8.1 선형변환의 행렬표현(matrix representation)
동영상 강의 주소: http://youtu.be/jfMcPoso6g4
우리는 6장에서 에서 으로의 모든 선형변환은 표준행렬을 이용하여 행렬변환으로 나타낼 수 있음을 보았다. 이 표준행렬은 의 모든 벡터는 항상 표준기저의 일차결합으로 표시된다는 것으로부터 얻어졌다. 이 절에서는, 일반적으로 임의의 순서기저(ordered basis)을 갖는 에서 으로의 선형변환에 대한 행렬표현을 좌표벡터를 이용하여 찾는 방법을 알아본다.
8.1 연습문제
동영상 문제풀이: http://youtu.be/Oy7ZbacWDhk
1. 선형변환(선형연산자)가
이고, 기저가 일 때, 에 관한 의 행렬표현(변환행렬) 를 구하여라.
Ans
Sage를 이용하여 확인해보자.
[ 1 0 2 -1]
[ 0 1 2 0]
2. 의 순서기저 에 대하여 선형변환 가 , 를 만족할 때, 의 식을 구하고, 을 계산하여라.
Ans,
3. 선형변환 가
로 정의되고, , 를 각각, , 의 순서기저로,
, , , ,
일 때, 기저 , 에 대한 의 행렬표현 를 구하여라.
Ans
Sage를 이용하여 확인.
[ 1 0 0 2 3]
[ 0 1 0 5 -1]
[ 0 0 1 1 –2]
4. 선형변환 를
이라 정의하고,
,
는 의 두 기저이다. 이때 를 구하여라.
Ans
Sage를 이용하여 확인.
[1 0 0 1 1 0]
[0 1 0 1 0 0]
[0 0 1 1 1 1]
5. 선형변환 이 일 때, 임의의 순서기저 에 대한 의 행렬표현 는 항등행렬인가?
Ans에 대한 의 변환행렬 를 구해보자.
라 하면 이므로
이다.
인 에 대하여 이므로 와 비교하면
이므로 항등행렬이 아니다. ■
[6-9] 선형변환(선형연산자) 가 로 정의되고 순서기저가 , 일 때, 다음 물음에 답하여라.
6. 기저 에 대한 선형변환 의 행렬표현 를 구하여라.
Ans
7. 기저 에서 로의 전이행렬 를 구하여라.
Ans
8. 를 구하여라.
Ans
9. 선형변환(선형연산자) 가
로 정의되고 순서기저가 , 일 때, 에 대한 선형변환 의 행렬표현 를 구하여라.
Ans1) 이므로, 를 구한다.
2) Sage를 이용하여 확인해보자.
[ 1 0 -1 20]
[ 0 1 -3 -21]
■
10. 선형변환(선형연산자) 가 로 정의되고 순서기저가 , 일 때, 를 계산하여라.
Ans1) 이고
기저 에서 로의 전이행렬 에서 이므로
■
2) Sage를 이용하여 확인.
[ 1329/4]
[-4257/16]
■
토론과 발표
P1. , 라고 하고 인 선형변환이라 하자.
만일 이고, 이라면 선형변환 의 표준행렬은 어떻게 되겠는가? 그리고 기저를 로 가지는 경우 이 기저에 대한 의 행렬표현 는 어떻게 되겠는가?
Ans 의 표준행렬을 라 하면, ⇒, .
⇒⇒
가 된다.
또 기저가 일 때, 이 기저에 대한 의 행렬표현 는 정리 8.1.1에 의해 이고 의 형태를 RREF로 변환하면이 된다.
,
P2. 를 의 고정된 벡터라 하자. 선형변환(선형연산자) 를 다음과 같이 정의하면 에 관한 의 행렬표현을 구하여라.
Ans
여기서 는 의 표준기저 이기 때문에
가 된다.
(이것은 와 같다.)
⇒이 에 대한 의 행렬표현.
P3. 선형변환 의 행렬표현을 결정하는데, 과 의 다양한 기저에 따라 행렬이 서로 다르게 결정된다. 표준기저를 택하면 행렬표현이 간단한 형태의 행렬이 된다고 할 수 있는가?
Ans예를 들어, ,
,
, , , ,
일 때,
따라서, 이므로 이다.
Linear Algebra (Kwak & Hong) p137 Remark 1 ■
What is more: Interactive 참고 자료 (GeoGebra+Sage+강의록+동영상)