7.7 Gram-Schmidt의 정규직교화과정

chapter 7. 차원과 부분공간 (전자책)

 동영상 강의 주소: http://youtu.be/EBCi1nR7EuE

 에 대한 모든 기저의 원소 개수는 항상 개이지만, 기저의 모양은 다양하다. 이 절에서는 의 모든 (nontrivial) 부분공간은 기저를 가진다는 것을 보이고, 이 기저로부터 정규직교기저를 찾는 방법에 대하여 알아본다.

7.7 연습문제

 동영상 문제풀이: http://youtu.be/ZRa-4MnWb48 

1. 집합 이 직교집합인지 아닌지를 결정하여라.

Ans직교집합이 아니다.

2.집합 이 정규직교집합인지 아닌지를 결정하라.

Ans정규직교집합이 아니다.

3. 집합 이 직교집합이 되도록 상수 의 값을 정하여라.

Ans, , ,

위 식을 정리하면 는 결과를 얻을 수 있다.

그런데 집합 이 직교집합인 것은 여러 개이므로, 이라고 하나 잡은 후 나머지를 구하면

∴

(값으로 많은 값들이 나올 수 있지만, 답에서는 상수값을 지정하라고 하였으므로 이 값만 적는다.)

4. 집합 이 정규직교집합이 되도록 상수 의 값을 정하여라.

Ans

[5-6] 다음 직교집합의 정규직교집합을 구하여라.

5.

Ans

6.

Ans정규직교집합은 이다.

7. 주어진 가 의 직교기저인지 확인하고, 주어진 벡터 를 위 벡터들의 일차결합으로 나타내어라.

        , , ,

Ans는 의 직교기저가 아니다.

8. 정규직교집합 에 의하여 생성되는 부분공간을 라 하자. 벡터 의 위로의 정사영 와 에 관한 의 직교성분 를 구하여라.

Ans ⇒

(∵ )

⇒        ■

[9-10] 다음 의 부분집합이 일차독립임을 보이고 이들을 정규직교화하여라.

9. 다음 의 부분집합이 일차독립임을 보이고 이들을 정규직교화하여라.

Ans1) Sage를 이용하여 구해보자.

[0.0 0.0 1.0 0.0]

[1.0 0.0 1.0 1.0]

[1.0 1.0 2.0 1.0]

[1.0 0.0 0.0 1.0]

[0.0 1.0 0.0 0.0]

[0.0 0.0 1.0 0.0]

True

[0.0 0.0 1.0 0.0]

[1.0 0.0 0.0 1.0]

[0.0 1.0 0.0 0.0]

[ 0.0 0.0 1.0 0.0]

[0.707106781187 0.0 0.0 0.707106781187]

[ 0.0 1.0 0.0 0.0]

2) Gram-Schmidt 정규직교화 과정을 이용하여 정규직교기저를 구해보자.

∴        ■

10.

Ans일차종속

토론과 발표

P1.

가 직교집합이 되는 를 구하여라.

Ans , ,

, 이 직교집합이므로 , , . ⇒에서 를 하면 이다.

자유변수 를 로 치환하면 이므로 따라서

이다.

P2. 일차종속인 벡터들에 Gram-Schmidt 정규직교화 과정을 적용하면 어떤 결과가 얻어지는가?

Ans이라 하면 이므로 는 일차종속이다.

위의 일차종속인 벡터들에 Gram-Schmidt 과정을 적용하면

, ,

그런데 

일차종속인 벡터들에 Gram-Schmidt 과정을 적용하여도, 정규직교기저가 되지 않는다는 것을 알 수 있다.

P3. 가 의 직교집합일 때, 상수 ()에 대하여 도 직교집합임을 보여라.

Ans

P4. 행렬 의 열벡터가 모두 정규직교벡터라 하자. 와 의 열공간은 서로 어떻게 관계되는가?

Ans와 의 열공간은 같다.

( Col() () Col()

이므로 Col() () Col())

따라서 의 열공간은 정규직교기저를 가진다.

P5. 차 정사각행렬 가 가역이고 라 하자. 이때 의 열벡터들이 상의 정규직교벡터임을 보여라.

Ans의 열벡터가 정규직교벡터를 이루려면 이어야 한다.

∴ 의 열벡터가 상의 정규직교벡터를 이룬다.

실습: