동영상 강의 주소: http://youtu.be/cOW9qT64e0g *8.5 이차형식의 응용
동영상 강의 주소: http://youtu.be/cOW9qT64e0g
앞에서 소개한 주축정리에 의하여 3차원 곡면의 그래프는 각각의 2차원 평면에서는 원, 타원 또는 포물선 등의 형태로 나타난다. 구체적인 모양은 주축정리의 핵심인 고유값의 부호에 따라 결정된다. 이 절에서는 이차형식 그래프의 형태를 구분하는 이차형식의 부호를 정의하고, 이를 이용하여 다변수함수의 극값을 구하는 법을 배운다.
8.5 연습문제
동영상 문제풀이: http://www.youtube.com/watch?v=gWEtJYqvMuQ
[1-2] 다음 이차형식에 대응하는 대칭행렬을 구하여라.
1. 
Ans 
■
2. 
Ans
[3-4] 다음 이차형식이 양의 정부호, 음의 정부호 또는 부정부호 중 어디에 속하는가를 결정하여라.
3. 
Ans양의 정부호이다.
4. 
Ans위의 이차형식에 대응되는 대칭행렬
이다.
Sage로 고유값을 구해보면,
∴고유값들이 양수도 있고, 음수도 있으므로, 부정부호이다. 따라서 극점은 안장점이다.
[5-6] 다음 행렬이 양의 정부호인지 음의 정부호인지를 결정하여라.
5. 
Ans양의 정부호이다.
6. 
Ans음의 정부호이다.
[7-8] 다음 함수의 극값을 구하여라.
7. 
Ans
을 풀어서 극값 
은 극대값
8. 
Ans
,
라 하자.
9. 이차곡면 
의 교차항을 주축정리를 이용하여 소거하여라.
Ans
위의 행렬을 대각화한다.
10. 
의 교차항을 소거하여라.
Ans
9번과 마찬가지로 위의 행렬을 대각화한다.
토론과 발표
P1. 행렬 
가 양의 정부호이면 
과 
도 양의 정부호임을 보여라.
Ans
가 양의 정부호를 갖는다면 정리 8.5.2에 의하여 
의 고유값(
)는 모두 양이다.
즉, 
… (※)
① 
의 고유값들은 
이므로 
의 고유값 : 
)
② 
의 고유값은 
by (※)
(∵ 
∴ 
의 고유값 
은 모두 양이므로 
는 양의 정부호이다.)
P2. 
차의 대칭행렬 
가 양의 정부호일 때, 각 
에 대하여 함수 <, >을 다음과 같이 정의한다. 
. 이때, 이 함수가 다음을 만족함을 보여라.
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
Ans
(1) 
가 양의 정부호이기 때문에 
이다. 
일 때는 
이므로 조건을 만족한다.
(2) 분배법칙에 의해,
(3)결합법칙에 의해
(
)
(4)
■
P3. 다음 함수의 모든 임계점을 구하여라.
Ans
P4. 임의의 이차형식 
에 대한 Hessian 행렬이 다음과 같다.
의 임계점이 만일 
인 경우 이 점에서의 정부호에 대하여 설명하여라.
Ans
⇒ 
이므로 이차형식은 부정부호가 된다. 그러므로 
는 극대값도 아니고 극소값도 아니다. 
은 안장점이 된다. ■
P5. 
가 임의의 
크기의 대칭행렬이라 하고,
를 만족한다고 하자. 만일 
에 
의 고유벡터를 넣으면 
함수의 결과값은 
의 고유값과 어떤 관계를 가지겠는가?
Ans
⇒ 
따라서 고유값의 
배 만큼의 실수배가 된다. (그리고 
의 field of value라 한다. 특히, 이 집합의 가장 작은 값이 가장 작은 고유값이고, 가장 큰 값이 가장 큰 고유값이다.) ■
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