3.5 선형연립방정식의 해집합과 행렬

chapter 3.행렬과 행렬대수 (전자책)

 동영상 강의 주소: http://youtu.be/O0TPCpKW_eY

이 절에서는 행렬의 가역성과 연립방정식의 해 사이의 관계를 알아보고 동차연립방정식에 대하여 살펴본다.

3.5 연습문제

 동영상 문제풀이: http://youtu.be/IygHFdWacds

1. 다음 연립방정식의 계수행렬의 역행렬을 구하여 해를 구하여라.

2. 인 연립방정식 에서 일 때의 해를 구하여라.

[3-6] 다음 동차연립방정식 중 자명하지 않은 해를 갖는 것을 결정하여라.

3.

4.

5.

6.

7. 다음 행렬을 계수행렬로 갖는 동차연립방정식의 해는 무수히 많음을 보여라.

8. , 일 때 은 를 만족한다. 동차연립방정식 의 해집합이

일 때 의 해집합을 구하여라.

[9-10] 아래의 법선벡터 를 갖는 원점을 지나는 hyperplane (orthogonal complement)를 구하여라.

9.

10.

토론과 발표

P1. 동차연립방정식

이 자명하지 않은 해를 갖기 위한 조건은

임을 보여라.

Ans 은

와 동치이다.

자명하지 않은 해를 갖기 위해서는 가 비가역, 즉 행렬식이 0이어야 한다.

전개하면 .        ■

P2. 정리 3.5.3에서 (4) (5)를 증명하여라.

Ans (4)이 유일해 을 갖는다.

(5) 는 모든 에 대해 유일해를 갖는다.

[증명] ‘이 유일해 을 갖는다.’는 말은 ‘행렬 가 가역행렬이다.’라는 뜻이다.

가 가역행렬이라면 이 존재한다. 주어진 에 대해 을 연립방정식 의 양변에 곱하면,

모양으로 가 의 유일해이다.   ■

P3. 정리 3.5.3에서 (5) (6) (4)를 증명하여라.

Ans (6) (4) : 의 열벡터들이 일차독립이면 은 유일해 을 갖는다.

[증명] 일차독립이면 이면

임을 의미한다. 그러면

이면 임을 의미한다.

이는 일 때 가 유일해 을 갖는다는 의미이다.

따라서 (6)(4)가 증명되었다.    ■

P4. 가 해를 가질 필요충분조건은 가 의 열공간에 포함됨을 보여라.

[증명] , , 라 하면 연립방정식 는

    (1)

과 동치이므로 다음이 성립한다.

가 해를 갖는다.

 방정식 (1)을 만족하는 실수 이 존재한다.

 는 의 열벡터들의 일차결합이다.

    ■

P5. 와 가 해를 가지면 도 해를 가짐을 증명하여라.

[증명] , 가 성립하면, 는 각각 해가 된다.

그러면 이다.

그러므로 도 해 를 가진다.  ■

P6. 는 차의 가역행렬이다. 의 한 벡터 가 의 모든 행벡터와 수직이면 는 무엇인가? 이유를 들어 설명하여라.