현대 선형대수학 with Sage
연습문제 Solutions (SGLee)
우리들이 일상 사용하는 물리적인 양 중에는 길이, 넓이, 질량, 온도와 같이 그 양의 크기만 주어지면 완전히 표시되는 스칼라(scalar)와 힘, 속도, 위치이동과 같이 크기뿐만 아니라 방향까지 지정하지 않으면 완전히 표현할 수 없는 벡터(vector)가 있다.
문제풀이는 지필 뿐 아니라 원하는 CAS 도구를 이용하여 진행해도 된다. QR코드를 스캔하면 바로 웹사이트로 연결되며 (명령어를 복사하면 어떤 Sage 사이트에서도) 바로 숫자나 식을 바꾸어 다른 문제도 풀 수 있다. 아래 모바일 사이트에서는 로그인 없이도 Sage의 활용이 가능하다.
http://matrix.skku.ac.kr/2012-sage/sage-la
(크롬 
[Download] 이용권장)
1.3 직선과 평면의 벡터방정식
이 절에서는 벡터를 이용하여 
에서의 직선의 방정식과 평면의 방정식을 구하고 이와 관련된 거리문제를 알아본다.
동영상 강의
문제풀이
[Sage] 1. 점 
를 지나고 벡터 
에 평행한 직선의 벡터방정식을 구하여라.
http://matrix.skku.ac.kr/LA-Lab/LA-1-3-Ex-1.html
Ans)
① 
② 
■
(5*t + 8, 4*t - 1, 3*t + 4)
2. 두 점 
, 
를 지나는 직선의 방정식을 구하여라.
Ans)
,
■
3. 직선의 대칭방정식 
을 벡터방정식으로 바꾸어 이 직선에 평행한 벡터를 하나 찾아라.
Ans)
(
는 실수) ■
[Sage] 4. point-normal 방정식(22쪽)을 이용하여 점 
를 지나고 벡터
에 수직인 평면의 방정식을 구하여라.
http://matrix.skku.ac.kr/LA-Lab/LA-1-3-Ex-4.html
Ans)
■
-5*x + 2*y + 3*z + 29 == 0
5. 주어진 평면 
에 수직인 법선벡터를 찾아라.
Ans)
그러므로 이 평면에 수직인 벡터를 
이라 하면
(
는 실수) ■
6. 원점을 지나고 점 
과 
를 포함하는 평면의 벡터방정식을 구하여라.
Ans)
,
■
[7-8] 점 
를 지나고 
를 법선벡터로 갖는 point-normal 방정식을 구하여라.
7. 
, 
Ans)
■
8. 
, 
Ans)
,
■
[정사영] 9. 
과 
일 때, 
의 
상의 정사영 
와 
의 
에 수직인 벡터성분 
를 구하여라.
Ans)
,
이고,
이다. ■
10. 두 평면 
, 
사이의 거리를 구하여라.
Ans)
문제에 나오는 두 평면은 서로 평행하므로,
평면 
위의 한 점 
과
평면 
와의 거리를 구하면 된다.
∴ 거리 
, 
■
토론과 발견
P1. 일반적인 벡터방정식
, 
, 
을
(
, 
, 
)
으로 나타낼 수 있음을 증명하여라.
Ans)
세 식 모두를 
로 정리하면 간단히 구할 수 있다. ■
P2. 일반적인 벡터방정식 
가 
와 평행이 되려면 어떤 조건이 필요한지 기술하여라.
Ans)
벡터 
가 
로 표현이 가능해야 한다. ■
토론) 만일 
로 일치하면 우선 두 직선 벡터 
는 같은 벡터이니 당연히 평행이고,
질문1: 만일 하나는 직선의 방정식이고 하나는 평면의 방정식이면 이 둘 사이의 평행을 어떻게 얘기할 수 있을까요?
질문2: 혹시 벡터 
가 
과도 평행이고, 
와도 평행이면 어떨까요?
질문3: 혹시 벡터 
가 
과 
의 일차결합으로 표현이 가능하다면, 평행과 어떤 관계가 있을까요?
P3. 아래의 점과 직선을 포함하는 평면을 벡터들의 집합으로 표현하여라.
, 
Ans)
벡터 
은 선에 들어있지 않은 원소이다.
그 이유는
이기 때문이다. 따라서 이 점과 직선을 포함하는 평면은 다음과 같이 쓸 수 있다.
■
P4. 따름 정리 1.3.3을 정리 1.3.2 벡터의 정사영을 이용한 증명과정에 따라 증명하여라.
Ans)
벡터의 정사영을 이용하여 증명한다.
와 
을 만족하는 점 
사이의 최단 거리는
이다.
여기서 
이므로,
따라서, 
이고,
이다.
이에 따라, 
■
[CAS] P5. 많은 그래프 그리는 도구가 매개변수곡선을 그리는 기능을 가지고 있다. 만일 학생이 그런 도구가 있다면 어떤 도구를 이용할지 결정하여 다음의 직선을 그려보라.
, 
실습: