6.1 함수(변환)로서의 행렬
동영상 강의 주소: http://youtu.be/Yr23NRSpSoM
행렬은 선형성이라는 성질을 갖는 특수한 함수이기도 하다. 이런 함수는 수학, 물리학, 공학적 제어이론, 이미지처리, 음향신호, 컴퓨터그래픽 등 과학 및 일상생활의 여러 분야에서 매우 중요한 역할을 한다.
6.1 연습문제
동영상 문제풀이: http://www.youtube.com/watch?v=yDUHr2LHBVs
[1-4] 다음에 주어지는 변환 중 선형변환인 것을 결정하여라.
1.
Ans,
∴
는 선형변환이 아니다.
2.
Ans∴ 선형변환이 아니다.
3.
4.
5. 다음 변환 가 선형변환임을 확인한 후 에 대한 의 이미지 를 구하여라.
Ans ∴ 는 선형변환이다.
일 때, 이미지 이다.
[6-9] 다음에 주어진 변환이 선형변환인지 아닌지 판단하고, 아닌 경우에는 그 이유를 설명하여라.
6.
Ans∴ 선형변환이다.
7.
Ans, 는 임의의 실수
∴ 는 선형변환이 아니다.
8.
9.
Ans, 는 임의의 실수
∴ 는 일 때만 성립하므로 선형변환이 아니다.
[10-11] 표준기저를 이용하여 다음 선형변환의 표준행렬 를 구하여라.
10.
Ans∴
(1, 0, -1)
(-1, 1, 0)
(0, -1, 1)
[ 1 -1 0]
[ 0 1 -1]
[-1 0 1]
11.
Ans
∴
(3, 4, 3)
(5, -1, 2)
(-1, 1, -1)
[ 3 5 -1]
[ 4 -1 1]
[ 3 2 –1]
[12-13] 다음에 주어진 행렬 를 선형변환 의 표준행렬이라 할 때, 주어진 벡터 에 대한 이미지 를 구하여라.
12. ,
Ans∴
13. ,
14. 선형변환 이 다음 조건을 만족하는 경우 물음에 답하여라.
,
(1) 을 구하여라.
(2) 를 구하여라.
Ans(1) ∴ , (2) ∴
15. 선형변환 이 다음 조건을 만족하는 경우 물음에 답하여라.
, ,
(1) 를 구하여라.
(2) 를 구하여라.
Ans정리 6.1.1을 이용하면,
(1)
(2)
16. 인 선형변환 의 표준행렬 의 크기가 행렬이라면 위의 의 값은?
Ans∴
토론과 발표
P1.선형변환의 조건을 사용하여 (, )이 선형변환임을 보이고, 표준행렬 를 구하여라.
Ans
P2. 를 다음과 같이 정의하자.
,
변환 가 선형변환임을 보이고 표준행렬 를 구하여라.
Ans 는 선형변환, 표준행렬 .
P3. 선형변환 에 대하여 다음이 성립함을 증명하여라.
(1) ,
(2) ,
(3), , ()
[증명] (1)
(2)
P4. 의 벡터 에 대하여 라 정의하자.
변환 이 일 때, 가 선형변환임을 보이고 표준행렬 를 구하여라.
Ans,
∴ 선형변환이다.
P5. 의 두 벡터 , 의 끝점을 지나는 직선을 매개방정식
()
로 정의한다. 가 선형변환일 때 , 를 잇는 선분 ()의 이미지는 선분임을 증명하여라.
(특히 이면 이미지는 한 점이 된다.)
P6. 점 이 평면의 원점을 지나고 축의 양의 방향으로 방향인 직선에 대하여 대칭이동(reflection, 반사)한 점의 위치(근사적으로)를 구하여라.
실습:
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