10.1 점도표를 이용한 Jordan 표준형 구하기

 동영상 강의 주소: http://youtu.be/NBLZPcWRHYI

 주어진 행렬이 대각화가능하다면 이 행렬과 관계된 대부분의 문제는 쉽게 다루어서 원하는 결론을 얻을 수 있다. 그러나 모든 행렬이 대각화가능한 것은 아니다. 이 절에서는 주어진 행렬과 닮음인 대각선 행렬과 거의 유사한 행렬인 Jordan 표준형 행렬을 구하는 방법을 소개한다.

10.1 연습문제

 문제풀이 동영상 http://youtu.be/9-G3Fd2xOW0

http://www.youtube.com/watch?v=adWzUKKmO2k 

1. 5차 정사각행렬 가 중복도가 5인 고유값 해만을 갖고, 에 대응하는

        일차독립인 고유벡터가 2개인 경우 의 Jordan 표준형을 구하여라.

 

        2. 다음 Jordan표준형 에 대하여 다음을 구하여라.

        (a)           

 

        (b)

 

        (c)

 

        (d)

 

 3. 다음을 Jordan 표준형으로 갖는 행렬의 특성방정식을 구하여라.

Ans1)

G.charpoly('t').factor() # 특성방정식을 계산한다.

t * (t - 2)^2 * (t - 1)^3 * (t - 4)^5

[4-9] 다음 행렬의 Jordan 표준형을 구하여라.

4.

Ans

1)

주어진 행렬의 고유값과 중복도를 구해보면 (중복도 1), (중복도 4)이다.

① 인 경우

중복도가 1뿐이므로 점도표는

② 인 경우

rank

중복도가 4이고, 에서 4개의 점이 사용되었으므로 점도표는

위의 점도표를 이용하여 Jordan 표준형을 구하면

이다. Sage를 이용하여 확인.

5.

Ans 주어진 행렬의 고유값과 중복도를 구해보면

(중복도 1), (중복도 1), (중복도 3)이다.

① 인 경우 중복도가 1뿐이므로 점도표는

② 인 경우 중복도 3이고 까지 해서 점 2개를 사용하였으므로

따라서 점도표는

위의 점도표를 가지고 Jordan 표준형을 구하면

Sage를 이용하여 확인해보자.

        6.

 

        7.

 

        8.

 

A=matrix(4, 4, [0, -3, 1, 2, -2, 1, -1, 2, -2, 1, -1, 2, -2, -3, 1, 4]);A

[ 0 -3 1 2]

[-2 1 -1 2]

[-2 1 -1 2]

[-2 -3 1 4]

J, P=A.jordan_form(transformation=True)

J 

Ans: [2|0|0 0]

 [-+-+---]

 [0|2|0 0]

 [-+-+---]

 [0|0|0 1]

 [0|0|0 0]

P 

[ 1 0 1 1]

[ 0 1 1 0]

[ 0 1 1 -1]

[ 1 1 1 1]

        9.

 

What is more: Interactive 참고 자료 (GeoGebra+Sage+강의록+동영상)