8.1 선형변환의 행렬표현(matrix representation)

chapter 8. 행렬의 대각화 (전자책)


 동영상 강의 주소: http://youtu.be/jfMcPoso6g4


 우리는 6장에서 에서 으로의 모든 선형변환은 표준행렬을 이용하여 행렬변환으로 나타낼 수 있음을 보았다. 이 표준행렬은 의 모든 벡터는 항상 표준기저의 일차결합으로 표시된다는 것으로부터 얻어졌다. 이 절에서는, 일반적으로 임의의 순서기저(ordered basis)을 갖는 에서 으로의 선형변환에 대한 행렬표현을 좌표벡터를 이용하여 찾는 방법을 알아본다.


8.1 연습문제

 

 동영상 문제풀이: http://youtu.be/Oy7ZbacWDhk


1. 선형변환(선형연산자)가

이고, 기저가 일 때, 에 관한 의 행렬표현(변환행렬) 를 구하여라.

Ans

Sage를 이용하여 확인해보자.

[ 1 0 2 -1]

[ 0 1 2 0]


2. 의 순서기저 에 대하여 선형변환 , 를 만족할 때, 의 식을 구하고, 을 계산하여라.

Ans,


3. 선형변환

로 정의되고, , 를 각각, , 의 순서기저로,

, , , ,

일 때, 기저 , 에 대한 의 행렬표현 를 구하여라.

Ans

Sage를 이용하여 확인.

[ 1 0 0 2 3]

[ 0 1 0 5 -1]

[ 0 0 1 1 –2]


4. 선형변환

이라 정의하고,

,

의 두 기저이다. 이때 를 구하여라.

Ans

Sage를 이용하여 확인.

[1 0 0 1 1 0]

[0 1 0 1 0 0]

[0 0 1 1 1 1]


5. 선형변환 일 때, 임의의 순서기저 에 대한 의 행렬표현 는 항등행렬인가?

Ans에 대한 의 변환행렬 를 구해보자.

라 하면 이므로

이다. 

에 대하여 이므로 와 비교하면

이므로 항등행렬이 아니다.     


[6-9] 선형변환(선형연산자) 로 정의되고 순서기저가 , 일 때, 다음 물음에 답하여라.


6. 기저 에 대한 선형변환 의 행렬표현 를 구하여라.

Ans


7. 기저 에서 로의 전이행렬 를 구하여라.

Ans


8. 를 구하여라.

Ans


9. 선형변환(선형연산자)

로 정의되고 순서기저가 , 일 때, 에 대한 선형변환 의 행렬표현 를 구하여라.

Ans1) 이므로, 를 구한다.

2) Sage를 이용하여 확인해보자.

[ 1 0 -1 20]

[ 0 1 -3 -21]

      


10. 선형변환(선형연산자) 로 정의되고 순서기저가 , 일 때, 를 계산하여라.

Ans1) 이고

기저 에서 로의 전이행렬 에서 이므로

    

2) Sage를 이용하여 확인.

[ 1329/4]

[-4257/16]

     


토론과 발표


P1. , 라고 하고 인 선형변환이라 하자.

만일 이고, 이라면 선형변환 의 표준행렬은 어떻게 되겠는가? 그리고 기저를 로 가지는 경우 이 기저에 대한 의 행렬표현 는 어떻게 되겠는가?

Ans 의 표준행렬을 라 하면, , .

가 된다.

또 기저가 일 때, 이 기저에 대한 의 행렬표현 는 정리 8.1.1에 의해 이고 의 형태를 RREF로 변환하면이 된다.

 ,


P2. 의 고정된 벡터라 하자. 선형변환(선형연산자) 를 다음과 같이 정의하면 에 관한 의 행렬표현을 구하여라.

 

Ans 

 

여기서 의 표준기저 이기 때문에

가 된다.

(이것은 와 같다.)

에 대한 의 행렬표현.


P3. 선형변환 의 행렬표현을 결정하는데, 의 다양한 기저에 따라 행렬이 서로 다르게 결정된다. 표준기저를 택하면 행렬표현이 간단한 형태의 행렬이 된다고 할 수 있는가?

Ans예를 들어, ,

,

, , , ,

일 때,

따라서, 이므로 이다.

Linear Algebra (Kwak & Hong) p137 Remark 1   


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