*8.6 SVD와 일반화된 역행렬

chapter 8. 행렬의 대각화 (전자책)

 동영상 강의 주소: http://youtu.be/7-qG-A8nXmo

 (정사각)대칭행렬은 대각화가능함을 알았다. 그러면 이제 행렬대각화의 개념을 일반적인 행렬 로 확장하는 방법을 다루고, 최소제곱해와 역행렬의 일반화된 개념 및 응용을 소개한다.

8.6 연습문제

 동영상 문제풀이: http://www.youtube.com/watch?v=m7u1-XphQ3s

[1-2] 다음 행렬에 대하여 , 를 구하여라.

1.

Ans

2.

[3-4] 위의 1, 2번 문제에서 얻은 에 대하여 다음을 구하여라.

3.

Ans

Sage를 이용해서 확인해보자.

(x - 3) * (x – 2),

4.

(3-5번)

[5-6] 주어진 행렬의 singular value를 구하여라.

5.

Ans

Sage를 이용해서 확인해보자.

[5, 0, 0]

 따라서 주어진 행렬 A의 singular value는이다.

6.

Ans

[7-8] 다음 주어진 행렬의 특이값분해(SVD)를 구하여라.

7.

Ans

8.

Ans

9. 주어진 대칭행렬 에 대하여 특이값 분해를 이용하여 의 고유값을 구하여라.

Ans

1)

의 고유값 :

2) Sage를 이용하여 확인해보자.

10. 8.6절 예제 01의 행렬 의 SVD를 이용하여 를 구하여라.

Ans

11. 행렬 가 다음과 같은 SVD를 갖는 경우 를 구하여라.

Ans

[12-14] 다음 주어진 행렬은 full column rank 행렬이다. 이를 이용하여 pseudo-inverse를 구하여라.

12.

Ans

13. [New]

Ans

Sage를 이용하여 확인해보자.

        ■

14.

Ans

15. 다음에 주어진 행렬은 가역행렬이다. 이를 이용하여 인지 확인하여라.

Ans

16. pseudo-inverse를 이용하여 다음 연립방정식의 least square solution을 구하여라.

,

Ans

17. 은 비록 full column rank를 가지지 않지만 이 행렬의 전치행렬은 full column rank를 가진다. 따라서 를 구하고, 이를 이용하여 를 구할 수 있는지 확인하여라.

Ans

∴

토론과 발표

P1. 의 고유값들의 제곱근이 의 singular value임을 보여라.

Ans의 1을 보면,

는 대각 성분이 인 크기의 대각 행렬이다. 이므로, 의 고유값들의 제곱근은 의 singular value이다.      ■

P2. 만일 rank가 인 행렬 의 특이값분해가이면, 행렬 의 크기는 각각 어떻게 되겠는가?

Ans

   ■

P3. 를 상의 부분공간인 로의 직교사영에 대한 표준행렬이라 하자. 의 singular value는 어떤 의미를 가지는가?

Ans

직교사영에 대한 표준행렬이라면 이다.

,

따라서 0 아닌 singular value는 모두 이다.       ■

P4. 크기 인 행렬 의 특이값분해가 이고 영 아닌 singular value들은 일 때 다음을 구하여라. (단 )

(a)

(b) 열공간 의 정규직교기저

(c) 행공간 의 정규직교기저

Ans

(a)

(b) 의 열들의 집합

(c) 의 행들의 집합

P5. 다음은 의 특이값분해를 한 예제이다.

다음을 구하여라.

(a)

(b) 의 정규직교기저

(c) 의 정규직교기저

Ans

(a)

(b) 의 열들

(c) 의 행들

P6. [노름과 Condition수]

 행렬 ()에서 개의 singular value들이 이라 하자. 그러면

(1) : 가장 큰 singular value

(2) ; Frobenious 노름(norm)

(3), (는 이고 nonsingular)

(4) 는 이고 nonsingular이면,

이다. 위 식이 성립하는 이유는

① 

②

③ 의 가장 큰 singular value는 .

④ 위의 1, 3에 의하여 이기 때문이다.

Ans

http://en.wikipedia.org/wiki/Condition_number 

http://www.answers.com/topic/condition-number 

P7. 가 직교인 열벡터들을 가진다면 이는 pseudoinverse에 어떤 영향을 미치는가?

Ans

이므로, 

    ■

P8. 가 0이 아닌 스칼라라 하자. 와 의 관계는?

Ans

1) 가 full column rank인 경우에는

이므로

2) 가 full column rank가 아닌 경우를 살펴보자. 먼저 의 SVD가 (여기서 은 가역행렬)이면

이다. 따라서

  ■

P9. 임을 증명하여라.

Ans

p404, coro.4(Goldberg: Matrix Theory with Applications)

P10. 를 증명하여라.

Ans

p403, coro2(Goldberg: Matrix Theory with Applications)

P11. 로 주어졌을 때, 다음과 같이 (수정된) 특이값분해를 갖는다 하자. 이를 이용하여 를 구하여라.

Ans 

             ■

실습: