동영상 강의 주소: http://youtu.be/jfMcPoso6g48.1 선형변환의 행렬표현(matrix representation)
동영상 강의 주소: http://youtu.be/jfMcPoso6g4
우리는 6장에서 
에서 
으로의 모든 선형변환은 표준행렬을 이용하여 행렬변환으로 나타낼 수 있음을 보았다. 이 표준행렬은 
의 모든 벡터는 항상 표준기저의 일차결합으로 표시된다는 것으로부터 얻어졌다. 이 절에서는, 일반적으로 임의의 순서기저(ordered basis)을 갖는 
에서 
으로의 선형변환에 대한 행렬표현을 좌표벡터를 이용하여 찾는 방법을 알아본다.
8.1 연습문제
동영상 문제풀이: http://youtu.be/Oy7ZbacWDhk
1. 선형변환(선형연산자)가 
이고, 기저가 
일 때, 
에 관한 
의 행렬표현(변환행렬) 
를 구하여라.
Ans
Sage를 이용하여 확인해보자.
[ 1 0 2 -1]
[ 0 1 2 0] 
2. 
의 순서기저 
에 대하여 선형변환 
가 
, 
를 만족할 때, 
의 식을 구하고, 
을 계산하여라.
Ans
, 
3. 선형변환 
가
로 정의되고, 
, 
를 각각, 
, 
의 순서기저로,
, 
, 
, 
, 
일 때, 기저 
, 
에 대한 
의 행렬표현 
를 구하여라.
Ans
Sage를 이용하여 확인.
[ 1 0 0 2 3]
[ 0 1 0 5 -1]
[ 0 0 1 1 –2] 
4. 선형변환 
를
이라 정의하고,
, 
는 
의 두 기저이다. 이때 
를 구하여라.
Ans
Sage를 이용하여 확인.
[1 0 0 1 1 0]
[0 1 0 1 0 0]
[0 0 1 1 1 1] 
5. 선형변환 
이 
일 때, 임의의 순서기저 
에 대한 
의 행렬표현 
는 항등행렬인가?
Ans
에 대한 
의 변환행렬 
를 구해보자.
라 하면 
이므로
이다.
인 
에 대하여 
이므로 
와 비교하면 
이므로 항등행렬이 아니다. ■
[6-9] 선형변환(선형연산자) 
가 
로 정의되고 순서기저가 
, 
일 때, 다음 물음에 답하여라.
6. 기저 
에 대한 선형변환 
의 행렬표현 
를 구하여라.
Ans
7. 기저 
에서 
로의 전이행렬 
를 구하여라.
Ans
8. 
를 구하여라.
Ans
9. 선형변환(선형연산자) 
가
로 정의되고 순서기저가 
, 
일 때, 
에 대한 선형변환 
의 행렬표현 
를 구하여라.
Ans1) 
이므로, 
를 구한다.
2) Sage를 이용하여 확인해보자.
[ 1 0 -1 20]
[ 0 1 -3 -21]
■
10. 선형변환(선형연산자) 
가 
로 정의되고 순서기저가 
, 
일 때, 
를 계산하여라.
Ans1) 
이고 
기저 
에서 
로의 전이행렬 
에서 
이므로
■
2) Sage를 이용하여 확인.
[ 1329/4]
[-4257/16]
■
토론과 발표
P1. 
, 
라고 하고 
인 선형변환이라 하자.
만일 
이고, 
이라면 선형변환 
의 표준행렬은 어떻게 되겠는가? 그리고 기저를 
로 가지는 경우 이 기저에 대한 
의 행렬표현 
는 어떻게 되겠는가?
Ans 
의 표준행렬을 
라 하면, 
⇒
, 
.
⇒
⇒ 
가 된다. 
또 기저가 
일 때, 이 기저에 대한 
의 행렬표현 
는 정리 8.1.1에 의해 
이고 
의 형태를 RREF로 변환하면
이 된다.
,
P2. 
를 
의 고정된 벡터라 하자. 선형변환(선형연산자) 
를 다음과 같이 정의하면 
에 관한 
의 행렬표현을 구하여라.
Ans
여기서 
는 
의 표준기저 
이기 때문에
가 된다.
(이것은 
와 같다.)
⇒
이 
에 대한 
의 행렬표현.
P3. 선형변환 
의 행렬표현을 결정하는데, 
과 
의 다양한 기저에 따라 행렬이 서로 다르게 결정된다. 표준기저를 택하면 행렬표현이 간단한 형태의 행렬이 된다고 할 수 있는가?
Ans예를 들어, 
, 
, 
, 
, 
, 
,
일 때, 
따라서, 
이므로 
이다.
Linear Algebra (Kwak & Hong) p137 Remark 1 ■
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