3.4 부분공간과 일차독립

chapter 3.행렬과 행렬대수 (전자책)

 동영상 강의 주소: http://youtu.be/UTTUg6JUFQM

이 절에서는 의 부분집합 중 두 가지 조건을 만족하는 부분공간을 정의하고, 일차결합, span, 일차독립, 일차종속을 정의한다. 동차선형연립방정식의 해집합이 부분공간을 이루는 것을 이용하여 선형연립방정식의 일반 해법을 학습한다.

3.4 연습문제

 동영상 문제풀이: http://youtu.be/s7jxVvVAel4

[1-4] 다음 집합이 의 부분공간인지를 결정하여라.

1.

2.

3.

4.

[5-8] 다음 집합이 의 부분공간인지를 결정하여라.

5.

6.

7.

8. 또는

9. 다음 벡터들이 일차독립인지 판정하여라.

(a)

(b)

10. 다음 벡터들에 의해 생성되는 부분공간의 벡터방정식과 매개변수방정식을 구하여라.

(a) ,

(b) ,

11. 다음 벡터들이 일차종속이 되기 위한 값을 결정하라.

, ,

i) 일 경우, 3행의 성분이 모두 0이 되어 RREF가 I가 아니므로 비가역이 된다. 따라서 는 가능하다.

A(a=-1)

[1/2 1/2 -1]

[ 0 1 -1]

[ 0 0 0]

ii) 일 경우, RREF가 I가 되므로 가역이 된다. 따라서 의 값이 될 수 없다.

답:

assume(a!=-1) A.echelon_form()

[1 0 0]

[0 1 0]

[0 0 1]

토론과 발표

P1. 벡터 에 대하여

는 의 부분공간임을 보여라.

P2. 의 부분공간은 , 자신, 그리고 원점을 지나는 직선 이외에는 존재하지 않음을 밝혀라.

P3. 2.2절의 예제 09에 있는 동차연립방정식의 해집합을 구하여 이 집합이 의 부분공간임을 보여라.

P4. 아래 동차연립방정식의 해공간을 구하여라.

해공간은 .

var('x, y, z, u') solve([x-y+2*z==0, x-y+3*z+2*u==0], x, y, z, u)

[x == 4*r1 + r2, y == r2, z == -2*r1, u == r1]

P5. 아래 행렬 의 영공간(null space)을 구하여라.

Ans

P6.

은 각각 의 부분공간이다.

라 정의하면

ⅰ)

ⅱ)

임을 알 수 있다. 이때 로 표시하며 direct sum이라 한다.

즉, 의 원소를

라 쓰고,의 원소를

로 쓰면 은 와 는 와 같은 것(iso- morphic, 동형, 502쪽)으로 간주할 수 있다.

자연수 에 대하여 임이 성립함에 대하여 토론하여라.

P7. CAS를 이용하여 아래 4개의 벡터가 일차독립인지 아닌지를 판단하여라.

, , ,

실습: