8.8 Hermitian, 유니타리, 정규행렬

chapter 8. 행렬의 대각화 (전자책)


 동영상 강의 주소: http://youtu.be/GLGwj6tzd60


 지금까지 실수성분을 갖는 차의 정사각행렬 전체의 집합을 으로 나타내었다. 복소수성분을 갖는 차의 정사각행렬 전체의 집합을 로 나타내기로 한다. 에서의 대칭행렬과 직교행렬의 정의는 에서 각각 Hermitian 행렬과 유니타리(unitary) 행렬로 일반화되는데, 이 절에서는 Hermitian 행렬과 유니타리 행렬을 정의하고, 복소행렬의 대각화 문제를 학습한다.


8.8 연습문제

 

 동영상 문제풀이: http://youtu.be/SJfshBcj_oc


[1-2] 다음 행렬 에 켤레전치행렬 를 구하여라.


1. [New]

Ans

Sage를 이용하여 확인해보자.

   


2.

Ans 


3. 다음 행렬 중 Hermitian 행렬을 모두 찾아라.

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Ans

(a)

Sage를 이용하여 확인해보자.

False 

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)      


4. 다음 행렬이 유니타리 행렬인지를 판별하여라.

(a)

(b)

Ans

(a) 이므로 는 유니타리 행렬이다.

Sage를 이용하여 확인해보자.

(b)      


[5-8] 행렬 에 대하여 다음을 구하여라.

5. 일 때 을 구하여라.

Ans

1. Sage를 이용하여 확인해보자.

1.0

  


6. 일 때 를 구하여라.

Ans1


7. , 일 때 , 의 Euclid 내적을 구하여라.

Ans

이 문제는 행렬 가 유니타리 행렬이라는 사실만 확인하면 이므로 쉽게 구할 수 있다. 가 유리타리 행렬임을 확인한다.

따라서 이다.        


8. 의 Euclid 내적을 구하여라.

Ans


[9-12] 임의의 행렬 에 대하여 다음이 Hermitian 행렬인지 아닌지를 판별하여라.


9.

Ans , ∴ 는 Hermitian 행렬이다.


10.

Ans , ∴ 는 Hermitian 행렬이다.


11.

Ans : Hermitian 행렬


12.


13. 다음 행렬이 Hermitian이 되도록 를 채워라.

 

Ans


[14-15] 다음 주어진 행렬 가 유니타리인 것을 보이고, 를 구하여라.


14. [New]

Ans

따라서 행렬 는 유니타리 행렬이다.

  


15.

Ans

 

 

따라서 행렬 는 유니타리 행렬이다. .


토론과 발표


P1. Hermitian 행렬의 대각선성분은 모두 실수임을 보여라.

Ans

일 때 가 Hermitian이면 는 모두 실수

간단하게 실제적으로 보이면,

라고 하면, 이고 가 Hermitian이면,

 ⇒ 이므로 대각선성분은 실수.    


P2. 행렬 가 Hermitian이면 는 반- Hermitian 행렬임을 보여라.

Ans

임의의 행렬

가 Hermitian이라면,

따라서 . &

따라서 는 skew-Hermitian 행렬이다.   


P3. 행렬 ()가 반-Hermitian 행렬이면 의 모든 고유값은 순허수임을 보여라.

Ans

가 반-Hermitian 행렬이므로 이다.

   (1)

이 식에서

      (2)

식 (2)에서 다음과 같이 식이 유도된다.

   (3)

식 (1)과 (3)에서 다음과 같은 결론이 얻어진다.

이므로 이다. 따라서 이다.

, 하면,

따라서 형태의 순허수이다.  


P4. 행렬 는 Hermitian 행렬과 반- Hermitian 행렬의 합으로 나타낼 수 있음을 보여라.

Ans

는 Hermitian이고 는 반- Hermitian이므로 로 쓰면 된다.

- 임의의 2차 정사각행렬에서 위의 둘이 이 각각 Hermitian, skew-Hermitian인 행렬임을 간단히 보이면 라고 하면,,

 
이고,

 

 

이므로 은 Hermitian이다.

 

 

이므로, 은 skew-Hermitian이다.

(둘을 빼면, 대각성분은 순허수만 남게 되므로 conjugate 할 때 음의 값이 되고, 나머지 성분 중 복소수 성분은 conjugate 된 성분이 다시 가 되지만 그것이 대칭이 되면서 음의 값을 가지고 실수 성분도 원래 자리에 있던 감소된 성분이 아닌 그 감소된 성분의 음수의 값이 대칭이 될 때 들어오게 되므로, 전체 행렬의 값이 음의 값을 가지게 된다.) 따라서 위의 두 을 2로 나눈 행렬 도 각각 Hermitian, skew-Hermitian 행렬이다. 즉

.      


P5. 의 단위벡터일 때 Houshölder 변환 는 유니타리 행렬이고 동시에 Hermitian 행렬임을 보여라.

Ans

Hermitian 행렬임을 증명해보자. [Show ]


 

이므로 위의 조건을 만족하므로

는 Hermitian 행렬이다.


유니타리 행렬임을 보이자. [Show ]

 

 이므로

 이다.

는 유니타리 행렬이다.

따라서 행렬 는 유니타리 행렬이면서 Hermitian 행렬이다.       


P6. 다음에 주어진 행렬 가 모든 실수 에 대하여 유니타리임을 보여라.

Ans

∴ 유니타리 행렬이다.


P7. 다음을 증명하여라.

(1) 실수성분으로 이루어진 Hermitian 행렬은 대칭행렬이다.

(2) 실수성분으로 이루어진 유니타리 행렬은 직교행렬이다.

Ans

(1) 실수성분으로 이루어진 Hermitian 행렬은 대칭행렬이다.

실수 의 공액복소수는 이다. (허수성분이 0이므로 0에 를 붙여봤자 0) 따라서 실수성분으로 이루어진 행렬 의 성분들의 공액복소수를 가진 행렬을 라고 한다면 이고, 의 Hermitian 행렬 이고 이는 이므로 실수성분으로 이루어진 Hermitian 행렬은 대칭행렬이다.

(2) 실수성분으로 이루어진 유니타리 행렬은 직교행렬이다.

를 유니타리 행렬이라고 하면, 이다. (유니타리 행렬의 정의)

여기서 위의 (1)에 따라, 이고, 따라서 가 된다. 가 실수이므로, 가 되므로, 실수성분으로 이루어진 유니타리 행렬 는 직교행렬이다.    


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