9.3 동형사상(Isomorphism)

chapter 9. 일반벡터공간 (전자책)

 동영상 강의 주소: http://youtu.be/Y2lhCID0XS8

 상의 선형변환의 정의를 일반적인 벡터공간 로 확장하여 다음과 같이 일반적인 선형변환을 정의하자. 이 선형변환 중, 전단사인 선형변환들은 특별한 의미를 갖는다.

9.3 연습문제

1. 임의의 벡터공간 에 대하여 선형변환 가

        을 만족할 때, 와 을 구하여라.

 

        [2-7] 다음 중 선형변환인 것과 아닌 것을 구별하고 선형변환이 아닌 경우 그이유를

        서술하여라.

        2. ,

        3. ,

        4. ,

        5. ,

        6. ,

        7. ,

이므로 

        이고 따라서‘선형변환이 아니다.’

        [8-11] 다음 선형변환의 핵과 치역을 각각 구하여라.

        8. ,

 일 때, 핵 =(즉, 안의 모든 상수의 집합)

 , 치역 = 상수항이 0인의 부분집합

        9. ,

 핵=, 치역=

        10. ,

 인 행렬들의 집합, 또는 고유값들의 합이 0인 행렬들의 집합

                예,

        11. ,

  의 원시함수를 라 할 때, 인 의

                 집합

        12. 에서 으로의 동형사상을 하나 결정하여라.

   일 때

                로 정의된 함수는 동형사상이다.

토론과 발표

        P1. 다음과 같이 주어진 선형변환의 표준행렬을 구하여라.

 (의 의미 )

        P2. 다음 선형변환의 표준행렬을 구하여라.

                ,

        (이건 에서() 로 이해.)

        P3. 선형변환이 다음과 같이 정의된 경우 핵(kernel)을 구하여라.

        P4. 이 다음과 같다.

         주어진 변환이 선형임을 보이고, 영공간(null space)를 구하여라.

 선형 함수의 두 조건이 만족함을 보이고, 영공간(null space)은 차

        이하의 모든 다항식들의 집합이다.

        P5. 이 다음과 같다.

         주어진 변환이 선형변환임을 보이고 핵과 치역을 각각 구하여라.

         핵=, 치역=안의 대칭행렬들의 집합

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