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[예제 1.1] |
<해집합>
(1)
(2)
(3) |
의
해집합을 생각해 보자.
이제 이러한 관계를 3차이상의 연립방정식에서 생각해보자.
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[Problem 1.1] |
Sol) 위의 연립방정식의 해집합은 다음의 3가지 경우 중 하나임을 기하학적으로 생각해보 면 쉽게 알 수 있다. 이들 방정식이 나타내는 평면을 각각 H1, H2, H3라 하자. ① 하나의 해(Unique solution)를 갖는다. 아래의 그림(a)와 같이 세 개의 평면이 한 점에서 만나는 경우이다.
(예) ② 해를 갖지 않는다.(No solution) 아래의 그림(b)와 같은 경우이다.
(예) (i) ③ 무한히 많은 해(many number of solutions)를 갖는다. 아래의 그림(c)와 같은 경우이다.
(예) (i)
이와 같이 8가지의 types of solution set이 있을 수 있다. |
서술하시오.
(ii)
(iii)
(iv)
(ii)
(iii)
우리는 이제 일반적으로
의 경우에 대하여 연구한다!
주 아이디어 : 해는 변하지 않게 유지하며 보다 쉬운 equivalent system으로 변환하는 것을 이용한다. 이를 위해서 아래의 세가지 기법을 이용한다.
해가 바뀌지 않는 연립방정식의 세가지 방법
(1) 상수배
(2) 교환
(3) 한 방정식에 상수배해서 다른 방정식에 더하는 것
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[정의]Argumented Matrix |
임의의 행렬
이
경우 위의 행렬과 벡터
이를 첨가행렬(Argumented Matrix)라고 한다. |
와 임의의 벡터 
와 
를 이용하여 Linear System을 아래와 같이 표기할 수 있다.
를 이용하여 다음과 같은 행렬을 만들 수 있다.
Elemetary Row Operations (for the augmented matrix) : [첨가행렬에
대한 기본 행연산]
(E1) row에 상수배
(E2) two rows를 교환
(E3) 한 row에 상수배 해서 다른 row에 더하는 것
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[Theorem 1.1] |
두 연립 일차방정식(SLE'S)가 row equivalent
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Proof) **
[예를 통해 가우스-조르단 소거법 일반 증명의 과정소개]
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Ex. 1.3. |
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연립방정식과 Augmented matrix의 비교를 통한 가우스 소거법의 이해 ⑴ 1행과 2행의 교환 ⑵ 1행에 -3배하여 3행에 더하면, ⑶ 2행에 1배하여 3행에 더하면, ⑷ Normalize of the pivots
⑸ 3행에 -2배하여 1,2행에 더하면, ⑹ 2행에 -2배하여 1행에 더하면,
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의 해를 구하시오. 
; 
REF는 가우스 소거법을 통하여
얻어진다.
;
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[Definition 1.2] |
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REF는 가우스소거법을 통하여 얻어진다.
RREF 는 가우스 조르단 소거법을 통하여 얻어진다.
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[Problem 1.3] Solve the following system of equation by Gaussian elimination. |
What are the pivots? (다음에는 3rd kind 기본 행 연산에 대한 pivot만 고려하시오)
(2) Sol) 위 연립 방정식을 첨가 행렬(augmented matrix)로 바꾸면 다음과 같다.
Gaussian elimination으로 방정식을 풀기 위해서는 첨가 행렬을 REF 행렬로 바꾸어 주어야한다. 그리고 pivot은 소거 과정에서 소거시켜주는 문자의 계수라 할 수 있다. 따라서 이 계산 과정을 훑어보면 다음과 같은 pivots을 찾을 수 있다. (괄호 안에 있는 수가 pivot)
위 행렬을 방정식으로 나타내면
로 나타낼수 있다. 위 연립방정식은 자명한 해를 가질 수 없으므로 자유 변수 z을 문자 t로 치환을 하면 다음과 같은 해를 구할 수 있다.
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(
)
(
)
(
) 
(
)
(
)
(
)
□
basic variables (with leading 1's)과 free variables (without leading 1's)에
대해서도 알아두자.
아래의 행렬에서 1, 2 column에는 1이 걸려 있으므로 basic variable이 되지만, 세 번째 column에는 1이 없으므로 free variable이 된다.
따라서
위의 예제에서 
, 
는 basic variable이 되지만, 
는 free variable이 된다.
이러한 가우스소거법은 가우스소거법 예제를 테스트하는 곳을 통해서
직접 해 볼 수 있다. 위의 예제를 바로 해당 사이트에서 돌려본 결과이다.
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결과가 다른 이유는 최초 피보팅에서 3이아닌 4를 선택했기
때문이다. 그래도 각 row가 equivalent하기 때문에
그 결과는 동일하게 나타나게 된다.
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1801년 1월 1일 시칠리아의 천문학자인 Piazzi(1746-1826)는 화성과 목성사이에 있는 소위 잃어 버린 행성을 찾고 있었고, 그 결과 소행성 Ceres를 찾을 수 있었다. 그러나 관측중 약간의 데이터만을 남겨두고 소행성 Ceres는 태양 뒷 편으로 사라지고 말았다. 이 때 Gauss는 이 행성의 궤도를 최소제곱법(Least Square Problem)으로 풀었는데 이를 풀기 위한 과정에서 이용한 것이 바로 Gauss Elimination이었다. 결국 소행성은 Gauss의 예측한 궤도상에 나타났고, 많은 사람들은 이제야 Gauss Elimination 방법에 대하여 관심을 가지게 되었다. 이는 나중에 W. Jordan에 의하여 좀 더 개선되었고 이를 기리기 위하여 Elimination방법에 Gauss의 이름을 붙이게 된 것이다. |
Gauss
Elimination의 최초버전은 앞에서 잠시 언급한 것과 같이
구장산술(九章算術:Nine Chapters of Mathematical
Art)에 소개되어 있다. 이는 기원전 200년경에 소개되어
있으나 그동안 잘 안 알려져 왔다. 결국 이것이 알려진
것은 독일의 저명한 수학자 Gauss에 의해서였다. 그는 이것을
소행성의 궤도계산에 응용하여 알려지게 된 것이다.
이제 행렬을 정의하고 그 성질을 알아보자.
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[Definition] |
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Let
|
A의 transpose
.
.
|
Sylvester는 행렬에 대한 그의 작업을 1858년에 출판된 Memoir on the Theory of Matrices 라는 책에서 행렬 상에서의 기본 계산들을 소개한 친구이자 영국의 수학자이며 변호사인 Arthur Cayley에게 전달했다. 유태인 이었던 Sylvester는 영국의 교회의 서약에 서명하는 것을 거절했기 때문에 대학 학위를 얻지 못했다. 그는 미국 버지니아의 대학에서 교수직을 약속받았지만 수업시간에 신문을 읽고 있었기 때문에 한 학생을 지팡이로 때린 이후에 사임했다. 학생을 죽였다고 생각한 Sylvester는 첫배를 타고 영국으로 돌아갔다. 다행히도 그 학생은 죽지 않고 기절했을 뿐이었다. 그 후 다시 미국의 Johns Hopkins 대학 수학과의 학과장으로 초빙되어 미국 최초의 수학연구 잡지인 American Jour. of Mathematics를 만들고 19세기 말에 미국 대학에서을 수학 연구의 장으로 인도하였다. |
행렬이라는 단어는 1850년에 “항들의 직사각형 배열”이 되게 하는 개념을 정의한 영국의 수학자이자 변호사인 James Sylvester 에 의해 처음 사용되었다.
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[Theorem 1.2] |
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Suppose that the sizes of
|
are the same. Then the following rules of matrix arithmetic are valid:
결합법칙
Proof) 위의 증명은 매우 쉽다. 실제 행렬을 하나 정해서 그
값을 계산해보면 쉽게 나오기 때문이다. 여기서는 1번만을 증명하고
넘어가도록 한다.
1)
, 
, 
라 하자. 그러면 
가 된다.
symmetric 과 skew-symmetric 행렬에
대해서도 알아두자.
1)
가 symmetric : 
인 경우를 symmetric이라 한다.
2)
가 skew-symmetric : 
인 경우를 skew-symmetric이라 한다.
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[Notation] |
|
Let
: |
의 j-th col 
, 
의 i-th row
로 표기 하자.
위의 Notation을 이용하여 두 행렬의 곱을 표현하면 다음과 같이
표현할 수 있다.
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[Notation] |
|
Note :
이를 3M- notation 이라 한다. (Marcus, Minc, Moyles) |
의 jth col 
의 ith row
의 ijth entry 
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[Definition] : Identity Matrix (단위행렬) |
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|
Note : 
: 따라서
but : In general, 
(Example
1.4)
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[Example 1.4] : 교환법칙의 미성립 |
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우선 두 행렬을 정의하자.
|
,
나 
는 모두 
행렬이지만, 다음에서 알 수 있듯이 
이다.
,
|
[Theorem 1.4] |
|
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) ( |
)
Proof)
< proof of (2) >
< proof of (5) >
, 
, 
이라 하고,
, 
, 
의 성분도 
라고 하면,
여기서
의 
성분은
이므로
■
matrix polynomial :
임의의 Polynomial에서 미지수가 행렬인 polynomial을 matrix polynomial이라고
한다.
예를
들면 
이란 polynomial이 있다. 이를 다음과 같이 정의하면
이
된다. 이 것을 matrix polynomial 
for 
라고 한다.
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[Example] |
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Find
|
for the matrix
|
[Problem 1.8] |
|
Prove or disprove
|
is not a zero matrix and 
.
Proof) (반예) 
but 
|
[Problem 1.9] |
|
Show
|
Proof) Assume 
따라서 
는 대각 행렬 □
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[Problem 1.10] |
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Let (1)
(2)
(3) |
.
Proof) (1) 
: 따라서 symmetric.
: 따라서 symmetric.
(2)
: 따라서 skew-symmetric
(3)
■
Problem 1.10이 가지는 의미중에서 3번의 의미는 모든 행렬은 symmetric
matrix와 skew-symmetric matrix의 합으로 이루어진다는 점을 보여준다.
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[Definition] |
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행렬
|
가 
차의 정사각행렬일 때, 
의 행렬식(determinant)을 
또는 
로 나타내고 다음과 같이 정의한다.
sgn()함수는 permutation(치환)에 대한 함수이다. 이는 다음과 같이
정의된다.
함수 
을 다음과 같이
정의한다.
따라서 
가 어떤 치환이냐에 따라 앞의 부호가 결정되도록 되어 있다.
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[Exercise] |
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and 
nonzero matrices and 
(HW)
Proof)
A, B 의 행렬식이 정의 되려면 둘다 정사각헹렬이고, 곱셈 AB가 정의 되려면 둘다 같은 크기 이므로 A, B 의 크기를 n 차의 정사각행렬이라하자.
Let A=
and B=
and let 
ith column of AB, 
jth row of AB .
(i) 일반성을 잃지 않고 zero 행렬이 아닌 행렬 B의 첫 번째 column 
이 nonzero vector라 가정하자. 그리고 AB의 첫 번째 column을 보면,
=
=
=
(
AB=0)
로 표시 됨을 안다. 이는 column vectors of A 들이 linerar dependent를 의미하고 , then det(A)=0,
(ii) 같은 방법으로 일반성을 잃지 않고 A의 첫 번째 row 
이 nonzero vector라 가정하자. 그리고 AB의 첫 번째 row 를 보면,
=
=
=
(
AB=0)
이는 row vectors of B 들이 linerar dependent를 의미하고 , then det(B)=0. ■
|
[rank의 정의] |
|
여기서 REF 행렬의 nonzero leading one의 개수가 바로 주어진 행렬의 계수가 된다. |
행렬 
의 basic variable의 개수를 행렬 
의 계수(rank)라고 하고 이를 
라고 표시한다. 위의 Ex. 1.3에서 
의 첨가행렬
를 가우스 소거법을 통해를 구하기 위해
풀면 다음과 같은데
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|
|
: 위의 note에 나오는 "실제로 행렬의 계수를 구할 때는 REF를 구하여 nonzero
leading one의 개수가 바로 주어진 행렬의 계수가 된다."부분을 잘 모르겠는데요. Nonzero leading ove의 개수를 어떻게 알
수 있는 건지 설명해 주시면 좋겠는데요. 감사합니다.
'nonzero leading one'은 0이 아닌 1을(1이 아니더라도 1로 만들어 주면 되겠죠?)
선행선분으로 가지는 행을 말합니다. 그리고 RREF는 REF에 어떤 선행선분을 가지는 열의 다른 성분을 0으로 만들어 주는 것이기 때문에
'nonzero leading one'의 개수가 변하지 않으므로, 계수만을 구할 때에는 RREF까지 구할 필요가 없이 REF만으로 계수를 구할
수 있습니다.
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[Exercise] |
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[Problem] |
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|
.
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[Theorem 1.5] |
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모든 |
는 either no solution,
exactly one solution
or infinity many solution 갖는다.
의 형태의 연립방정식이 해를 가질 조건에 대해서는 위에서 충분히 설명해 두었다.
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[Definition] |
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[Definition 1.7] |
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가 
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[Lemma 1.6] |
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If
i.e |
가 되고
라 쓴다.
이면 
라 한다.
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[Definition 1.8] |
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자 이렇다면 과연 Invertible일 때 Inverse Matrix인 B는 어떻게 찾을
것인가가 문제이다 이 방법은 행연산에 의해 가능하다 바로 아래의 방법대로
Gauss Elimination에 나오는 소거법을 이용하면 손쉽게 구할 수 있다.
여기서 
들은 각각의 행연산을 의미하는 permutation matrix들이다. 이 matrix들을 Elementary
matrix라고 부른다. 그리고 각 row에서 row안의 최대값의 역수로
상수배를 해 준다. 그러면 
부분이 모두 대각성분이 1인 행렬로 바뀔 것이다. 그 다음 대각성분을 제외한
나머지 값도 모두 0으로 만들도록 행연산을 취해준다. 이 의미는
바로 
에 있다. 따라서 
까지 취해주면 바로 
는 
가 되고, 그에 따라 
는 원래 행렬의 역행렬이 된다.
예제를 통해 알아보자.
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[Problem 1.20] |
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G-J 소거법으로 역행렬 구하는 복습 문제 Find the inverse of each of the following matrices :
① A의 역행렬 구하기
② B의 역행렬 구하기
③ C의 역행렬 구하기
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, 
, 
=
=
=
=
=
=
=
= 
=
이제 역행렬의 다른 성질에 대해서도 알아보자.
|
[Problem] |
|
Prove or disprove |
the left inverse is unique.
Hint of Proof) 이 문제에 대해서 아래에서 나온다. 이 문제를 다루기
전에 일단 역행렬의 정의를 알아보고 넘어가자.
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[Problem 1.13] |
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|
Hint of Proof) 역행렬의 성질을 이용하면 손쉽게 풀 수 있다. 예를
들면 1번의 경우,
은 
의 역행렬을 구하는 것이므로 이 역행렬을 
라고 하자. 그렇다면,
, 
이므로 
이다. 바로 이런 식이라 하겠다.
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[Theorem 1.7] |
|
|
Proof) 
라고 하면,
이어야 한다.
따라서
, 
, 
이며,
따라서
가 된다. ■
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[Problem 1.15] |
|
Is it true |
?
Hint of Proof) 일반적으로 True, False를 구분할 경우 False를
생각하는게 대부분이다. 그러나 이 문제는 True이다. 따라서 증명을
하도록 하는게 좋다.
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[Problem] |
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Prove or disprove
For any matrix |
, not necessarily a square matrix,
the left inverse of 
is unique.
Proof)
(Ans) N0!
(반예) 
따라서 
는 무수히 많은 left inverse를 갖는다.
|
[Note] |
|
그러나 |
를 가지면 
안의 
block은
unique하게 결정된다.
정리하면 모든 행렬의 Left inverse는 Unique하지 않는다. 그러나 invertible인
경우에는 항상 unique하게 결정되며 invertible이 아닌 non-square matrix의
경우에는 unique하지 않지만, 그 안에 block matrix중 unique하게 결정되는
부분이 있다.
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[Definition 1.9] |
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에 Elementary operation 한 번 해서 얻은 행렬을 Elementary matrices 라 한다.
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[Definition 1.10] |
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permutation 행렬은 |
의 row 들을 permute 하여 얻어진 행렬이다.
교재 p.29에 나오는 Problem 1.16과 1.17은 반드시 해 보기 바랍니다.
이제까지의 내용을 종합해 보면 본 Theorem으로 그 내용이 모아진다.
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[Theorem 1.8] |
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Let
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6) |
has a left inverse.
has only the trivial soltion.
is row-equivalent to 
.
is a product of elementary matrices.
is invertible.
has a right inverse.
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[Problem 1.8] |
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세 elementary 행렬의 product 의 역행렬을 구하는 문제 Find the inverse of the product.
|
Sol) 
' 
, 
라 하자.
행렬 
의 역행렬은 
로 나타낼 수 있다.
(
는 
와 같이 표현 가능하므로 
는 
가 되고 이를 역행렬로 나타낼 수 있다.)
inverse ERO-(3)를 통해 각 행렬의 역행렬을 구하면 다음과 같다.
=
, 
=
, 
=
= 
=
다음 정리는 Theorem 1.8에 의하여 자연스럽게 유도된다.
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[Theorem 1.9] |
|
singular |
는 unique 해 갖는다.
either no solution
or infinitely many 해
의 row echlon form은 
이다.
그런데 그 
는 
에 elementary matrices를 곱함으로 얻어진다.
i.e. 
그런데 
는 permutation matrices 이고, 
,
는 모두 
행렬이다.
더구나 
행렬의 inverse도 
행렬이다.
따라서 
를 별도로 처리하면, 일반성을 잃지 않고 우리는 
로 쓸 수 있다.
이 factorization은 매우 중요하다.
왜냐하면 
i.e. 
는 forward substitution 으로 쉽게 solve.
또 
는 backward substitution 으로 쉽게 solve.
따라서 쉽게 
를 solve. 할 수 있다.
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[Theorem] |
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If
Let
|
: lower triangular matrix
: upper triangular matrix
, then 
.
. Then 
L행렬은 따라서 Elementary Matrix들을 구하는 것이 중요하다. 아래의
예제를 보자.
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[Example] |
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자 그러면 LU-Factorization이 어떻게 연립방정식의 풀이에 쓰이는지
알아보자.
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[Example 1.11] |
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Solve (과정 설명)
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by LU-factorization.
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[Problem 1.23] |
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Determine an LU decomposition of the matrix
and then find solutions of Ax=b for (1) |
and (2)
Sol) (1)
The elementary matrics for Gaussian elimination of A are easily found to be
, 
so that
Note that U is the matrix obtained from A after forward elimination, and 
with
, 
which is a lower triangular matrix with 1's on the diagonal. Now, the system
resolves to 
and the system
resolves to
(2)
which is a lower triangular matrix with 1's on the diagonal. Now, the system
resolves to 
and the system
resolves to
□
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[Problem 1.24] |
|
(1)
(2) If
(3) If |
: lower 
행렬
는 lower 
행렬
가 invertible 
도 lower 
행렬
의 대각원들도 1.
Pf. (1) Let A
B = C (A, B, C는 n차 행렬이라 가정)
(1
i, k
n)
i<j 이면 
=0 or 
=0 따라서 
(i<j)=0
따라서 C는 lower
.
(2) A가 invertible 하므로
Ek.
E1A=In for some elementary matrices (*)
A가 lower
이므로
Ei(1
)는 In에서 ERO를 할때
1st kind 행 연산 kRi
Ri 와 3rd kind 연산 kRi +Rj
Rj(i<j)만 하면 되므로
각각의 Ei (1
)는 lower
이다
By (*), A-1= Ek.
E1 은 삼각 행렬들의 곱인데
(1)에서 보였듯이 lower
의 곱은 lower
이므로
A-1 는 lower
이다. □
(3) If the diagonal entries are all 1's, then the same holds for their product and their inverse. <1> product : A
B = C
=
i =j 이면 
=1
i
j 이면 
=0 or 
=0
Hence 
=1
<2> inverse : Ek
E1A=I
A-1=Ek
E1
E1(1
k)의 대각성분은 ERO 를 취해도 모두 1이다.
위의 증명에 의해서 Ek
E1도 역시 대각성분은 모두 1이므로 가정이 성립한다. □
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[Theorem 1.10] |
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Let
(i.e For a fixed |
이 invertible , then the LDU factorization of 
is unique up to a permutation.
, the expression 
is unnique.)
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[Problem 1.25] |
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What is the solution Ax=b for b= |
되는 
를 구하라.
Sol) The elementary matrices for Gaussian elimination of A are easily found to be
E₁= 
E₂= 
U=E₂ㆍE₁ㆍA=
ㆍ
ㆍ
=
U=D
이므로 
=
ㆍ
L=
=
=
L=
, D=
, U=
Ax=b 
Ux=c
The system Lc=B : 
c₁=1 c₂=
c₃=-
resolves to c=(1,
,-
) and the system
Ux=D
x=c : 
resolves to x=
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[Problem 1.26] |
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For all possible permutation matrix
|
, find the 
factorization of
이것은 공학용툴을 이용하여 접근해 보도록 한다.
Java Applet Tool :
|
위의 원래행렬 : 행렬1 ---------------------------------------------- 1.0 2.0 3.0 2.0 4.0 2.0 1.0 1.0 1.0 ---------------------------------------------- 행렬1의 L행렬 : 하삼각행렬(lower triangle matrix) ---------------------------------------------- 1.0 0.0 0.0 0.5 1.0 0.0 0.5 0.0 1.0 ---------------------------------------------- 행렬1의 U행렬 : 상삼각행렬(upper triangle matrix) ---------------------------------------------- 2.0 4.0 2.0 0.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 2.0 ----------------------------------------------
|
행렬의 처리결과입니다.
의 결과를 반영한 것이라는 점을 생각하시면 됩니다.
회로와 일차 연립방정식 : 미적분학 교재 (Review)
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[Example] |
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다음의 간단한 전기회로 다이어그램을 보자. 전지나 발전기에서 만들어내는 전압을
그 전류는 음의 값을 갖는다. 전압과 저항이 주어질 때, 전류의 값을 계산하기 위하여 다음과 같은 Kirchhoff의 법칙을 이용한다. (1) 회로의 각 경로가 만나는 교점(junction)에서의 전류의 합은 0이다(다시 말하자면, 교점으로 흘러 들어오는 모든 전류는 모두 다시 흘러 나가게 된다).
(2) 전체 회로의 각각의 닫힌 경로에서는 경로상의 전압
전류
그림에서 첫 번째 닫힌(closed) 회로를 시계 방향으로 돌아가면, 전압의 합은 이렇게 얻은 세 방정식
을 행렬로 나타내면
이 되고 간단한 계산을 하여(역행렬을 구하는 방법이다.)
을 얻는다. 따라서 주어진 저항 |
로 저항을 
로 표시하자. 저항은 전기에너지를 열로 바꾸어 준다. 실제로, 전열기나 오븐은 저항의 역할을 한다. 그리고 회로상의 각 경로에 흐르는 전류의 양을 
로 나타내자. 전압은 볼트로, 저항은 오옴(ohms)으로 측정한다. 전류는 암페어로 측정하는데, 전류가 화살표의 반대방향으로 흐르면
들의 합은 저항 
와 전류 
의 곱들의 합과 항상 같다(
).
는 모두 교점 
로 흘러 들어오므로, 첫 번째 법칙에 의해 
을 얻는다. 이 첫 번째 법칙을 교점 
에 적용해도 같은 식을 얻는다.
, 저항의 합은 
이 되므로, 두 번째 법칙에 의하여,
. 마찬가지로 두 번째 닫힌(closed) 회로에서
을 얻는다.
들과 전압 
들로 각 경로의 전류 각각의 
를 표시할 수 있다.
암호화와 복호화 과정에서 행렬의 곱 : 선대 교재
http://matrix.skku.ac.kr/sglee/sglee-crypto/index.htm
행렬을 이용한 암호의 예제 :
|
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Input-Output 행렬, Leontief 행렬 I-A
Total output = Total demand = Intermediate demand + Extra Demand
x= Ax+d, (I-A)x=d,
모두가 제출 할 과제 (다음 주 이 시간 교탁 앞):
1.10 Exercises: 1.4(2), 1.6, 1.8, 1.10, 1.17, 1.20, 1.24, 1.29.
위의 문제 피봇을 (3rd type으로) 약간 제한하여 수정 할 필요 있음!
앞의 문제들은 맡은 사람이 각자 웹에 Q&A 에 제출 및 수정과 토론을
하세요.
연습문제 답안은
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