동영상 강의 주소: http://youtu.be/172stJmormk 7.1 기저와 차원의 성질
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표준기저는 배웠고, 이제 차원의 개념을 설명할 것이다. 우리는 공간에 시간의 축을 하나 보태어 4차원이라는 개념을 배웠다. 그렇다면 수학적으로 벡터공간의 차원은 어떤 의미를 갖는가? 이 절에서는 
을 생성하는 일차독립 집합으로부터 기저와 차원을 정의하고, 그 성질을 학습한다.
7.1 연습문제
동영상 문제풀이: http://www.youtube.com/watch?v=BHf1AZjYAdQ
[1-4] 다음의 벡터들이 일차독립인지 아닌지를 행렬식을 이용하여 확인하여라.
1. 
, 
, 
Ans 
, 
, 
를 행벡터로 하는 행렬을 
라 하면 
이므로 일차독립이다.
Sage를 이용해 확인해보면 다음과 같다.
∴ 
, 
, 
가 서로 일차독립. ■
2. 
, 
, 
Ans
를 각 행으로 행렬 
를 만들면 
이다. 일차독립인지 종속인지 행렬식을 이용하여 확인한다.
= 
일차독립이다.
2) Sage를 이용하여 확인해보자.
|
A=matrix(3, 3, [1, 1, -3, 0, 2, 1, 0, -1, 0]) |
으로 교체하면 
, 즉 일차독립임이 확인된다. ■
3. 
, 
, 
Ans
, 
, 
를 행벡터로 하는 행렬을 
라 하면 
이다. 
Sage를 이용해 확인해보면 다음과 같다.
|
A=matrix(3, 3, [7, 5, 2, 0, 0, 1, 0, 0, 6]) |
, 즉 일차종속임이 확인된다. ■
4. 
, 
, 
, 
Ans
, 
, 
, 
를 행벡터로 하는 행렬을 
라 하면 
이다.
이때, 
이면 일차독립이다.
이므로 
는 일차독립이다.
Sage를 이용하여 확인하면
■
[5-6] 다음에 주어진 벡터들의 집합이 
에 대한 기저가 될 수 없는 이유를 설명하여라.
5. 
Ans
이므로 일차종속이다.
∴ 일차종속이므로 
의 기저가 될 수 없다. ■
6. 
Ans
∴ 일차종속이므로 
의 기저가 될 수 없다. ■
[7-8] 다음에 주어진 벡터들의 집합이 
의 기저가 됨을 보여라.
7. 
Ansi) 
일차독립이다.
ii) 
, 
라고 하면
가 존재한다. (
)
즉 
는 
을 생성한다.
∴ 
는 
의 기저이다. ■
8. 
Ans 위 두 벡터를 행벡터로 하는 행렬을 
라 하면 
이다. 
이므로 위 벡터들은 일차독립이다.
이때, 
이므로 
안의 일차독립인 두 개의 벡터로 이루어진 집합은 무조건 
의 기저이다. (정리 7.1.1, 7.1.2, 7.1.3) ■
[9-12] 다음에 주어진 집합 
가 
의 기저인지를 판정하여라.
9. 
Ans
는 일차독립이지만, 
안의 모든 기저는 세 개를 가져야 하므로 두 개의 벡터로 이루어진 집합 
는 
의 기저가 될 수 없다. (정리 7.1.1, 7.1.2, 7.1.3) ■
10. 
Ans 
이므로 벡터들이 일차독립이면 기저가 된다. 위 벡터들을 행벡터로 하는 행렬을 
라 하면
이고 
이므로 일차종속이 된다. 따라서 주어진 벡터들은 
의 기저가 될 수 없다. (정리 7.1.1, 7.1.2, 7.1.3) Sage를 이용하여 확인해보자.
True (일차종속. 기저가 될 수 없다. 정리 7.1.1, 7.1.2, 7.1.3) ■
11. 
Ans
∴ 
는 일차독립이다.
이므로 
안의 일차독립인 세 개의 벡터로 이루어진 집합은 무조건 
의 기저이다. (정리 7.1.1, 7.1.2, 7.1.3) ■
12. 
Ans
의 3보다 많은 개수의 벡터(4개)를 가지므로 항상 일차종속이다.
∴ 기저가 아니다. (정리 7.1.1, 7.1.2, 7.1.3) ■
13. 
의 부분공간 
에 대한 서로 다른 기저를 찾아라. [도움말 : 
가 기저이면, 
(단 
)도 기저이다.]
Ans
1차원인 위의 직선을 지나는 영 아닌 어떤 벡터도 
를 생성하며, 그 집합의 원소는 1개이다. (영 아닌 벡터는 모두 일차독립.)
∴ 
도 하나의 기저이며, 
도 하나의 기저가 된다. 왜냐하면 각점은 위의 직선을 지나며 그 상수배가 1차원 공간인 위의 직선을 생성하기 때문이다. ■
14. 
의 부분공간인 평면 
에 대한 서로 다른 기저 두 개를 찾아라.
Ans
의 2차원 부분공간인 평면 
의 기저가 되려면 이 평면 안의 일차독립인 두 개의 벡터만 찾으면 된다는 의미이다.
라 하고, 
라고`하자. 그러면 
가 된다.
(단, 
)
따라서, 기저는 
이다.
도 위의 식을 만족하는 두 점의 집합이며 일차독립(다른 벡터의 상수배가 아니다.)이므로 주어진 평면의 기저가 된다. ■
[15-18] 다음 동차연립방정식에서 유도되는 해공간의 차원을 구하여라.
15. 
Ans
해공간 
의 차원은 2이다. ■
16. 
Ans위 동차연립방정식은 
로 표현될 수 있다. 
라고 하자. RREF
이므로 rank(
)=2가 되어 nullity(
)=4—rank(
)=4—2=2이다. 따라서 해공간의 차원은 2이다.
[ 1 1 1 -1]
[ 0 6 3 -6] (leading nonzero entry의 개수가 2)
■
17. 
Ans
RREF를 구하면
해공간 
의 차원은 0이다. ■
18. 
Ans 위의 동차연립방정식은 
로 표현될 수 있다
라고 하자.
RREF
이므로 rank(
)
가 되어 nullity(
)=4—rank(
)=4—3=1이다. 따라서 해공간의 차원은 1이다.
Sage를 이용하여 확인해보자.
[ 1 0 0 8]
[ 0 1 0 -3]
[ 0 0 1 2] (leading 1의 개수가 3, rank가 3))
■
[19-20] 주어진 벡터 
에 의해서 만들어지는 hyperplane 
의 기저와 차원을 구하여라.
19. 
Ans
이면 
해공간 
의 차원은 2이고, 기저는 
이다. ■
20. 
Ans
에 의해서 만들어지는 hyperplane은 
이다.
∴ 평면 
의 기저는 
이다.
∴ 평면 
의 차원은 3이다.■
토론과 발표
P1. (a) 다음의 벡터들이 
를 생성(span)할 수 있지만, 
의 기저는 될 수 없음을 보여라.
(b) (a)의 일부 벡터를 이용하여 
를 두 가지 방법으로 표현하여라.
Ans(a) 
∴ 
는 
벡터들의 일차결합으로 나타낼 수 있다. 그러나 
이면
로 표현이 가능하다. 
일차종속이다.
(b) 
(a)에서 살펴보면 
이다.
여기에 
를 대입하면
이면
이면
■
P2. (a) 만일 
이 
개의 선형방정식과 
개의 미지수로 되어 있는 선형연립방정식이라면, 그 해공간의 차원은 최대 얼마인가?
(b)
안의 영 아닌 벡터 
에 의해 만들어지는 hyperplane의 차원은 얼마인가?
(c) 
의 부분공간의 차원은 얼마가 될 수 있는가? 모두 찾아라.
(d) 
의 부분공간 중 다음의 벡터들
, 
, 
에 의하여 생성(span)된 공간의 차원은 얼마인가?
Ans
(a) 최대 
차원을 갖는다.
(b) 5차원
(c) 0~5차원 모두 가능 (0차원 부분공간은 
, 5차원 부분공간은 
자신)
(d) 
RREF로 변환 
가 일차독립이다. 그러므로 
은 기저이다.
P3. 
의 벡터들인 
가 아래와 같은 형태를 하고 있다.
, 
, 
를 임의의 실수라고 한다면, 이 집합은 일차독립이 되는가?
Ans
, 
, 
일차독립이 되기 위해서는
가 
이 되어야 한다.
일 때, 
앞에 있는 1이 있기 때문에 
이 남게 된다.
∴ 
이다.
이런 과정으로 
를 계산하면
이다.
∴ 일차독립이다.
P4. 만일 
가 
의 영 아닌 벡터라면
임을 보여라.
Ans
미지수 
개에 식이 하나이므로 자유변수가 
개이다.
∴ 
P5. 
안에 있는 일차독립인 부분집합 중 원소의 개수가 가장 많은(즉, 
개) 집합은 모두 기저임을 설명하여라.
Ans
안에 있는 벡터의 집합 
. 
, 즉 정사각행렬이다.
문제의 조건에 의해서 A는 일차독립이므로 
.
그러므로 
는 가역이고, 
가 가역이면 항상 해를 가지므로 
을 생성할 수 있다.
∴ 기저이다.
P6. 
을 생성하는 벡터들의 집합 중 가장 적은 (즉, 
개의) 원소를 가지는 집합을 모두 기저임을 설명하여라.
Ans가장 적은 원소를 가지므로 집합 안의 어떤 원소도 다른 원소들의 일차결합으로 나타낼 수 없다.
—minimal spanning set은 기저이다.
(또, maximal linear independent set은 기저이다.)
자세한 증명은 참고문헌 linear algebra(2nd edition), Kwak ad Hong, Birkhauser, 2004, p89 Theorem 3.11을 보라.
http://matrix.skku.ac.kr/2010-Album/2010-MT-all-Solution-v1-sglee/2010-MT-all-Solution-v1-sglee.html ■
P7. 
이 
를 생성(span)함을 보여라.
Ans
∴ 
는 일차독립이다.
이라고 하고, 식을 행렬로 정리하면,
, 
∴ 모든 실수 
에 대하여 항상 
의 값이 존재한다.
∴ 
이 
을 생성한다. ■
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