*4.4 행렬식의 응용
동영상 강의 주소: http://youtu.be/KtkOH5M3_Lc
행렬식의 개념을 처음 소개한 것은 1683년 일본의 Takakazu Seki-Kowa이다. 행렬식(determinant)의 어원은 해의 존재성을 판별한다는 의미에서 유래 되었으며, 현재 의미로 행렬식을 사용한 것은 1815년 Cauchy였다. 이 절에서는 행렬식의 무수히 많은 응용 중 기하학적 응용과 대수학적 응용의 몇 가지를 소개한다.
4.4 연습문제
1. 방정식
을 풀어라
Ans
[x == 1, x == (-2/3)] ■
2. 다음 등식이 성립함을 보여라.
Ans(좌변)
,
,
,
(우변) ■
[3-4] 다음 주어진 문제를 Vandermonde 행렬식을 이용하여 구하여라.
3. 세 점 를 지나는 포물선의 방정식 의 계수 를 구하여라.
Ans에서
이 된다.
- Vandermonde 행렬이나 미지수 벡터의 순서를 바꾸어 계산할 수 있다. ■
4. 두 점 을 지나는 직선의 방정식을 구하여라.
Ans에서 풀어쓰면
21*x + 3*y - 12 ■
5. 행렬식을 이용하여 다음을 구하여라.
(1) 원점에서 점 과 를 잇는 두 변으로 이루어진 평행사변형의 넓이
(2) 세 개의 벡터 에 의하여 만들어지는 평행육면체의 부피
Ans(1) , 평행사변형의 넓이
(2), 평행사변형의 부피 ■
6. 행렬 가 다음과 같을 때, 방정식
를 만족하는 모든 해를 구하여라.
,
Ans
∴ or
∴
[(x + 2)*x + 15*x 3*(x + 2)*x]
[ 8*x + 10 (x + 2)^2]
(x - 4)*(x - 1)*(x + 2)*x
[x == -2, x == 0, x == 1, x == 4] ■
7. 다음에 주어진 행렬 의 열들에 의하여 결정되는 평행육면체의 부피를 구하여라.
Ans
∴ 평행육면체의 부피 = 1 ■
8. 꼭짓점 을 가지는 삼각형의 넓이를 구하여라.
Ans
∴ 삼각형의 넓이
토론과 발표
P1. 서로 다른 세 점 을 지나는 2차방정식은 다음과 같음을 보여라.
P2. 다음을 증명하여라.
(1) 가 2차 정사각행렬이면 는 시작점이 일치된 행렬 의 두 개의 열벡터에 의해서 결정되는 평행사변형의 넓이와 같다.
(2) 가 3차 정사각행렬이면 는 시작점이 일치된 행렬 의 세 개의 열벡터에 의해서 결정되는 평행육면체의 부피와 같다.
(3) 두 벡터 가 만드는 평행사변형의 넓이는 라 할 때, 이다.
Ans(1) 평행사변형은 두 벡터의 합으로 다음과 같이 표현 할 수 있다.
위의 평행사변형의 넓이는 으로 이는 와 같다. (양의 값)
(2)세 개의 벡터를 열벡터로 하는 행렬을 라 하면 평행육면체의 부피는 양의 값 의 절댓값과 같다.
[3차원상의 평행사변형과 그 넓이] http://matrix.skku.ac.kr/sglee/LT/77.swf
(3)
위의 그림에서 라는 사실은 이미 알고 있다. 또, 위 평행사변형의 넓이는 이다. 이제 행렬식을 계산해보면,
=
이므로 넓이의 제곱이 됨을 쉽게 알 수 있다. ■
P3. 차 정사각행렬 에 대하여 로 정의하면 이 사상(mapping) 은 평행육면체(parallelepiped) 전체 집합을 실수로 보내는 함수가 되는지를 확인하고 이 내용에 대하여 토론하여라.
Ans
이므로 Well-defined인 함수가 된다. 위의 mapping은 차원 평행육면체(parallelepiped) 전체 집합이 정의역이고 실수 전체의 집합이 공변역인 함수라고 생각할 수도 있다.
식 는 개의 차원 벡터들로 만들어지는 입체 <평행육면체(parallelepiped)>의 부피를 구하는 식이다. 이전에는 부피를 구하는 것이 3차원에서만 가능했다. 4차원 이상의 입체에서도 부피라는 개념을 생각하고 실제로 구할 수 있게 해 주었다.
P4. 차 Vandermonde 행렬의 행렬식을 직접 구해보아라.
Hint: 수학적 귀납법을 이용한 증명
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