3.4 부분공간과 일차독립
동영상 강의 주소: http://youtu.be/UTTUg6JUFQM
이 절에서는 의 부분집합 중 두 가지 조건을 만족하는 부분공간을 정의하고, 일차결합, span, 일차독립, 일차종속을 정의한다. 동차선형연립방정식의 해집합이 부분공간을 이루는 것을 이용하여 선형연립방정식의 일반 해법을 학습한다.
3.4 연습문제
동영상 문제풀이: http://youtu.be/s7jxVvVAel4
[1-4] 다음 집합이 의 부분공간인지를 결정하여라.
1.
2.
3.
4.
[5-8] 다음 집합이 의 부분공간인지를 결정하여라.
5.
6.
7.
8. 또는
9. 다음 벡터들이 일차독립인지 판정하여라.
(a)
(b)
10. 다음 벡터들에 의해 생성되는 부분공간의 벡터방정식과 매개변수방정식을 구하여라.
(a) ,
(b) ,
11. 다음 벡터들이 일차종속이 되기 위한 값을 결정하라.
, ,
i) 일 경우, 3행의 성분이 모두 0이 되어 RREF가 I가 아니므로 비가역이 된다. 따라서 는 가능하다.
A(a=-1) |
[1/2 1/2 -1]
[ 0 1 -1]
[ 0 0 0]
ii) 일 경우, RREF가 I가 되므로 가역이 된다. 따라서 의 값이 될 수 없다.
답:
assume(a!=-1) A.echelon_form() |
[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]
토론과 발표
P1. 벡터 에 대하여
는 의 부분공간임을 보여라.
P2. 의 부분공간은 , 자신, 그리고 원점을 지나는 직선 이외에는 존재하지 않음을 밝혀라.
P3. 2.2절의 예제 09에 있는 동차연립방정식의 해집합을 구하여 이 집합이 의 부분공간임을 보여라.
P4. 아래 동차연립방정식의 해공간을 구하여라.
해공간은 .
var('x, y, z, u') solve([x-y+2*z==0, x-y+3*z+2*u==0], x, y, z, u) |
[x == 4*r1 + r2, y == r2, z == -2*r1, u == r1]
P5. 아래 행렬 의 영공간(null space)을 구하여라.
Ans
P6.
은 각각 의 부분공간이다.
라 정의하면
ⅰ)
ⅱ)
임을 알 수 있다. 이때 로 표시하며 direct sum이라 한다.
즉, 의 원소를
라 쓰고,의 원소를
로 쓰면 은 와 는 와 같은 것(iso- morphic, 동형, 502쪽)으로 간주할 수 있다.
자연수 에 대하여 임이 성립함에 대하여 토론하여라.
P7. CAS를 이용하여 아래 4개의 벡터가 일차독립인지 아닌지를 판단하여라.
, , ,
실습:
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