현대 선형대수학 with Sage

연습문제 Solutions (SGLee)


우리들이 일상 사용하는 물리적인 양 중에는 길이, 넓이, 질량, 온도와 같이 그 양의 크기만 주어지면 완전히 표시되는 스칼라(scalar)와 힘, 속도, 위치이동과 같이 크기뿐만 아니라 방향까지 지정하지 않으면 완전히 표현할 수 없는 벡터(vector)가 있다.

문제풀이는 지필 뿐 아니라 원하는 CAS 도구를 이용하여 진행해도 된다. QR코드를 스캔하면 바로 웹사이트로 연결되며 (명령어를 복사하면 어떤 Sage 사이트에서도) 바로 숫자나 식을 바꾸어 다른 문제도 풀 수 있다. 아래 모바일 사이트에서는 로그인 없이도 Sage의 활용이 가능하다.

chpter 1.벡터 (전자책)


http://sage.skku.edu 

http://matrix.skku.ac.kr/2012-sage/sage-la 

(크롬  [Download] 이용권장)



1.1 공학과 수학에서의 벡터 : n-차원공간

 동영상 강의

 - http://youtu.be/CbfJYPCkbm8

 - http://youtu.be/85kGK6bJLns

 문제풀이

 - http://youtu.be/fbCMyh-iDCQ


[1-4] 다음에서 $R^3$의 벡터 $\textrm{x}$를 그려라.


[Sage] 1. $\textrm{x} = (2,3,3)$

http://matrix.skku.ac.kr/LA-Lab/LA-1-1-Ex-1.html 

Ans)

다음의 Sage 명령어를 입력하여 실행하면 된다.

o=(0,0,0)        # 원점표시

x=(2,3,1)        # x 표시

arrow3d(o,x,rgbcolor='red', opacity=0.5)           # 벡터표시 


2. $\textrm{x} = 2(1,0,0)-5(0,1,0)+1(0,0,1)$

Ans)


3. $\textrm{x}=\begin{bmatrix}4\\ 2\\ -3\end{bmatrix}$

Ans)


4. $\textrm{x}=\begin{bmatrix}1\\ -1\\ 4\end{bmatrix}$

Ans)



[5-6] 다음의 주어진 두 점 $P_1$과 $P_2$에 의해 정의되는 벡터 $P_1 P_2$를 구하여라.


5. $P_1 = (3,5)$, $P_2 = (2,8)$

Ans)

$P_1 P_2 = (-1,3)$


[Sage] 6. $P_1 = (5, -2, 1)$, $P_2 = (2,4,2)$

http://matrix.skku.ac.kr/LA-Lab/LA-1-1-Ex-6.html 

Ans)

$P_1 P_2 = (-3,6,1)$


o=vector(ZZ, [0,0,0])

p1=vector(ZZ, [5, -2, 1])  

p2=vector(ZZ, [2, 4, 2])

p1p2=p2-p1     # 이 연산을 하려면 모두 벡터형식이어야 한다.

print p1p2

A=arrow3d(p1, p2, rgbcolor='red')

B=arrow3d(o, p1p2, rgbcolor='blue')

show(A+B)

(-3, 6, 1)



[7-8] 다음의 두 질문에 답하여라.


7. 시작점이 $A(1,1)$인 벡터 $\textrm{x}=(1,2)$의 끝점은?

Ans)

끝점 : $(2,3)$


[Sage] 8. 끝점이 $B(-1,-1,2)$인 벡터 $\textrm{x}=(1,1,3)$의 시작점은?

http://matrix.skku.ac.kr/LA-Lab/LA-1-1-Ex-8.html 

Ans)

시작점 : $A(-2,-2,-1)$


B=vector(ZZ, [-1,-1,2])

x=vector(ZZ, [1,1,3])

A=B-x;A

(-2, -2, -1)



[9-12] 벡터 $\textrm{u}$, $\textrm{v}$, $\textrm{w}$를 다음과 같이 정의했을 때 다음의 벡터를 구하고 질문에 답하여라.

$\textrm{u}=(-3,1,2,4,4)$, $\textrm{v}=(4,0, -8, 1, 2)$, $\textrm{w}=(6, -1, -4, 3, -5)$


9. $6 \textrm{u} - 2\textrm{v}$

Ans)

$6 \textrm{u} - 2\textrm{v} = (-26, 6, 28, 22, 20)$


[Sage] 10. $ (2 \textrm{u} -7\textrm{w})-(8\textrm{v} + \textrm{u}) $

http://matrix.skku.ac.kr/LA-Lab/LA-1-1-Ex-10.html 

Ans)

$(2\textrm{u}-7\textrm{w})-(8\textrm{v} + \textrm{u})$
$=2\textrm{u} - 7\textrm{w} - 8\textrm{v} - \textrm{u}$
$=\textrm{u}-7\textrm{w} - 8\textrm{v}$
$=(-3,1,2,4,4)-7(6,-1,-4,3,-5)-8(4,0,-8,1,2)$
$=(-77,8,94,-25,23)$


u=vector(ZZ, [-3, 1, 2, 4, 4])

v=vector(ZZ, [4, 0, -8, 1, 2])

w=vector(ZZ, [6, -1, -4, 3, -5])

(2*u-7*w)-(8*v+u)

(-77, 8, 94, -25, 23)


[Sage] 11. 위에서와 같이 $\textrm{u}$, $\textrm{v}$, $\textrm{w}$가 주어졌을 때 다음 식을 만족하는 벡터 $\textrm{x}$를 구하여라.

$2\textrm{u} - \textrm{v} + \textrm{x} = 7\textrm{x} + \textrm{w}$

http://matrix.skku.ac.kr/LA-Lab/LA-1-1-Ex-11.html 

Ans)

이항하면 $2\textrm{u} - \textrm{v} - \textrm{w} = 6\textrm{x}$이다.

따라서 해는 $\textrm{x} = ( -\frac{8}{3} , \frac{1}{2}, \frac{8}{3} , \frac{2}{3} , \frac{11}{6})$.


u=vector(ZZ, [-3, 1, 2, 4, 4])

v=vector(ZZ, [4, 0, -8, 1, 2])

w=vector(ZZ, [6, -1, -4, 3, -5])

1/6*(2*u-v-w)

(-8/3, 1/2, 8/3, 2/3, 11/6)


12. $a\textrm{u} + b\textrm{v} = (6,2,-20,11,14)$를 만족하는 $a$, $b$를 결정하여라.

Ans)

$a=2$, $b=3$



[13-14] 다음 중 $R^6$상에서 주어진 벡터와 평행한 벡터를 고르고 그 이유를 설명하여라.

 ① $(4,2,0,6,10,2)$

 ② $(4,-2,0,-6,-10,-2)$

 ③ $(0,0,0,0,0,0)$


13. $\textrm{u} = (-2,1,0,3,5,1)$

Ans)

② $-2 \textrm{u}=(4,-2,0,-6,-10,-2)$, ③ $0 \textrm{u} = \textrm{0}$


14. $\textrm{v} = (2,1,0,3,5,1)$

Ans)

① $2 \textrm{v} = (4,2,0,6,10,2)$, ③ $0 \textrm{u} = \textrm{0}$



 토론과 발견


[P1-P2] 다음 두 벡터가 같은 벡터인지 판정하여라.   


P1. 시작점이 $(5,3)$, 끝점이 $(6,2)$인 벡터와 시작점이 $(1,-2)$, 끝점이 $(1,1)$인 벡터

Ans)

시작점이 $(5,3)$, 끝점이 $(6,2)$인 벡터 : 벡터 $\textrm{v}_1 = (1,-1)$

시작점이 $(1,-2)$, 끝점이 $(1,1)$인 벡터 : 벡터 $\textrm{v}_2 = (0,3)$

따라서 두 벡터가 다르다.   ■


P2. 시작점이 $(2,1,1)$, 끝점이 $(3,0,4)$인 벡터와 시작점이 $(5,1,4)$, 끝점이 $(6,0,7)$인 벡터

Ans)

시작점이 $(2,1,1)$, 끝점이 $(3,0,4)$인 벡터와 시작점이 $(5,1,4)$, 끝점이 $(6,0,7)$인 벡터를 각각 $\textrm{v}_1$, $\textrm{v}_2$라 하면

$\textrm{v}_1 = (1,-1,3) = \textrm{v}_2 = (1,-1,3)$로 두 벡터가 일치한다.   ■

                

P3. 다음과 같은 두개의 벡터를 생각하자.

$(a_1 , a_2 )( b_1 , b_2)$, $(c_1 , c_2 )(d_1 , d_2 )$

이 경우 이 두개의 벡터가 같은 노름(norm)과 같은 방향을 가진다고 하면 아래의 식이 성립하는지 증명하여라. 또한, 역의 경우도 성립하는지 확인하여라.

$b_1 - a_1 = d_1 - c_1$, $b_2 - a_2 = d_2 - c_2$

Ans)

$(a_1 , a_2 )( b_1 , b_2)$로 부터 유추되는 벡터 :
$\textrm{v}_1 = (b_1 - a_1 , b_2 - a_2 )$         

$(c_1 , c_2 )(d_1 , d_2 )$로 부터 유추되는 벡터 :
$\textrm{v}_2 = (d_1 - c_1 , d_2 - c_2 )$

"두 벡터의 노름(norm, 크기)와 방향(기울기)가 같다"는 이야기는 벡터 정의에 의하여 위의 두 벡터가 같다는 이야기이므로, $\textrm{v}_1 = \textrm{v}_2$

따라서, $b_1 - a_1 = d_1 - c_1$, $b_2 - a_2 = d_2 - c_2$.

같은 방법으로 역도 성립한다.   ■


P4. [토론] $R^1$은 실수 전체의 집합과 일치한다. 그렇다면 $R^0$은 어떻게 정의해야 하겠는가?

Ans)

우리는 나중에 이것을 단 하나의 원소(원점)만을 가지고 있는 집합으로 정의할 것이다.

$(R^0 \leftarrow R^1 \leftarrow R^2 \leftarrow \cdots \leftarrow R^n)$   ■


P5. [토론] 크기와 방향이 각각 같은 벡터는 벡터로서는 같은 벡터이다. 그러나 공간에서 기울기가 같은 두 개의 다른 직선은 방정식으로서는 어떤 관계인지 토론해 보아라.

예)

공간에서 두개의 다른 직선의 방정식을 $y=ax+c$, $y=bx+d$라고 하고 이 두 직선이 평행할 때, 그 위에 크기와 방향을 주면 그 벡터는 같은 벡터이지만 위의 두 방정식은 같은 방정식이라고 하지 않는다.   ■