6주차. 이중적분
6.1 직사각형 영역에서의 이중적분(Double Integral in Rectangle Region)
이변수 함수 가 정의역이 평면에서의 폐(closed) 직사각형 영역 이고, 양수값을 갖는다고 하자.
이제 위와 이변수 함수 아래에 있는 입체의 부피를 구하기 위하여 폐구간 를 개의 작은 구간 ( ), 를 개의 작은 구간 ( )으로 등분하면 은 개의 작은 직사각형 영역으로 분할된다. 이제 의 면적을 라 하고 상의 임의의 한 점을 라 하면 이중 리만합은 다음과 같이 정의된다.
여기서 과 이 커짐에 따라 이중 리만합은 폐직사각형 위에서 이변수함수 아래에 놓인 입체의 부피에 근접한다. 그러므로 는 이중적분의 값의 근삿값으로 이용된다.
의 그래프를 다양한 으로 나누어 계산한 부피의 근사값
극한을 이용하여 부피를 다음과 같이 정의한다.
타원포물면 과 폐(closed) 직사각형 위에 놓인 입체의 부피(Volume)를 추정하라. 이때 를 네 개의 같은 직사각형으로 나누고, 표본점은 각 의 오른쪽 모서리 점을 선택한다.
풀이.
이므로 이다.
위 문제를 로 풀면 다음과 같다.
만약 이변수 함수 의 부호에 상관없이 극한이 존재하면 이 극한값을 영역 에서 의 이중적분(double integral)이라 하고 다음과 같이 정의한다.
즉, 이면 직사각형 의 위와 곡면 아래에 놓인 입체의 부피 는
.
이다.
이고 일 때, 중점법칙(Midpoint rule)을 이용하여 의 값을 추정하라.
풀이. 이므로 중점공식(Midpoint rule)을 사용하여 네 개의 작은 직사각형의 중심을 구하고 함숫값을 계산한다. 각 중점의 좌표는 이고 이다.
위 문제를 로 풀면 다음과 같다.
영역 의 윗부분과 곡면 아랫부분으로 이루어진 입체의 부피는 다음과 같다.
단, 는 축에 수직인 평면이 입체를 절단했을 때 생기는 절단면의 넓이이다.
이때 가 고정된 상태로 의 범위에 있다면 는 하나의 곡선이 되고 는 그 곡선 아래의 넓이이다. 즉
일 때
를 구하고 인 를 구하여 두 적분 값이 일치함을 확인하시오. 이 문제를 로 풀어보자.
일 때 을 구하라.
풀이.
로 풀면 아래와 같다.
함수 가 에서 연속이면
이다
일 때 를 이용하여 구하라.
다음의 이중적분을 계산하라.
(a) (b)
풀이. (a)의 계산
이것을 로 풀면 다음과 같다.
(b)의 계산
이것을 로 풀면 다음과 같다.
다른 교재나 그 외 여러 가지 문제를 활용하여 폐(closed) 직사각형구간에서의 연속함수에 대한 이중적분을 풀어보자.
6.2 일반영역에서의 이중적분(Double Integral over General Region)
이제 아래 그림과 같이 정의역 가 직사각형 모양이 아닌 일반영역일 때,
함수 를 적분하는 문제를 다룬다. 여기서 영역 는 직사각형 영역 로 둘러싸인 유계(bounded)인 영역이다. 정의역 을 갖는 새로운 함수 를 다음과 같이 정의한다.
(1)
새 함수 가 영역 에서 적분가능하면, 에서 의 이중적분을 아래와 같이 구할 수 있다.
(단, 는 식 (1)로부터 정의된다.)
6.3 이중적분에서 적분 순서의 결정
함수 가 에서 연속함수이면
이다.
또한 가 에서 연속이면
이다.
가 포물선 과 에 의해 둘러쌓인(enclosed)인 영역일 때 를 계산하라.
풀이. 포물선 과 의 교점을 구하면 이므로 )이다. 아래쪽 그래프가 이고 위쪽 그래프가 이므로
이다. 영역 에 대하여 이중적분을 구하면
이다. 로 풀면 다음과 같다.
포물면 아래와 평면에서 직선 와 포물선 에 의해 둘러쌓인(enclosed, surrounded) 평면의 영역 위에 있는 입체의 부피(volumn)를 구하라.
풀이. 직선 와 포물선 에 의해 둘러쌓인 평면의 영역 의 그래프를 로 그려보면 아래와 같다.
오른쪽 그림의 평면상에 그려진 영역이 직선 와 포물선 에 의해 둘러쌓인(enclosed) 영역이다. 영역 의 범위를 구하기 위해 직선 와 포물선 의 교점을 구하면 이다. 영역 의 아래쪽이 포물선이고 위쪽이 직선이므로 영역이므로
이다. 영역 위에 있는 포물면 까지의 부피는 이중적분으로 나타낼 수 있다. 그러므로
이다. 이것을 로 풀어보자.
직선 과 포물선 에 의해 둘러쌓인(enclosed)인 영역 에 대해 을 구하라.
평면 , , , 에 의해 결정되는 [제 1 팔분공간(1st octant) 안의 bounded regiond 인] 아래 그림 모양 사면체의 부피를 구하라.
다른 교재의 문제중 두 함수에 의하여 둘러쌓인(enclosed)인 일반 영역 에서의 연속함수에 대한 이중적분을 풀어보자.
https://unesco.or.kr/data/unesco_news/view/741/504/page
6.4 적분순서의 변경
영역 로 주어졌을 때 함수 의 적분은 푸비니(Fubini) 정리에 의하여
가 성립한다.
이중적분 를 계산하라.
풀이. 적분에서 주어진 영역은 인데, 위의 적분값을 더 쉽게찾기 위하여 적분 순서를 바꾸려면 영역을 다음과 같이 바꾸어 표현하는 것이 편리하다.
따라서 두 영역에서 각각 적분을 하여 같은 값을 가지는 것을 로 확인해보자.
직사각형 영역에서 연속인 함수를 골라서 (Fubini 정리에 따라), 이중적분에서 적분순서를 바꾸어 보고, 두 적분의 결과값이 같다는 것을 확인하여라.
6.5 일반영역에서 이중적분의 성질
일반 영역 가 두 개의 영역 로 나누어졌다고 하자. 즉 이고 (서로 겹쳐지는 곳이 없음)이다. 이때 영역 에서의 이중 적분은 영역 상에서의 이중적분과 상에서의 이중적분으로 나누어 쓸 수 있다.
와 에 의해 둘러싸인 유계(bounded)인 영역 에 대하여 이중적분 를 구하라.
구간 에서 상수함수 일 때 이것을 적분하면 의 길이를 구할 수 있다. 영역 에서 상수함수 을 적분하면 가 되어 영역 의 면적을구할 수 있다. 영역 에서 상수함수 을 적분하면 가 된다. 이것의 기하학적인 의미는 무엇인가?
위의 열린 문제들을 풀어본 후, 본인이 요약/실습/질문/답변한 내용을 Q&A(문의게시판)에 공유하시오.
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Made by Manager: Prof. Sang-Gu Lee, Dr. Jae Hwa Lee, and Dr. Jooyeon Yoo
*This research was supported by the National Research Foundation of Korea (NRF) grant funded by the Korea government(MSIT) (No. 2021R1F1A1046714)
and by Korea Initiative for fostering University of Research and Innovation Program of the National Research Foundation (NRF) funded by the Korean government (MSIT) (No.2020M3H1A1077095).