[Math & Coding] 다변수 미적분학

[Math & 코딩]

- 인문대, 사회대, 공대 및 전문대 학생을 위한 <다변수 미적분학 & 코딩> -

다변수 미적분학

Multivariable Calculus

Version 2022/5/01

이상구 with 이재화, 유주연, 함윤미

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사진 찍은 날짜: 2018년 05월 05일 오후 13:52
카메라 제조 업체 : samsung
카메라 모델 : SM-G600S
프로그램 이름 : G600SKSU1BRC2
F-스톱 : 1.9
노출 시간 : 1/1085초
IOS 감도 : 64
색 대표 : sRGB
노출 모드 : 자동
35mm 초점 거리 : 28
프로그램 노출 : 자동 제어 모드
측광 모드 : 가운데 중점 평균 측광
EXIF 버전 : 0220

http://matrix.skku.ac.kr/M-Calculus/

서문

이 책은 대학 과정의 다변수 미적분학 지식 전반을 필요로 하는 마이스터 고등학교 졸업생은 물론 문-이과 구분없이 모든 대학 신입생과 직장인 및 평생교육기관에서 사용하는데 최적화된 교재이다.

Math & Coding을 활용하여 수학적 배경이 다른 모든 학생이 일변수 미적분학 내용을 학습한 후, 바로 다변수 미적분학 내용을 Learning by Doing으로 습득하고 실제 현장에서의 다양한 문제해결력을 갖추도록 만드는 데 목적이 있다. 특히 다변수 미적분학 학습에 필요한 선형대수학 관련 지식을 첫 2주 강의에 온전하게 담은 것이 큰 장점이다.

*실습실: http://matrix.skku.ac.kr/KOFAC/ http://matrix.skku.ac.kr/KOFAC2/

https://sagecell.sagemath.org/ http://matrix.skku.ac.kr/M-Calculus/

저자

주저자: 이상구 교수 (성균관대학교 수학과)

학력/경력/연구성과 목록: http://matrix.skku.ac.kr/sglee/vita/LeeSG.htm

공저자: 이재화 박사
2009년 중국과학원에서 최적화이론과 계산수학으로 이학박사 학위를 받았다. 성균관대학교 BK21 수학적 모델링 HRD 사업단 박사 후 연구원을 거치며 첨단과 전통 수학을 연결하는데 관심을 갖고, 계산수학과 사회수학 분야의 연구를 수행하고 있다. 최근 대학수학교육과 동아시아 수학사에 관한 다수의 논문을 발표하고, 본 저서의 코드를 개발하였다. 현재 성균관대학교 에너지환경융합 KIURI 연구단의 박사 후 연구원으로, 『(빅북) 선형대수학』, 『최신 공학수학 with Sage』, 『인공지능을 위한 기초수학 입문』(공저) 등의 저서가 있다.

공저자: 유주연 박사

한양대학교에서 응용수학으로 이학박사학위를 받았다. 성균관대학교 데이터사이언스학과 겸임교수와 ㈜디비디스커버 데이터 사이언스팀의 수석으로 인공지능 프로젝트를 수행하다가 현재 성균관대학교 기초과학연구소 선임연구원으로 한국연구재단 과제를 수행 중이다.

공저자: 함윤미 교수
미국 유타주립대에서 편미분방정식으로 이학박사 학위를 받았다. 서울대학교 SRC PostDoc을 거쳐 경기대학교 수학과 교수로 여성수리과학회 부회장, 경기대학교 도서관장, 인재개발처장을 역임했다. 경기대학교 우수연구상과 우수교육상을 동시에 수상하였다. 『Calculus with Sage』, 『인공지능을 위한 기초수학 입문』(공저) 등의 저서가 있다.

*복습: [미적분학(Single Variable Calculus)] 15주 강의계획서와 교안/실습실/동영상강의

주 차	진 도	비 고 (교안/실습실/동영상강의)
1	강좌 소개 및 복습 (Math & Coding) 9학년(중3) 수학, 10학년(고1) 수학	http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W1/ https://youtu.be/dvreK7t4UIY
2	복습: 11학년(고2) 수학 1, 수학 2	http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W2/ https://youtu.be/j0EI6z2xjSw
3	복습: 12학년(고3) 미적분 함수의 그래프와 방정식의 해	http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W3/ https://youtu.be/2k0PJ4zs9q4 https://youtu.be/zQnjYU4pyR8
4	역삼각 함수, 쌍곡선 함수, 역쌍곡선 함수	http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W4/ https://youtu.be/JFAsjc3E70U
5	함수의 극한, 극한 정리 연속함수, 중간값 정리	http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W5/ https://youtu.be/Didz3qkHCqM https://youtu.be/Vde0ah_FcJo
6	도함수, 접선의 방정식, 미분 법칙	http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W6/ https://youtu.be/269uVGhQg6s
7-1	연쇄법칙, 음함수와 매개변수함수의 미분법	http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W7/ https://youtu.be/1bnoS27s1xw
7-2	발표평가/중간고사	https://youtu.be/CYLugm1mFN8 https://youtu.be/j7josDk1Bg8 https://youtu.be/iEtNpeBzY90
8	삼각함수, 역삼각함수, 지수함수, 로그함수의 미분법, 선형근사	http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W8/ https://youtu.be/9aSLI9cG4ZM
9	쌍곡선함수 미분법, 역쌍곡선함수 미분법 평균값 정리, 로피탈의 법칙(부정형의 극한)	http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W9/ https://youtu.be/YMJcVIbwy6M
10	극댓값과 극솟값(최댓값, 최솟값)	http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W10/ https://youtu.be/gQYucuXMYgc
11	부정적분, 치환 적분법, 부분 적분법 정적분, 정적분의 기본정리, 이상적분	http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W11/ https://youtu.be/6EhJxj8n_-E
12	넓이, 부피, 호의 길이, 극좌표, 극방정식 극좌표의 그래프, 넓이와 길이	http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W12/ https://youtu.be/xKu-ajdhNyY https://youtu.be/uOThnTVZPvw
13	수열, 급수, 급수의 수렴, 발산 판정법 거듭제곱 급수에 의한 함수의 표현 테일러 급수와 매클로린 급수	http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W13/ https://youtu.be/yGhJ7yoX1XI https://youtu.be/jBsj6gPg-gM
14/15	[종합평가] PBL 보고서 / Project 발표 / 기말고사

*[다변수 미적분학(Multivariable Calculus)] 10주 집중학기 강의계획서와 교안/실습실

주 차	진 도	비 고 (교안/실습실)
1	다변수미적분 강좌 소개 벡터와 행렬, 선형연립방정식 가우스 소거법, 선형연립방정식의 해집합	http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W1/
2	3차원 좌표계, 3차원 벡터, 내적, 외적 3차원 공간에서의 직선 및 평면의 방정식 벡터함수와 공간곡선	http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W2/
3	벡터함수의 미분과 적분 다변수함수, 극한과 연속, 편도함수	http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W3/
4-1	접평면과 선형근사, 연쇄 법칙, 방향 도함수와 그래디언트 벡터	http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W4/
4-2	발표평가/중간고사	http://matrix.skku.ac.kr/PBL2/
5	다변수 함수의 극대, 극소, 최댓값과 최솟값	http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W5/
6	직사각형 위에서의 이중 적분 일반적인 영역 위에서의 이중 적분	http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W6/
7	극 좌표에서의 이중 적분 삼중 적분	http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W7/
8	원기둥 좌표에서의 삼중 적분 구면 좌표에서의 삼중 적분	http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W8/
9	벡터장, 선적분, 그린 정리, 회전, 발산, 면적분, 스토크스 정리, 발산정리	http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W9/
10	복소수와 복소함수 / 공학수학 소개 프로젝트 발표	http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W10/ http://matrix.skku.ac.kr/PBL2/
10-1	[종합평가] PBL 보고서 / Project 발표 / 기말고사

1주차 벡터와 행렬, 선형연립방정식

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W1/

(추후 강의동영상 첨부)

◩ 열린 문제 1

위에서 배운 벡터와 행렬에 대한 연산을 다른 교재의 행렬에 적용하는 행렬연산을 시행해 보시오. [http://matrix.skku.ac.kr/KOFAC/에서 실습]

◩ 열린 문제 2

인터넷이나 다른 교재에서 5차 (이상) 행렬을 찾아서, 전치행렬과 역행렬이 존재하는지를 확인하고, 존재하면 찾아보시오.

◩ 열린 문제 3

다른 교재의 선형 연립방정식의 해를 위의 명령어로 구하시오.

(Hint: http://matrix.skku.ac.kr/2018-album/LA-Sec-3-5-lab.html 실습)

◩ 열린 문제 4

행렬 와 6차원 벡터 를 임의로 생성하여 선형연립방정식 의 해집합을 구하여라.

2주차 벡터의 노름, 내적, 외적, 직선과 평면의 방정식, 정사영

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W2/

(추후 강의동영상 첨부)

◩ 열린 문제 1

임의로 10차원 벡터 와 를 생성하여 , , , 와 가 이루는 사잇각 (호도법, 육십분법)를 구하시오.

◩ 열린 문제 2

4차원 공간 에서의 방향코사인(direction cosine)에 대하여도 유사한 이론 전개가 가능한지 확인해 보세요,

◩ 열린 문제 3

임의로 상의 세 벡터 , , 를 생성하여 , 등을 계산하고 외적의 연산법칙들이 성립하는지 확인하시오.

◩ 열린 문제 4

다른 교재에서 찾은 에서의 직선과 평면의 방정식에 관한 문제를 해결하시오.

◩ 열린 문제 5

상의 한 점 에서 평면 에 이르는 최단거리를 구하고, 이에 관하여 토론하시오.

[보고서 양식 (다운로드)] http://matrix.skku.ac.kr/PBL/PBL-Report-Form-Korean.hwp

[1st PBL 보고서 수정/보완본 샘플 (Sample)] http://matrix.skku.ac.kr/2021-W-Final-PBL/

3주차 벡터함수와 공간곡선, 다변수 함수의 편미분

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W3/

(추후 강의동영상 첨부)

◩ 열린 문제 1

다른 교재에서 적당한 벡터함수 를 찾아 그 그래프를 그리고 접선벡터 와 곡률 를 구하고, 적당한 범위 에서 곡선의 길이(arc length)의 근삿값을 구하여라.

◩ 열린 문제 2

다른 교재에서 찾은 다양한 이차곡면(quadric surface)을 그려보시오.

◩ 열린 문제 3

다른 교재에서 찾은 다양한 다변수 함수의 그래프와 등위곡선(level curve) 또는 등위곡면(level surface)을 그려보시오.

◩ 열린 문제 4

일 때 의 1계 편도함수(the first order partial derivative)를 모두 찾아라.

◩ 열린 문제 5

3변수 함수 에 대한 와 를 계산하라.

4주차 편미분, 연쇄법칙, 방향도함수, 그래디언트 벡터

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W4/

(추후 강의동영상 첨부)

◩ 열린 문제 1

다른 교재에서 적당한 이변수함수 를 찾아서 모양의 음함수로 표현한 후, 그 편도함수 와 를 구하시오.

◩ 열린 문제 2

특정한 점에서의 gradient(기울기 벡터, 그레이디언트)의 방향을 구할 수 있는 지도나 기압의 등고선 그림을 찾아보시오.

[중간고사 (sample)]

http://matrix.skku.ac.kr/cal-book/2013-Calculus-2-Mid-Exam-F-solution.pdf

5주차 이변수함수의 극대 극소, 최대 최소

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W5/

(추후 강의동영상 첨부)

◩ 열린 문제 1

다른 교재를 참고하여 다양한 이변수함수 (또는 3변수함수)의 극댓값, 극솟값, 또는 안장점을 (임계점과 Hessian 행렬 H, 그리고 각 임계점에서의 Hessian 행렬의 고윳값을 찾는 H.eigenvalues() 명령어를 이용하여) 구하여라.

◩ 열린 문제 2

라그랑주의 승수법을 이용하여 방정식 을 만족하는 함수 의 최댓값과 최솟값을 코드를 활용하여 구해보시오.

6주차 이중적분

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W6/

(추후 강의동영상 첨부)

◩ 열린 문제 1

다른 교재나 그 외 여러 가지 문제를 활용하여 폐(closed) 직사각형구간에서의 연속함수에 대한 이중적분을 풀어보자.

◩ 열린 문제 2

다른 교재의 문제중 두 함수에 의하여 둘러쌓인(enclosed)인 일반 영역 에서의 연속함수에 대한 이중적분을 풀어보자.

◩ 열린 문제 3

직사각형 영역에서 연속인 함수를 골라서 (Fubini 정리에 따라), 이중적분에서 적분순서를 바꾸어 보고, 두 적분의 결과값이 같다는 것을 확인하여라.

◩ 열린 문제 4

구간 에서 상수함수 일 때 이것을 적분하면 의 길이를 구할 수 있다. 영역 에서 상수함수 을 적분하면 가 되어 영역 의 면적을구할 수 있다. 영역 에서 상수함수 을 적분하면 가 된다. 이것의 기하학적인 의미는 무엇인가?

7주차 극좌표계에서 이중적분, 삼중적분

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W7/

(추후 강의동영상 첨부)

◩ 열린 문제 1

다양한 극곡선(Polar Curve)들을 그려보고, 이 곡선들이 만드는 영역의 넓이를 구해보자.

◩ 열린 문제 2

평면에서 곡면적(Surface Area)과 평면에서 곡면적(Surface Area)을 구하는 문제를 찾아서 실습해보시오.

◩ 열린 문제 3

삼중적분(Triple Integral) 에 대한 푸비니(Fubini) 정리가 다른 삼중적분에서도 성립함을 확인하시오.

◩ 열린 문제 4

몇가지 삼중적분의 문제를 찾아서 앞에서 배운 코드를 이용하여 부피를 구하여 보시오.

8주차 원기둥 좌표계, 구면 좌표계에서의 삼중적분

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W8/

(추후 강의동영상 첨부)

◩ 열린 문제 1

다른 교재의 문제 중 구면좌표의 한 점을 직교좌표 로 나타내어라.

◩ 열린 문제 2

구면좌표계(Spherical Coordinate)에서의 야코비안(Jacobian)을 유도하라.

9주차 벡터 미적분학

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W9/

(추후 강의동영상 첨부)

◩ 열린 문제 1

를 구하라. 여기서 이고, 는 원기둥 내부에 놓인 평면 의 영역(area)이다.

◩ 열린 문제 2

원기둥 곡면 와 평면 에 의해 둘러싸인 제 1팔분공간(first octant)의 영역 에서 아래 발산 정리(divergence theorem)가 성립함을 확인하라.

(이때 )

10주차 복소수와 복소함수 / 공학수학 소개

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W10/

(추후 강의동영상 첨부)

◩ 열린 문제 1

임의로 복소수를 생성하여 다양한 복소수 연산과 극형식을 구해보시오.

기말고사 (sample)

http://matrix.skku.ac.kr/cal-book/2013-Calculus-2-Final-Exam.pdf

PBL 보고서 발표(sample)

샘플 Summary, Math4AI : http://matrix.skku.ac.kr/Math4AI-Summary/

[PBL report Form Download(보고서 양식 다운로드)]

Korean (HWP) : http://matrix.skku.ac.kr/PBL/PBL-Report-Form-Korean.hwp

English (MS Word) : http://matrix.skku.ac.kr/PBL/PBL-Report-Form-English.docx

샘플 2021 PBL 보고서 (한글) : http://matrix.skku.ac.kr/2021-Final-PBL/

2020 Fall PBL 보고서 (한글) : http://matrix.skku.ac.kr/2020-Math4AI-PBL/

2021 Fall PBL report (English) : http://matrix.skku.ac.kr/2021-Math4AI-Fall-PBL/

2021 Summer PBL report (English) : http://matrix.skku.ac.kr/2021-Final-PBL-E/

PBL 보고서 발표 http://matrix.skku.ac.kr/2021-W-Final-PBL/

Appendix

http://sage.skku.edu/ https://sagecell.sagemath.org/

http://math1.skku.ac.kr/ http://sage.knou.ac.kr/

https://www.sagemath.org/ https://cocalc.com/

http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/

http://matrix.skku.ac.kr/Lab-Book/Sage-Lab-Manual-1.htm

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher.html

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-para.html

http://matrix.skku.ac.kr/Mobile-Sage-G/sage-grapher.html

*미적분학의 개념 http://matrix.skku.ac.kr/calculus-map/ by SGLee

묶음 개체입니다.

*This research was supported by the National Research Foundation of Korea (NRF) grant funded by the Korea government(MSIT) (No. 2021R1F1A1046714)
and by Korea Initiative for fostering University of Research and Innovation Program of the National Research Foundation (NRF) funded by the Korean government (MSIT) (No.2020M3H1A1077095).