현대 선형대수학 with Sage
연습문제 Solutions (SGLee)
우리들이 일상 사용하는 물리적인 양 중에는 길이, 넓이, 질량, 온도와 같이 그 양의 크기만 주어지면 완전히 표시되는 스칼라(scalar)와 힘, 속도, 위치이동과 같이 크기뿐만 아니라 방향까지 지정하지 않으면 완전히 표현할 수 없는 벡터(vector)가 있다.
문제풀이는 지필 뿐 아니라 원하는 CAS 도구를 이용하여 진행해도 된다. QR코드를 스캔하면 바로 웹사이트로 연결되며 (명령어를 복사하면 어떤 Sage 사이트에서도) 바로 숫자나 식을 바꾸어 다른 문제도 풀 수 있다. 아래 모바일 사이트에서는 로그인 없이도 Sage의 활용이 가능하다.
http://matrix.skku.ac.kr/2012-sage/sage-la
(크롬 [Download] 이용권장)
1.2 내적과 직교
이 절에서는 에 대한 벡터의 크기, 거리, 사잇각 및 평행성과 직교성에 대해 생각한다.
동영상 강의
문제풀이
[1-2] 일 때 다음을 구하여라.
1.
Ans)
■
[Sage] 2.
http://matrix.skku.ac.kr/LA-Lab/LA-1-2-Ex-2.html
Ans)
sqrt(17)
sqrt(29)
-16
[Sage] 3. 두 벡터 , 사이의 각을 라 할 때, 를 구하여라.
http://matrix.skku.ac.kr/LA-Lab/LA-1-2-Ex-3.html
Ans)
-1/7
4. 와 같은 방향을 갖는 단위벡터를 구하여라.
Ans)
■
5. 두 점 , 사이의 거리를 구하여라.
Ans)
■
6. 다음 세 점을 꼭짓점으로 갖는 삼각형은 직각 삼각형임을 보여라.
, ,
Ans)
이고
이며 이므로
인 직각 삼각형이다.
더구나 이므로 피타고라스 정리가 성립함을 확인 할 수 있다. ■
[7-8] 다음에서 주어진 벡터에 대하여 물음에 답하여라.
, , , , , , ,
7. 서로 직교하는 벡터 쌍을 모두 찾아라.
Ans)
, , , , , , , , , ,
, , ■
8. 서로 평행하는 벡터 쌍을 모두 찾아라.
Ans)
■
9. 벡터 와 의 크기를 구하여라.
Ans)
, ■
10. 두 점 , 사이의 거리를 구하여라.
Ans)
■
11. 벡터 와 같은 방향을 갖는 단위벡터를 구하여라.
Ans)
단위벡터라는 것은 크기가 1인 벡터이기 때문에
이므로
■
12. 두 벡터 , 의 내적 을 구하여라.
Ans)
■
[Sage] 13. , 일 때, 을 만족하는 실수 를 모두 구하여라.
http://matrix.skku.ac.kr/LA-Lab/LA-1-2-Ex-13.html
Ans)
[a == 1, a == 5]
[Sage] 14. 두 벡터 와 사이의 각(angle)은?
http://matrix.skku.ac.kr/LA-Lab/LA-1-2-Ex-14.html
Ans)
■
1.14
[Sage] 15. 이 정규직교벡터들의 집합임을 확인하여라.
http://matrix.skku.ac.kr/LA-Lab/LA-1-2-Ex-15.html
Ans)
0, 0, 0, 1, 1, 1
모든 벡터의 norm(크기)이 1이고, 서로 직교하므로 정규직교벡터들의 집합이다. ■
토론과 발견
P1. 벡터 가 , 와 각각 직교하면 는 벡터 와 직교함을 증명하여라.
Ans)
조건에서 , 이고,
이므로,
두 벡터는 직교이다. ■
P2. 의 임의의 벡터 에 대하여 다음이 성립함을 증명하여라.
Ans)
벡터의 내적은 두 벡터의 사잇각이 90도일경우에 0이 되므로
라고 하면,
는 의 축방향의 값만 가지고 나머지는 0이 된다.
는 의 축방향의 값만 가지고 나머지는 0이 된다.
는 의 축방향의 값만 가지고 나머지는 0이 된다.
그러므로 이다. ■
P3. 에서 영벡터를 제외한 벡터 중 노름(norm, 크기, 길이)가 0인 벡터가 있는가? 있다면 예를 들고 없다면 증명하여라.
Ans)
만일 이 이 아닌 벡터라고 가정하자.
이라면, 이므로, .
단 여기서 이므로, 이다.
따라서, (모든 )이다.
이는 모순이므로, 이다. ■
P4. 길이가 1인 차원벡터를 단위벡터(unit vector)라 한다. 두 단위벡터의 내적은 언제나 1보다 작거나 같다. 작은 경우는 언제 발생하며, 같은 경우는 언제인가?
Ans)
두 단위벡터를 , 라고 하면
가 되고 크기는 모두 1이기 때문에
가 된다.
즉 두 벡터의 사잇각에 따라서 내적의 크기가 결정된다.
두 사잇각이 인 경우 내적의 크기가 1보다 같거나 작게 되고
두 사잇각이 도 일 경우에 내적의 크기는 1이 된다.
두 사잇각이 일 경우에 내적의 크기는 0이 된다. ■
P5. 에서의 피타고라스의 정리,
을 증명하여라.
Ans)
삼각부등식의 증명 과정 중,
이다. 이 중에서 직각삼각형의 경우 이므로,
■
P6. 내적이 선형성(linearity)은 가진다. 이 의미는 벡터 와 인 상수에 대하여, 라는 성질을 만족한다는 말이다. 이 식이 성립하는지 직접 확인하여라.
Ans)
이다. ■
P7. 상의 두 점 와 에 대하여 벡터 , 를 생각하자. 벡터 가 와 수직일 필요충분조건이 임을 보여라.
Ans)
이므로
그러므로 ■
실습:
Whatis more: Interactive 참고 자료 (GeoGebra+Sage+강의록+동영상)