*8.9 선형연립미분방정식
자연과학과 공학의 많은 문제들은 다음과 같은 선형연립미분방정식들을 푸는 수학적 문제로 바꿀 수 있다. 행렬의 대각화를 이용하여 선형연립미분방정식을 푸는 방법을 소개한다.
8.9 연습문제
동영상 문제풀이: http://www.youtube.com/watch?v=c0y5DcNQ8gs
1. 선형연립미분방정식
을 풀어라.
Ans
라 하자.
이므로
■
2. 초기조건이 인 선형연립미분방정식
을 풀어라.
Ans
이므로
이므로 이다.
∴
3. 아래 초기조건에 대하여 다음 초기값 문제를 풀어라.
Ans
4. 연립미분방정식 의 일반해를 구하여라.
Ans
라 하면, 특성방정식()은
일 때,
일 때,
■
5. 연립미분방정식 의 일반해를 구하여라.
Ans
6. [New] 다음 선형미분방정식을 풀어라.
Ans
선형미분방정식을 동차행렬로 표시하면 다음과 같다.
위의 행렬의 고유값은 이다.
■
토론과 발표
P1. 미분방정식 의 모든 해는 임을 보여라.
[도움말 : 가 주어진 미분방정식의 해라 하고, 가 상수임을 보여라.]
Ans
를 주어진 미분방정식의 해라고 하자.
이므로 는 상수이다.
■
P2. 최고차항의 계수가 1인 다항식의 동반행렬의 특성방정식은 원래의 다항식임을 보여라.
Ans
계수가 1인 차
의 동반행렬은 다음과 같다.
이 행렬의 특성다항식은 아래 행렬의 행렬식이다.
행렬식을 구하기 위해 번째 행을 기준으로 여인자 전개를 하면 다음과 같다.
은 삼각행렬이므로 주대각성분들의 곱으로 각각 이다.
이를 정리하면 특성방정식은 다음과 같다.
이다. 따라서
는 원래 다항식 와 같다. ■
P3. 동반행렬(Companion matrix)
의 특성다항식이
임을 증명하여라.
Ans
Sage를 사용하여 확인해보자.
x^6 - 3*x^5 - 4*x^4 + 5*x^3 - 3*x^2 - x + 2
[참고] http://mathworld.wolfram.com/CompanionMatrix.html
What is more: Interactive 참고 자료 (GeoGebra+Sage+강의록+동영상)