▷ A가 normal ▷ normal이 아니면서 d.ble인 행렬은 있다. (그러나 이 경우 unitary d.ble은 아니다.) ▷ 행렬 A가 dible이면,
각각의 고유값에 대한 고유공간 ― 그래야 그 개수만큼의 일차독립인 고유벡터가 존재한다.
▷ 그러나 모든 행렬이 d.ble은 아니므로 ▷ 그러나 이 절에서는 dible이 아닌 행렬이라도 대각행렬에 very close한 행렬에 닮음이 된다는 것을 보인다. 이 닮은 행렬중 중요한 하나를 Jordan Canonical Form이라 한다. 이 경우 transition 행렬 Q의 열들은 고유벡터와 비슷하지만, 완전히 같지는 않는다. 이것들을 일반화된 고유벡터 (generalized eigenvectors)라 한다.
▷ A의 JCF을 이용하면,
▷ A가 dible 행렬이면 선형미방
If
If
일반해
여기서 행렬 J가 A의 JCF이다. 이런 Jordan blocks들의 direct sum이 일반적인 행렬 A의 JCF이 된다. (이에 기반이 되는 지식은 대학원과정이다.) 여기서는 구체적으로 JCF을 구하는 방법을 지도해 주겠다.
①
행렬
여기에
따라서
②
따라서
(2)
Sol)
①
행렬 조건을 얻을 수 있다
행렬 을 얻을 수 있다.
여기에
generalized eigenvector의 하나로
따라서
②
따라서
이므로
중복도가 2이므로 굳이 계산해보지 않아도
따라서 점도표는 아래와 같다. ● ●
이것은
(2) sol.) 먼저 특성방정식을 통해 고유값을 구하면,
이므로
임을 알 수 있다. 따라서 점도표는 아래와 같다. ● ● ●
이것은
(3) sol.) 먼저 특성방정식을 통해 고유값을 구하면,
이므로
i)
중복도가 2이므로 따라서 점도표는 다음과 같다. ● ●
ii)
중복도가 2이므로 와 같이 된다. ● ●
이것은 i)과 ii)에 의해서 주어진 행렬의 Jordan canonical form은
대각화가능한 행렬을 다루는 것은 이론적으로나 실제에 있어서 모두 대각행렬을 다루는 것과 같이 쉽다. 그러나, 일반적으로 이 절에서는 대각화가능하지 않은 행렬이라도 대각행렬과 유사한 행렬(block diagonal matrix)인 Jordan 표준형과 닮음(similar) 이 되도록 만들 수 있다는 다음 정리를 증명없이 소개하고, 주어진 행렬의 Jordan 표준형을 구하는 방법에 대하여 알아본다. 단, 계산의 편의상 주로 실수행렬의 예를 다루도록한다.
또한, 하나의 고유값 우선 예를 하나 보도록하자.
이제, 예를 통하여 Jordan 표준형의 성질과
그런데,
일반적으로
여기서 각
의 구조만 알면
이제
우선, 각
1. 점 도표는
2.
아래와 같이 도표를 만들자, 그러면 이 도표의
이루어진다. 만일
따라서
여기서,
그리고,
•
이므로,
또,
이고
이다 (실지로는
이다. 따라서, 즉,
그러므로 행렬
• • 이다. 즉,
• • 이므로
그러므로
이다.
「모든 행렬
이런 다항식을
이다. 이때
이므로
특성 다항식은
최소 다항식은
The characteristic polynomial of the matrix
Let
Therefore
By the Cayley-Hamilton theorem,
Then
∴
※ 조르단 표준형에서 고유값의 중복도가 대수적 중복도 이고 이에 대응하는 일독립인 고유벡터의 개수(
)가 기하적 중복도이다. A는
를 대각성분으로 갖는
개의 Jordan block과 각기 다른 고유값에 대응하는 Jordan block을 갖게 된다. 따라서 조르단 표준형 J는
※ J가 A의 Jordan Canonical block 일 때
만일 where
따라서
위의 방법을 토대로 generalized eigenvectors를 구하면, 먼저 A의 각
이것은 Cayley-Hamilton의 정리(모든 정사각행렬을 그것의 특성 방정식을 만족한다)를 통하여 행렬의 거듭제곱과 다항식과의 관계를 볼 수 있다. 또 이 정리에 의해 행렬의 거듭제곱은 으로 나타내진다. n 차의 정사각행렬 A가 n개의 일차독립인 고유벡터를 가지면 대각화 가능하고 , 또 대각화 가능한 행렬을 다루는 것은 대각행렬을 다루는 것처럼 쉽다. 그러나 일반적인 행렬이 다 그러하지 않으므로 조르단 표준형을 이용하여 대각화 가능하지 않은 행렬이라도 대각성행렬과 유사한 행렬과 닮음이 되도록 만든다.
f(A)=0을 만족하는 0 아닌 다항식 f(t)가 존재한다. 그 예로는 A의 고유다항식이 있다. 이 다항식들 가운데 차수가 가장 낮은 것을 생각하고 그들로부터 최고차의 계수가 1인, 모닉인 것을 택한다. 이러한 다항식 m(t)는 존재하고 유일하다. 그것을 A의 최소다항식이라고 부른다
Jordan Canonical Form을 알면 최소다항식을 쉽게 구할 수 있다. 또한 정사각 행렬 A가 k개의 서로 다른 고유값
[1-6] 점 도표를 이용하여 다음 행렬의 Jordan 표준형을 구하라.
1.
3.
5.
7. Jordan block
8. 모든 정사각행렬
9. 행렬
1.
7.
9. 최소다항식 , exercise 9.12 Determine the following statements are true or false, in general, and justify your answers. (1) Any square matric similar to a triangular matrix ⇒ true 답: by Theorem 9.1 모든 정사각행렬은 Jordan표준형과 similar하기 때문에 (JCF는 상삼각행렬이다)
(2) If a matrix
답: by Theorem 9.1 정사각행렬
그래서 diagonal matrix도 JCF의 한 종류라고 할 수 있다.
(3) If matrix
답: 서로 다른 고유값이
(4) If 4
마찬가지로 by Theorem 9.1 일차 독립인 고유벡터가 3개 생기므로 3개의 Jordan block을 가진다.
(Do!)
위의 답도 완성하여 제공할 것입니다. 각 장의 Problem, Exercise, Lecture note에서 발견한 오타, Better proof 와 suggestion, 질문과 위에 답이 안 주어진 문제는 과제입니다. 여러분의 답을 아래 한글 파일로 Q&A 게시판를 클릭하여 올려놓고 다른 학생은 그에 관해 토론 하세요. 그러면 결론을 드리겠습니다.
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