 증명하여라.

Ans)

벡터의 내적은 두 벡터의 사잇각이 90도일경우에 0이 되므로

라고 하면,

축방향의 값만 가지고 나머지는 0이 된다.

축방향의 값만 가지고 나머지는 0이 된다.

축방향의 값만 가지고 나머지는 0이 된다.

그러므로 이다.   ■


P3. 에서 영벡터를 제외한 벡터 중 노름(norm, 크기, 길이)가 0인 벡터가 있는가? 있다면 예를 들고 없다면 증명하여라.

Ans)

만일 이 아닌 벡터라고 가정하자.

이라면, 이므로, .

단 여기서 이므로, 이다.

따라서, (모든 )이다.

이는 모순이므로, 이다.   ■


P4. 길이가 1인 차원벡터를 단위벡터(unit vector)라 한다. 두 단위벡터의 내적은 언제나 1보다 작거나 같다. 작은 경우는 언제 발생하며, 같은 경우는 언제인가?

Ans)

두 단위벡터를 , 라고 하면

가 되고 크기는 모두 1이기 때문에

가 된다.

즉 두 벡터의 사잇각에 따라서 내적의 크기가 결정된다.

두 사잇각이 인 경우 내적의 크기가 1보다 같거나 작게 되고

두 사잇각이 도 일 경우에 내적의 크기는 1이 된다.

두 사잇각이 일 경우에 내적의 크기는 0이 된다.   ■


P5. 에서의 피타고라스의 정리,

 을 증명하여라.

Ans)

삼각부등식의 증명 과정 중,

 

이다. 이 중에서 직각삼각형의 경우 이므로,

   ■


P6. 내적이 선형성(linearity)은 가진다. 이 의미는 벡터 인 상수에 대하여, 라는 성질을 만족한다는 말이다. 이 식이 성립하는지 직접 확인하여라.

Ans)

이다.   ■


P7. 상의 두 점 에 대하여 벡터 , 를 생각하자. 벡터 와 수직일 필요충분조건이 임을 보여라.

Ans)

이므로

그러므로    ■



실습:

Whatis more: Interactive 참고 자료 (GeoGebra+Sage+강의록+동영상)

벡터의 합 Vector addition

행렬의 곱 Matrix product

스칼라 배 Scalar multiplication