4.5 고유값과 고유벡터

chapter 4. 행렬식 (전자책)

 동영상 강의 주소: http://youtu.be/96Brbkx1cQ4

차의 정사각행렬 와 에 대하여 도 의 한 벡터이다. 이때, 많은 응용문제에서 제기되는 중요한 질문 중의 하나는 “가 와 평행이 되게 하는 영 아닌 벡터 가 존재하는가?”하는 문제인데, 이와 같은 고유벡터는 선형변환과 관계되어 많은 중요한 역할을 한다. 이 절에서는 고유벡터와 고유값에 대하여 알아본다.

4.5 연습문제

[1-2] 다음 주어진 행렬의 특성방정식을 구하여라.

1.

Ans    ■

2.

Ans

3. 다음 행렬의 고유값을 구하여라.

, (단 는 실수)

Ans,

4. 행렬 와 의 특성다

항식을 구하여라.

Ans

      ■

5. 행렬 의 고유값을 구하여라.

Ans     ■

6. 의 고유값과 고유벡터를 구하자.

Ans 이므로 이다.

고유벡터는 일 때 이므로 고유벡터는 이다.

고유벡터는 일 때 이므로 고유벡터는 이다.

7. 에서 실수의 고유값을 구하여라.

Ans1  ■

8. 의 고유값을 구하여라.

Ans

그러므로 이다.        ■

토론과 발표

P1. 다음 행렬의 고유공간들을 구하고 그들이 좌표평면에서 기하학적으로 서로 수직임을 설명하여라.

P2. 특성다항식이 다음과 같을 때, 물음에 답하여라.

(1) 행렬의 크기는 얼마인가?

(2) 주어진 행렬은 가역인가? 이유를 설명하여라.

Ans

(1) 행렬

(2) =고유값의 곱으로 나타내어지는데 고유값 중 0이 없기 때문에 가 영이 아니다. 그러므로 가역이다.  ■

P3. 행렬 에 대하여 를 만족할 때, 행렬 의 고유값을 결정할 수 있는가? 있다면 고유값을 구하여라.

P4. 행렬 가 실수성분으로 구성된 크기의 행렬이라 하자. 이 행렬의 특성방정식이 다음과 같음을 보여라.

P5. 특성다항식이 일 때 행렬 의 고유값을 구하여라. [새 문제임]

Ans이라 할 수 있고, 그러므로 이 되고 가 된다.

고유값을 구하면 이고 가 된다.       ■

P6. 특성다항식이 인 차 정사각행렬은 가역행렬임을 보여라.

Ans위의 특성방정식의 근 중에 영이 없으므로, 고유값은 모두 영이 아니고, 따라서 가역행렬이다.  ■

P7. 행렬 의 고유값이 이라 하자. 이때

, 가 성립함을 추측해보아라.

[참고 : 다양한 증명이 있으나, 정리 8.8.4 Schur 정리를 배운 후 이용하는 증명이 가장 쉽다.]

P8. 차 정사각행렬 의 고유공간이 의 부분공간임을 보여라.

P9. 이 행렬 의 특성다항식이라면 _______ 이고 ___________이다.

P10. 아래 행렬의 특성방정식을 구하여라. 그리고 그 방정식의 근을 공학적 도구를 이용하여 구하여라.

Ans

A = MatrixSpace(IntegerRing(),3)( [[4, -5, 1], [1, 0, -1], [0, 1, -1]]) f = A.charpoly() f.factor()# 인수분해된 형태를 보고 싶을 때

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