*8.9 선형연립미분방정식

chapter 8. 행렬의 대각화 (전자책)

자연과학과 공학의 많은 문제들은 다음과 같은 선형연립미분방정식들을 푸는 수학적 문제로 바꿀 수 있다. 행렬의 대각화를 이용하여 선형연립미분방정식을 푸는 방법을 소개한다.

8.9 연습문제

 동영상 문제풀이: http://www.youtube.com/watch?v=c0y5DcNQ8gs

1. 선형연립미분방정식

을 풀어라.

Ans

라 하자.

이므로

      ■

2. 초기조건이 인 선형연립미분방정식

을 풀어라.

Ans

이므로

이므로 이다.

∴

3. 아래 초기조건에 대하여 다음 초기값 문제를 풀어라.

Ans

4. 연립미분방정식 의 일반해를 구하여라.

Ans

라 하면, 특성방정식()은

일 때,

일 때,

       ■

5. 연립미분방정식 의 일반해를 구하여라.

Ans

6. [New] 다음 선형미분방정식을 풀어라.

Ans

선형미분방정식을 동차행렬로 표시하면 다음과 같다.

위의 행렬의 고유값은 이다.

   ■

토론과 발표

P1. 미분방정식 의 모든 해는 임을 보여라.

[도움말 : 가 주어진 미분방정식의 해라 하고, 가 상수임을 보여라.]

Ans

를 주어진 미분방정식의 해라고 하자.

이므로 는 상수이다.

         ■

P2. 최고차항의 계수가 1인 다항식의 동반행렬의 특성방정식은 원래의 다항식임을 보여라.

Ans

계수가 1인 차

의 동반행렬은 다음과 같다.

이 행렬의 특성다항식은 아래 행렬의 행렬식이다.

행렬식을 구하기 위해 번째 행을 기준으로 여인자 전개를 하면 다음과 같다.

은 삼각행렬이므로 주대각성분들의 곱으로 각각 이다.

이를 정리하면 특성방정식은 다음과 같다.

이다. 따라서

 는 원래 다항식 와 같다.        ■

P3. 동반행렬(Companion matrix)

의 특성다항식이

임을 증명하여라.

Ans

Sage를 사용하여 확인해보자.

x^6 - 3*x^5 - 4*x^4 + 5*x^3 - 3*x^2 - x + 2

[참고] http://mathworld.wolfram.com/CompanionMatrix.html

What is more: Interactive 참고 자료 (GeoGebra+Sage+강의록+동영상)