8.8 Hermitian, 유니타리, 정규행렬
동영상 강의 주소: http://youtu.be/GLGwj6tzd60
지금까지 실수성분을 갖는 차의 정사각행렬 전체의 집합을 으로 나타내었다. 복소수성분을 갖는 차의 정사각행렬 전체의 집합을 로 나타내기로 한다. 에서의 대칭행렬과 직교행렬의 정의는 에서 각각 Hermitian 행렬과 유니타리(unitary) 행렬로 일반화되는데, 이 절에서는 Hermitian 행렬과 유니타리 행렬을 정의하고, 복소행렬의 대각화 문제를 학습한다.
8.8 연습문제
동영상 문제풀이: http://youtu.be/SJfshBcj_oc
[1-2] 다음 행렬 에 켤레전치행렬 를 구하여라.
1. [New]
Ans
Sage를 이용하여 확인해보자.
■
2.
Ans
3. 다음 행렬 중 Hermitian 행렬을 모두 찾아라.
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
Ans
(a)
Sage를 이용하여 확인해보자.
False
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) ■
4. 다음 행렬이 유니타리 행렬인지를 판별하여라.
(a)
(b)
Ans
(a) 이므로 는 유니타리 행렬이다.
Sage를 이용하여 확인해보자.
(b) ■
[5-8] 행렬 에 대하여 다음을 구하여라.
5. 일 때 을 구하여라.
Ans
1. Sage를 이용하여 확인해보자.
1.0
■
6. 일 때 를 구하여라.
Ans1
7. , 일 때 , 의 Euclid 내적을 구하여라.
Ans
이 문제는 행렬 가 유니타리 행렬이라는 사실만 확인하면 이므로 쉽게 구할 수 있다. 가 유리타리 행렬임을 확인한다.
따라서 이다. ■
8. 와 의 Euclid 내적을 구하여라.
Ans
[9-12] 임의의 행렬 에 대하여 다음이 Hermitian 행렬인지 아닌지를 판별하여라.
9.
Ans , ∴ 는 Hermitian 행렬이다.
10.
Ans , ∴ 는 Hermitian 행렬이다.
11.
Ans : Hermitian 행렬
12.
13. 다음 행렬이 Hermitian이 되도록 를 채워라.
Ans
[14-15] 다음 주어진 행렬 가 유니타리인 것을 보이고, 를 구하여라.
14. [New]
Ans
따라서 행렬 는 유니타리 행렬이다.
■
15.
Ans
따라서 행렬 는 유니타리 행렬이다. .
토론과 발표
P1. Hermitian 행렬의 대각선성분은 모두 실수임을 보여라.
Ans
일 때 가 Hermitian이면 는 모두 실수
간단하게 실제적으로 보이면,
라고 하면, 는 이고 가 Hermitian이면,
⇒ 이므로 대각선성분은 실수. ■
P2. 행렬 가 Hermitian이면 는 반- Hermitian 행렬임을 보여라.
Ans
임의의 행렬
가 Hermitian이라면, ⇒
따라서 . &
따라서 는 skew-Hermitian 행렬이다. ■
P3. 행렬 ∈()가 반-Hermitian 행렬이면 의 모든 고유값은 순허수임을 보여라.
Ans
가 반-Hermitian 행렬이므로 이다.
(1)
이 식에서
(2)
식 (2)에서 다음과 같이 식이 유도된다.
(3)
식 (1)과 (3)에서 다음과 같은 결론이 얻어진다.
이므로 이다. 따라서 이다.
, 하면,
따라서 형태의 순허수이다. ■
P4. 행렬 는 Hermitian 행렬과 반- Hermitian 행렬의 합으로 나타낼 수 있음을 보여라.
Ans
는 Hermitian이고 는 반- Hermitian이므로 로 쓰면 된다.
- 임의의 2차 정사각행렬에서 위의 둘이 이 각각 Hermitian, skew-Hermitian인 행렬임을 간단히 보이면 라고 하면,,
이고,
이므로 은 Hermitian이다.
이므로, 은 skew-Hermitian이다.
(둘을 빼면, 대각성분은 순허수만 남게 되므로 conjugate 할 때 음의 값이 되고, 나머지 성분 중 복소수 성분은 conjugate 된 성분이 다시 가 되지만 그것이 대칭이 되면서 음의 값을 가지고 실수 성분도 원래 자리에 있던 감소된 성분이 아닌 그 감소된 성분의 음수의 값이 대칭이 될 때 들어오게 되므로, 전체 행렬의 값이 음의 값을 가지게 된다.) 따라서 위의 두 을 2로 나눈 행렬 도 각각 Hermitian, skew-Hermitian 행렬이다. 즉
. ■
P5. 가 의 단위벡터일 때 Houshölder 변환 는 유니타리 행렬이고 동시에 Hermitian 행렬임을 보여라.
Ans
Hermitian 행렬임을 증명해보자. [Show ]
이므로 위의 조건을 만족하므로
∴ 는 Hermitian 행렬이다.
유니타리 행렬임을 보이자. [Show ]
이므로
이다.
∴는 유니타리 행렬이다.
따라서 행렬 는 유니타리 행렬이면서 Hermitian 행렬이다. ■
P6. 다음에 주어진 행렬 가 모든 실수 에 대하여 유니타리임을 보여라.
Ans
∴ 유니타리 행렬이다.
P7. 다음을 증명하여라.
(1) 실수성분으로 이루어진 Hermitian 행렬은 대칭행렬이다.
(2) 실수성분으로 이루어진 유니타리 행렬은 직교행렬이다.
Ans
(1) 실수성분으로 이루어진 Hermitian 행렬은 대칭행렬이다.
실수 의 공액복소수는 이다. (허수성분이 0이므로 0에 를 붙여봤자 0) 따라서 실수성분으로 이루어진 행렬 의 성분들의 공액복소수를 가진 행렬을 라고 한다면 이고, 의 Hermitian 행렬 이고 이는 이므로 실수성분으로 이루어진 Hermitian 행렬은 대칭행렬이다.
(2) 실수성분으로 이루어진 유니타리 행렬은 직교행렬이다.
를 유니타리 행렬이라고 하면, 이다. (유니타리 행렬의 정의)
여기서 위의 (1)에 따라, 이고, 따라서 가 된다. 가 실수이므로, 가 되므로, 실수성분으로 이루어진 유니타리 행렬 는 직교행렬이다. ■
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