7주차. 극좌표계에서의 이중적분, 삼중적분 

 

학습목표 

이번 주차에서는 극좌표계에서의 이중적분과 삼중적분을 학습한다.  

핵심개념 

극좌표계에서의 이중적분, 삼중적분 

실습실 

http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book1/Ch14/  

 

7.1 극좌표계에서의 이중적분(Double integral in Polar Coordinate System) 

 

 참고 직교좌표 와 극좌표 의 관계(복습) 

                           

                   

                   

 

 

아래 그림과 같은 극 직사각형(polar rectangle) 을 정의역으로 하는 함수 에서 연속이고 일 때, 다음이 성립한다. 

 

                     

 

                   

                                 

                                 

 

극좌표에서의 이중적분   

가 극좌표 영역 에서 연속이면 다음이 성립한다. 

 

         . 

 

  (주의!!!) 극좌표 변환시 앞에 곱해짐(이는 8.3절에서 다룬다).  

           

                               

 

사각형입니다. 평면 과 포물면 으로 둘러싸인 입체의 부피를 찾아라. 

 

풀이.  입체의 부피는 이중적분 으로 구할 수 있다. 평면 과 포물면 이 만나는 영역은 반지름이 2인 원이므로 

                  묶음 개체입니다.  

의 범위는 0부터 2까지이고, 의 범위는 0부터 까지이다. 적분하려는 식(integrand) 를 극좌표로 변환하면 이므로 그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000081cc4ccf.png
원본 그림의 크기: 가로 488pixel, 세로 130pixel
사진 찍은 날짜: 2014년 08월 22일 오후 9:31를 이용해 다음과 같이 계산할 수 있다.  

 

 

사각형입니다.  이중적분을 이용해서 엽 장미(3-leaved rose) 로 둘러싸인 넓이를 구하여라. 

 

                                그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000073446378.tmp
원본 그림의 크기: 가로 422pixel, 세로 470pixel
프로그램 이름 : Matplotlib version3.5.1, https://matplotlib.org/ 

 

아래 주소에서 엽 장미(3-leaved rose) 를 입력하고, 구간을 t=[0, pi]로 하고, 시간 t를 선택하여 시간 t가 변함에 따라 그래프가 그려지는 모습을 확인한 후, 그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000081cc4ccf.png
원본 그림의 크기: 가로 488pixel, 세로 130pixel
사진 찍은 날짜: 2014년 08월 22일 오후 9:31를 이용하여 그리는 코드는 아래와 같다. http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-flower.html  

 

 

풀이. 극곡선(Polar Curve)에 의하여 닫힌 영역은 다음과 같다. 

 

                     

3엽장미(3-leaved rose)이므로 총 3개의 같은 면적을 갖는 영역이 존재한다. (그래프를 그려보면 부터 까지 일 때 만드는 하나의 영역 면적을 구하여 3배를 하면 된다.) 

 

                  이다. 

 

 

◩ 열린 문제 1   

다양한 극곡선(Polar Curve)들을 그려보고, 이 곡선들이 만드는 영역의 넓이를 구해보자.  

 

 

사각형입니다. 포물면 아래와 평면 위 및 원기둥 의 안쪽에 놓여 있는 입체의 부피를 찾아라. 

풀이. 주어진 정의역에서 피적분함수 의 그래프를 그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000081cc4ccf.png
원본 그림의 크기: 가로 488pixel, 세로 130pixel
사진 찍은 날짜: 2014년 08월 22일 오후 9:31를 이용해 그리면 다음과 같다. 

 

 

입체는 방정식이 또는 인 원반(disc, disk) 위에 놓여 있다. 극좌표에서 이고 이므로 적분영역 또는 이다.  

 

                               그림입니다.
원본 그림의 이름: mem00001f6439a3.tmp
원본 그림의 크기: 가로 476pixel, 세로 468pixel
프로그램 이름 : Matplotlib version3.5.1, https://matplotlib.org/ 

 

그러므로 이다. 

이제 극좌표로 변환하여 이중 적분을 계산하면, 입체의 부피는  

 

                     

 

이다. 

 

 

 

7.2 곡면적(Surface Area, 표면적, 겉넓이) 

함수 , 곡면의 넓이(Surface Area, 곡면적, 표면적) 가 연속(continuous)일 때, 다음과 같이 계산된다. 

 

                

                            그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00001b084a6a.bmp
원본 그림의 크기: 가로 586pixel, 세로 604pixel 

 

이는 그림에서 보듯이 곡면상의 임의의 점에서 각 편도함수에 의해 만들어진 곡선의 접선벡터를 각각 라 하면, 두 벡터에 의해서 만들어진 평행사변형에 수직인 벡터가  

         

         

                                      

 

이기 때문이다. 따라서 평행사변형의 넓이 의 크기이므로  

 

  , 단, 이다. 

  

 

사각형입니다.  평면 위에 있는 포물면 곡면적(Surface Area)을 구하라. 

풀이.   

이다. 이것을 극좌표로 변환하면  

 

                  

 

 

사각형입니다.  평면 의 아래에 놓인 포물면 곡면적(Surface Area)을 구하라. 

 

 

◩ 열린 문제 2   

평면에서 곡면적(Surface Area) 평면에서 곡면적(Surface Area)을 구하는 문제를 찾아서 실습해보시오.  

 

 

7.3 삼중 적분(Triple Integral) 

 

                  

 

  직육면체 를 작은 직육면체로 쪼개어 로 나타내면 각 부분 직육면체의 부피는 이다. 내에서 표본점 을 택하면 삼중(triple) 리만합(Riemann sum)은 다음과 같다.  

 

                              . 

 

 삼중 적분   

직육면체 위에서 삼중적분(Triple Integral) 은 극한이 존재할 때 

 

         

이다. 

 

삼중적분에 대한 푸비니(Fubini) 정리  

직육면체 영역 에서 연속이면 

 

            

 

특히, 에서 일 때  

 

           이다. 여기서 는 직육면체 영역 부피(Volume) 

   

 사각형입니다.  일 때 를 계산하라. 

풀이. 직육면체 영역인 에서 정의한 것으로  

 

                    

 

 

 위의 삼중적분은 직육면체 영역인 에서 정의한 것이므로 삼중적분(Triple Integral) 에 대한 푸비니(Fubini) 정리가 성립하여  

 

                    

 

임을 알 수 있다. 적분 순서를 바꾸거나 적분기호 안의 모든 피적분 함수(integrand)를 각각 분리하여 삼중적분(Triple Integral)하여도 적분결과는 변하지 않는다.  

 

                   

 

 

 

그러므로 아래 그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000081cc4ccf.png
원본 그림의 크기: 가로 488pixel, 세로 130pixel
사진 찍은 날짜: 2014년 08월 22일 오후 9:31코드를 활용하여 두 식 모두 적분값이 같다는 것을 확인할 수 있다.  

 

       

 

 

 

◩ 열린 문제 3   

삼중적분(Triple Integral) 에 대한 푸비니(Fubini) 정리가 다른 삼중적분에서도 성립함을 확인하시오.   

 

 

7.4 일반적인 영역 위에서 삼중적분  

  입체 영역 , 에 대한 두 연속함수의 그래프 사이에 놓여 있을 때 유형 1(type 1)인 영역이라고 한다. 일 때 

 

                     

 

이다. 평면 위로 의 사영(projection)이다. 평면 위로 의 사영 유형 I (type Ⅰ)인 평면 영역이면 다음과 같다. 

 

                            그림입니다.
원본 그림의 이름: K-007.png
원본 그림의 크기: 가로 424pixel, 세로 308pixel 

 

일 때 

 

                 

 

이다. 

 

                          그림입니다.
원본 그림의 이름: K-008.png
원본 그림의 크기: 가로 424pixel, 세로 323pixel 

 

  한편 유형 II (type II)인 평면 영역이면 

일 때 

 

                 

 

이다. 

 

 참고 피적분함수(integrand)가 1일 때 

에서 일 때  (길이) 

에서 일 때  (면적) 

에서 일 때  (부피) 

 

사각형입니다.  가 평면 , , , 에 의하여 둘러싸인 (inscribed, surrounded) 입체일 때 을 계산하라.  

 

 

일 때 

 

                   

 

이다. 단, 평면 위로 의 사영이다. 입체 의 뒤쪽 경계는 방정식이 인 곡면이고 앞쪽 경계는 방정식이 인 곡면이다.  

                    그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000047900001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 332pixel, 세로 282pixel 

 

일 때 

 

                      

 

이다. 단, 평면 위로 의 사영이다. 입체 의 왼쪽 곡면은 이고 오른쪽 곡면은 이다.  

 

                          그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000047901b61.bmp
원본 그림의 크기: 가로 353pixel, 세로 275pixel 

 

사각형입니다. 가 포물면 과 평면 에 의해 둘러싸인 영역의 삼중적분 을 계산하라. 

 

 

위 그림에서와 같이 의 범위는 부터 까지이고 평면으로 정사영된 그래프는 가 된다.  

 

        묶음 개체입니다. 

 

따라서 먼저 를 구한 후 평면 상의 영역 을 극좌표로 변환하여 

 

             

 

에서 이중적분 을 구하면 된다.  

 

 

 

7.5 삼중적분의 응용  

  에 있는 모든 점에 대해 인 경우 삼중적분은 부피(Volume)이다. 

 

                             

 

예를 들어 유형 1(type 1) 영역의 경우,  

일 때 

                                                                    

           

 

이다. 곡면 사이에 놓인 입체의 부피(Volume)이다. 

 

사각형입니다.  가 평면 , , , 에 의하여 둘러싸인 입체일 때 그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000081cc4ccf.png
원본 그림의 크기: 가로 488pixel, 세로 130pixel
사진 찍은 날짜: 2014년 08월 22일 오후 9:31 코드를 이용하여 계산하라.  

 

 

 

◩ 열린 문제 4   

몇가지 삼중적분의 문제를 찾아서 앞에서 배운 코드를 이용하여 부피를 구하여 보시오. 

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: 숙제.jpg
원본 그림의 크기: 가로 225pixel, 세로 225pixel
사진 찍은 날짜: 2020년 08월 26일 오후 10:34
프로그램 이름 : Adobe Photoshop CS6 (Windows) 

Week 7 과제 

위의 열린 문제를 풀어본 후, 본인이 요약/실습/질문/답변한 내용을 Q&A(문의게시판)에 공유하시오. 

 

Copyright @ 2022 SKKU Matrix Lab. All rights reserved.
Made by Manager: Prof. Sang-Gu Lee, Dr. Jae Hwa Lee, and Dr. Jooyeon Yoo


*This research was supported by the National Research Foundation of Korea (NRF) grant funded by the Korea government(MSIT) (No. 2021R1F1A1046714)
and by Korea Initiative for fostering University of Research and Innovation Program of the National Research Foundation (NRF) funded by the Korean government (MSIT) (No.2020M3H1A1077095).