6.1 함수(변환)로서의 행렬

chapter 6. 선형변환 (전자책)


 동영상 강의 주소: http://youtu.be/Yr23NRSpSoM


행렬은 선형성이라는 성질을 갖는 특수한 함수이기도 하다. 이런 함수는 수학, 물리학, 공학적 제어이론, 이미지처리, 음향신호, 컴퓨터그래픽 등 과학 및 일상생활의 여러 분야에서 매우 중요한 역할을 한다.


6.1 연습문제


 동영상 문제풀이: http://www.youtube.com/watch?v=yDUHr2LHBVs


[1-4] 다음에 주어지는 변환 중 선형변환인 것을 결정하여라.


1.

Ans,

          

 

 

             

는 선형변환이 아니다.


2.

Ans∴ 선형변환이 아니다.


3.


4.


5. 다음 변환 가 선형변환임을 확인한 후 에 대한 의 이미지 를 구하여라.

Ans는 선형변환이다.

일 때, 이미지 이다.


[6-9] 다음에 주어진 변환이 선형변환인지 아닌지 판단하고, 아닌 경우에는 그 이유를 설명하여라.


6.

Ans∴ 선형변환이다.


7.

Ans, 는 임의의 실수

는 선형변환이 아니다.


8.


9.

Ans, 는 임의의 실수

  

      

  

일 때만 성립하므로 선형변환이 아니다.


[10-11] 표준기저를 이용하여 다음 선형변환의 표준행렬 를 구하여라.


10.

Ans∴


(1, 0, -1)

(-1, 1, 0)

(0, -1, 1)

[ 1 -1  0]

[ 0  1 -1]

[-1  0  1]


11.

Ans

                 

 


(3, 4, 3)

(5, -1, 2)

(-1, 1, -1)

[ 3  5 -1]

[ 4 -1  1]

[ 3  2 –1]


[12-13] 다음에 주어진 행렬 를 선형변환 의 표준행렬이라 할 때, 주어진 벡터 에 대한 이미지 를 구하여라.


12. ,

Ans


13. ,


14. 선형변환 이 다음 조건을 만족하는 경우 물음에 답하여라.

,

(1) 을 구하여라.

(2) 를 구하여라.

Ans(1) ∴ ,  (2) ∴


15. 선형변환 이 다음 조건을 만족하는 경우 물음에 답하여라.

   , ,

    

(1) 를 구하여라.

(2) 를 구하여라.

Ans정리 6.1.1을 이용하면,

(1)

(2)


16. 인 선형변환 의 표준행렬 의 크기가 행렬이라면 위의 의 값은?

Ans


토론과 발표


P1.선형변환의 조건을 사용하여 (, )이 선형변환임을 보이고, 표준행렬 를 구하여라.

Ans



P2. 를 다음과 같이 정의하자.

    ,

변환 가 선형변환임을 보이고 표준행렬 를 구하여라.

Ans 는 선형변환, 표준행렬 .


P3. 선형변환 에 대하여 다음이 성립함을 증명하여라.

(1) ,

(2) ,

(3), , ()

[증명] (1)

                

(2)


P4. 의 벡터 에 대하여 라 정의하자.

변환 일 때, 가 선형변환임을 보이고 표준행렬 를 구하여라.

Ans,

        

     

∴ 선형변환이다.


P5. 의 두 벡터 , 의 끝점을 지나는 직선을 매개방정식

 ()

로 정의한다. 가 선형변환일 때 , 를 잇는 선분 ()의 이미지는 선분임을 증명하여라.

(특히 이면 이미지는 한 점이 된다.)


P6.평면의 원점을 지나고 축의 양의 방향으로 방향인 직선에 대하여 대칭이동(reflection, 반사)한 점의 위치(근사적으로)를 구하여라.

실습:

What is more: Interactive 참고 자료 (GeoGebra+Sage+강의록+동영상)

Sage Code Center

행렬변환