4.2 여인자 전개와 행렬식의 응용

chapter 4. 행렬식 (전자책)

 동영상 강의 주소: http://youtu.be/m6l2my6pSwY

이 절에서는 행렬식을 직접 계산하는 데 편리하고 이론적으로도 중요한 방법을 알아본다. 그리고 이 방법의 응용으로 역행렬을 계산하는 공식을 소개한다.

4.2 연습문제

[1-2] 다음 행렬의 여인자를 모두 구하여라.

1.

Ans

2.

Ans

[3-4] 아래 행렬의 행렬식을 여인자 전개를 이용하여 구하여라.

3.

4.

5. 문제 4의 행렬 의 수반행렬 를 구하여라.

Ans

6. 행렬

에 대하여 다음을 모두 구하여라.

(a) 2행에 있는 성분의 여인자

(b) 3열에 있는 성분의 여인자

Ans(a) ,

 ,

(b) ,

 ,

[7-8] 다음 행렬의 행렬식을 여인자 전개를 이용하여 구하여라.

7. 8.

[9-11] 여인자 전개를 이용하여 다음 행렬의 역행렬을 구하여라.

9.

Ans, ,

, ,

, ,

, ,

이고 이므로

A=matrix(3, 3, [1, 0, 1, -1, 3, 0, 1, 0, 2]);A

adjA=A.adjoint();adjA

detA=A.det();detA

1/detA*adjA

A.inverse()

10.

Ans

이고 이므로

       ■

11.

Ans, 

,

, ,

, ,

, ,

이고 이므로

 ■

12. 다음 행렬식을 계산하여라.

(1) (2)

Ans(1)

var('a, b, c') A=matrix(3, 3, [1, 1, 1, a, b, c, a^2, b^2, c^2]);A

[ 1 1 1]

[ a b c]

[a^2 b^2 c^2]

A.det().factor()

-(b - c)*(a - c)*(a - b)

(2)      ■

토론과 발표

P1. 인 차 정사각행렬 에 대하여 다음을 증명하여라.

P2. 가 5차 행렬이고 이면 는?

P3. 인 가역인 차 정사각행렬 에 대하여 다음을 증명하여라.

Ans가역인 차 정사각행렬 에 대하여 이 성립하므로,

  ■

P4. 가 크기의 행렬이라 하고, 만일

이라고 하자. 다음 물음에 답하여라.

(1) 를 계산하여라. 이 값이 와 어떤 관계가 있는가?

(2) 를 구하여라.

P5. 행렬 가 가역행렬일 필요충분조건은 가 가역행렬임을 보여라.

Ans이고 이므로

이므로 는 가역이 된다.     ■

P6. 임의의 행렬 에 대하여

임을 증명하여라.

Ans 

    ■

P7. 정사각행렬 가 이면 임을 보여라.

Ans

에서 이기 때문에 이다. ■

P8. 성분이 모두 정수인 차 행렬 의 행렬식의 값이 1이면, 의 성분들이 모두 정수라고 할 수 있을까?

Ans그렇다.     ■

P9. 아래 행렬 의 -분해를 찾아라. 그리고 행렬식의 값이 무엇인지 추측하여라. 그 값과 를 직접 구한 값을 비교하여라.

P10. 일 때, 와 는 같을 필요는 없음을 앞에서 배웠다. 그렇다면 와 도 같을 필요가 없다고 말할 수 있는가? 자신의 답에 대한 이유를 설명하여라.

실습: