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tn_a10.gif ▷ n차행렬 A가 d.ble iff A가 n개의 L.I. 고유벡터를 갖는다.

    ▷ A가 normaliff A는 unitary d.ble(diagonalizable)

    ▷ normal이 아니면서 d.ble인 행렬은 있다.

    (그러나 이 경우 unitary d.ble은 아니다.)

    ▷ 행렬 A가 dible이면,

    각각의 고유값에 대한 고유공간의 차원(기하적 중복도)이 그 고유값의 (대수적) 중복도와 같아야 한다.

    ― 그래야 그 개수만큼의 일차독립인 고유벡터가 존재한다.

    ▷ 그러나 모든 행렬이 d.ble은 아니므로되는 transition 행렬 Q가 존재하는 것은 아니므로, 이 경우 선형미분방정식의 일반해를 쉽게 구하는 것은 매우 어려울 수 있다.

    ▷ 그러나 이 절에서는 dible이 아닌 행렬이라도 대각행렬에 very close한 행렬에 닮음이 된다는 것을 보인다. 이 닮은 행렬중 중요한 하나를  Jordan Canonical Form이라 한다. 이 경우 transition 행렬 Q의 열들은 고유벡터와 비슷하지만, 완전히 같지는 않는다. 이것들을 일반화된 고유벡터 (generalized eigenvectors)라 한다.

    ▷ A의 JCF을 이용하면,의 계산은 훨씬 쉬워진다.

    ▷ A가 dible 행렬이면 선형미방의 일반해는 where는 A의 고유값이고 는 그에 대응하는 n개의 일차독립인 고유벡터이다.

tn_a12.gif Review :

     

        ,

                        

                        

tn_a17.gif이고 A가  2×2 행렬이고 고유값의 (대수적)중복도가 2라 하자.

    If이면의 기저가 존재하고, i = 1 ,2 가 각각 1차독립인 해이므로 일반해는 일차독립인 해들의 일차결합이므로,

      

    If이면,의 기저뿐이고 하나의 해가 필요하다. (찾는 방법의 idea는 p.241 예 6.17 참조) 이 해를 아래와 같이 잡는다.

    그러면 이 해는 미방식을 만족해야하므로

    를 만족하는 를 구하면 된다.

    일반해

        

        

tn_a2.gif ◎ 3차행렬 A에 대해,인 경우

    이면,

    여기서 행렬 J가 A의 JCF이다.

    이런 Jordan blocks들의 direct sum이 일반적인 행렬 A의 JCF이 된다.

    (이에 기반이 되는 지식은 대학원과정이다.)

    여기서는 구체적으로 JCF을 구하는 방법을 지도해 주겠다.

[Problem 9.2] (2003, Old)

Find a full set of generalized eigenvectors of the following matrices:

p.333 prob 9.2 (곽경태)

  (1)

  (2)

tn_a3.gif Sol) P.328,정의 9.1에 의해서 이 문제를 풀 수 있다.

            

            

             ① (중복도 2)에 관한 A의 generalized eigenvectors를 찾아보자.

              

               이므로 by 정의9.1

              

              

              

                행렬 의 RREF는 이므로

                  이라는 조건을 얻을 수 있다.

                여기에 이란 조건을 함께 고려해서 에 대한 generalized eigenvector의 하나로 을 택할 수 있다.

                따라서

               

             ② 에관한 A의 generalized eigenvectors를 찾아보자.

              

               

                따라서

             a full set of generalized eigenvectors of A is

              

      (2)

          Sol)

              

             ① (중복도 2)

              

               ,by 정의9.1

              

              

              행렬 의 RREF는 이므로이라는

                조건을 얻을 수 있다

              

             행렬 의 RREF는 이므로 이라는 조건

                  을 얻을 수 있다.

             여기에 이란 조건과 이라는 조건을 고려해서 에 대한

                generalized eigenvector의 하나로 을 택할 수 있다.

                따라서

               

             ②

              

               

                따라서

             a full set of generalized eigenvectors of A is

              

[Problem 8.5] (New)

Find the Jordan canonical form for each of the following matrices:

    (1) ,    (2) ,    (3)         p.333 prob 9.3 (김하나)

tn_a10_1.gif (1) sol.) 먼저 특성방정식을 통해 고유값을 구하면,

            

          이므로 (중복도 2)이다.

          

            

            

           중복도가 2이므로 굳이 계산해보지 않아도

           임을 알 수 있다.

           따라서 점도표는 아래와 같다.

               ●

               ●

           이것은 Jordan block이 한개 임을 의미하므로 Jordan canonical form은

             

    (2) sol.) 먼저 특성방정식을 통해 고유값을 구하면,

            

          이므로 (중복도 3)이다.

             

            

            

          

             

             

           

          임을 알 수 있다.

            따라서 점도표는 아래와 같다.

                  ●

                  ●

                  ●

            이것은 Jordan block이 한개 있음을 의미하므로 Jordan canonical form은

                 

    (3) sol.) 먼저 특성방정식을 통해 고유값을 구하면,

                     

           이므로 (각각 중복도 2)이다.

          i) 인 경우

           

              

              

             중복도가 2이므로 이다. 라는 것은 Jordan block이 2개임을 의미하고,

             따라서 점도표는 다음과 같다.

                    ● ●

       ii) 인 경우

              

               

               

              중복도가 2이므로 임을 쉽게 알 수 있고, 점도표는 아래

            와 같이 된다.

                      ●

                    ●  

               이것은 Jordan block이 1개임을 의미한다.

         i)과 ii)에 의해서 주어진 행렬의 Jordan canonical form은  

               

tn_a12_1.gif 우리는 차의 정사각행렬 개의 1차독립인 고유벡터들을 가지면 대각화가능 하다는 것을 6.2절에서 배웠다. 또한 정리 7.8에서 보았드시가 유니타리 대각화 가능일 필요충분조건은 가 정규행렬(normal matrix)인 것이다. 이 경우 개의 정규직교인 고유벡터를 갖고, 이 고유벡터들을 열로 갖는 행렬 는 유니타리 행렬이며는 고유값 들을 대각선 성분으로 갖는 대각행렬이다.

        대각화가능한 행렬을 다루는 것은 이론적으로나 실제에 있어서 모두 대각행렬을 다루는 것과 같이 쉽다. 그러나, 일반적으로 차의 정사각행렬이 모두 개의 일차독립인 고유벡터들을 갖지는 않으므로 대각화가능한 것은 아니다. 그러나, Schur 정리에 의하여 자신의 고유값을 대각선성분으로 갖는 상삼각행렬과 닮음임은 안다.

        이 절에서는 대각화가능하지 않은 행렬이라도 대각행렬과 유사한 행렬(block diagonal matrix)인 Jordan 표준형과 닮음(similar) 이 되도록 만들 수 있다는 다음 정리를 증명없이 소개하고, 주어진 행렬의 Jordan 표준형을 구하는 방법에 대하여 알아본다. 단, 계산의 편의상 주로 실수행렬의 예를 다루도록한다.

[Theorem 8.9]

차의 정사각행렬 () 개의 일차독립인 고유벡터를 가지면 는 다음과 같은 행렬 와 (유니타리)닮음이다.

즉, 인 유니타리 행렬 가 존재한다. 여기서,

,   (, )

이다. 이때, 의 고유값 에 대응하는 하나의 Jordan block이라 하고, Jordan 표준형(Jordan canonical form)이라 한다.

tn_a17_1.gif 위의 정리에서 각 Jordan block 는 대각선 성분을 모두 같은 고유값 로 갖는 상삼각행렬 (upper triangular matrix)이고, 하나의 고유값 에 대응하는 Jordan block은 여러개 일 수도 있다. 특히, 개의 일차독립인 고유벡터들을 갖는다면 개의 Jordan block을 갖는 Jordan 표준형(즉, 대각선행렬)을 갖는다.

    또한, 하나의 고유값 의 중복도가 이고 <이것을 대수적 중복도(algebraic multiplicity)라 한다>, 이에 대응하는 개 ()의 일차독립인 고유벡터들을 갖는다면, 이것을 에 대한 기하적 중복도(geometric multiplicity)라 한다. 참고로 이는 고유값 에 대한 고유공간의 차원과 같은 것이다. 를 대각선성분으로 갖는 개의 Jordan block과 또 각각의 다른 고유값 들에 대응하는 Jordan block들도 갖게 된다. 그리고 각 에 대응하는 모든 Jordan block들의 크기의 합은 의 중복도인 가 된다.  따라서,  각각의 고유값에 대한 대수적 중복도와 기하적 중복도가 모두 같은 행렬에 대한 Jordan 표준형은 대각선행렬이 된다.

    우선 예를 하나 보도록하자.

[Example 1]

은 특성방정식으로 을 갖는 어떤 8차의 정사각행렬 의 Jordan 표준형이다. 각 고유값의 중복도가 의 주대각선에 나타나는 고유값의 개수를 결정한다는 것을 주목하라. 대각선에 고유값 2는 4개, 3은 2개, 0은 1개있다. 즉 고유값의 중복도는 그 고유값에 대응하는 모든 Jordan block 들의 크기의 합을 나타낸다.  ¶

tn_a2_1.gif 어떤 행렬 의 Jordan 표준형 가 되게 하는 가역행렬 를 몰라도, 각 고유값의 중복도와 그 고유값에 대한 고유공간(eigenspace) 안에 있는 1차독립인 고유벡터들의 수 (즉, 고유공간의 차원)에 의하여 대부분은 바로 결정된다. 물론,  경우에 따라 되는 행렬 를 구하는 것이 꼭 필요할 때도 있다.

    이제, 예를 통하여  Jordan 표준형의 성질과 , 를 구하는 과정을 알아 보자.

[Example 2]

5차의 정사각행렬 가 중복도 5 인 고유값 하나만을 갖고 λ에 대응하는 일차독립인 고유벡터를 단 하나만 갖는다면 의 Jordan 표준형은

이다. 왜냐하면 의 일차독립인 고유벡터는 하나밖에 없으므로 Jordan block이 단 하나이기 때문이다.      ¶

tn_a3_1.gif 이제 행렬 의 Jordan block의 성질을 분석해보자. 는 다음성질을 갖는 상의 선형변환이다.

    그런데, 의 표준기저일 때 이고 , 이므로에 대응하는 의  하나뿐인 일차독립인 고유벡터이다. 이 식은 과 비슷한 꼴이므로 의 고유벡터는 아니지만 고유벡터와 유사한 성질을 갖게 된다. 이런 를  에 대한 일반화된 고유벡터 (generalized eigenvector) 라고 한다.

    일반적으로 의 Jordan 표준형 가 되는 유니타리 행렬 를 구하는 문제를 “일반화된 고유벡터를 구하는 문제” 라 하는데, 이것은 이 책의 수준을 넘어서므로 여기서는 다루지 않기로 한다.

tn_a10_2.gif  행렬 개의 서로 다른 고유값 를 갖는다고 할 때, 의 Jordan 표준형 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

                    

    여기서 각 는 고유값 에 대응하는 적당한 크기의 Jordan block들의 block대각선 행렬이다. 이것을 block 부분행렬이라 한다. 이제 우리는 각각의 고유값 에 대한

                   

    의 구조만 알면 를 쉽게 구할 수 있게 된다. 를 구할 때 를 감소(또는 증가)하는 값의 순서로 정하고 그 안의 Jordan block들에 block 크기 순으로 순서를 주면 는  유일하게 결정된다.

    이제 를 쉽게 구하는 방법을 알아보자.

    우선, 각 에 대하여 안의 Jordan block의 개수 와 각각의 의 크기 를 구하자. 에 대응하는 일차독립인 고유벡터를 이라 하고, 부호를 단순히 하기 위하여 우선 하나의 고유값에 대하여만 생각하자. 따라서 이 , 이라 하자. 그런데 의 각 Jordan block의 개수과 그 각각의 block의 크기 들은 의 어떤 거듭제곱의 계수(rank)를 앎으로서 결정된다. 일반성을 잃지 않고 이라  할 수 있다. 이제 고유값 과 그에 대한 고유공간의 차원(기하학적 중복도)인 를 이용하여 를 쉽게 구할 수 있는 ‘점들의 배열’을 소개하도록 하겠다. 이를 점 도표(dot diagram)라 부른다. 점 도표는 아래와 같은 규칙으로 정해진다.

    1. 점 도표는 개의 열에 의하여 이루어 진다. (즉, 개의 Jordan block)

    2. 개의 숫자 을 크기 순으로 하여 왼쪽에서 오른쪽으로 배열하여

         아래와 같이 도표를 만들자, 그러면 이 도표의 번째 열의 점들은 개로

         이루어진다. 만일번째 열의 맨 아래의 점이면, 그 맨 위는

         에 대응하는 점이 된다. 그 열의 위에서 두 번째의 점은

         에 대응한다.

    따라서 에 대응하는 점 도표는 아래와 같다.

                                                   •              

       

    여기서, 에 대응하는 일차 독립인 고유벡터들이다. 만일 를 점 도표에서 번째 열의 점의 개수라 하면, 이상의 크기의 Jordan block 의 수이고,이상의 크기의 Jordan block 의 수이며, 이상의 크기의 Jordan block 의 수이다. 따라서, 임을 알수 있다. 이 증명은 조합이론(combinatorics)을 이용해야 하므로 조합론 시간에 배우고, 여기서는 예를 통하여 이를 확인해 보도록 한다.

[Example 3]

행렬 는 그 안의 Jordan block의 개수인 수과 각 Jordan block의

크기인 에 의하여 완전하게 결정된다는 것을 보이기 위하여라 하고 이라 하자. 그러면 block의 크기 순서에 따라

           

로 유일하게 결정된다. 이것의 점 도표를 구하면 이고 이므로 에 대한 점 도표는 아래와 같다.

[Theorem 8.10]

에 대한 점 도표의 처음 개 행안의 점의 수는 의 해공간의 차원 (즉, 의 nullity)과 같다.

bar03_dot3x3_black.gif

 

[Theorem 8.11]

행렬 대하여, 에 대한 점 도표의 번째 행에 있는 점의 개수라 하면

(1)

(2)

tn_a12_2.gif 증 명      정리 7.9 에 의하여,

    그리고, 이고

            

tn_a17_2.gif 각 row 의점의 개수 이상의 블록의 개수 의미함.

tn_a2_2.gif 이 정리는 에 대한 점 도표는 에 의하여 완전히 결정됨을 보여준다. 

tn_a3_2.gif 실제로 크기가 10차인 행렬의 Jordan표준형을 구하기 위한 점도표를 그릴 때, 우리는 1010 행렬의 수 많은 거듭제곱과 계수를 구하여야 한다. Gauss 소거법등의 이런 계산 과정은 HLINPRAC이나 MATHEMATICA 또는 MATLAB 등의 기존의 수학 무름모(software)를 이용하는 것이 효과적이다. (참고 http://www.mathworks.com)

[Example 4]

다음 행렬 의 Jordan 표준형을 구하라.

                    

tn_a10_3.gif 풀 이  행렬 의 특성방정식은이므로 는 두 개의 서로 다른 고유값 를 갖는다. 여기서 은 중복도가 1이고 는 중복도가 3 이다.  따라서 에 대응하는 점 도표는 1개의 점을 갖고 그에 대한 점도표는 

                        

    이므로, Jordan block 1 개.  즉, 이다.

      또, 에 대응하는 점 도표는 3개의 점을 갖는다. 그리고

    이고

               

    이다 (실지로는 이므로 는 바로 나온다). 따라서 에 대한 점도표는

    이다. 따라서, Jordan block이 1개이고 Jordan block이 1개이다.

    즉,  

                           

    그러므로 행렬 의 Jordan표준형은 다음과 같다.

                            ¶

[Example 5]

다음 행렬 의 Jordan 표준형을 구하라.

                    

tn_a12_3.gif 풀 이  의 특성방정식은 이고, 따라서 의 두개의 서로  다른 고유값은 각각 중복도가 2인 이다.  에 대하여 이므로(즉, 1개의 Jordan block), 는 1이다 ( 점의 수가 2=1+(1) ). 따라서 에 대한 점 도표는

             •   

             •

    이다.   즉,

                    

    에 대하여 이므로(즉, 두개의 Jordan block), 는 0이다(∵ 점의 갯수 이므로). 즉, 에 대한 점 도표는 

                •    •

    이므로

                           

    그러므로 의 Jordan 표준형은

                         

    이다.     

tn_a17_3.gif 잘 알려진 Cayley - Hamilton 정리란 다음과 같다.

    「모든 행렬는 자신의 특성방정식을 만족한다. 즉

    이런 다항식을 annilhilating 다항식이라 하는데. 이런 다항식 중 흥미있는 하나를  소개하면서 이 절을 마치도록 한다.

Cayley-Hamilton 정리

Cayley-Hamilton 정리는 케일리가 행렬의 덧셈과 스칼라의 곱, 곱셈, 역행렬의 추상적 정리를 처음으로 내렸고, 여인자의 관점에서 역행렬을 찾는 과정을 보여준 Cayley's memoir on the theory of matrices에서 처음으로 발표됐다.

  케일리는 2×2 행렬의 경우에 대한 정리를 증명했고 일반적인 경우에서도 참임을 주장했다. 그 후 아일랜드의 수학자 Sir William R. Hamilton이 그의 연구 과정에서 4×4 행렬의 경우에 대한 정리를 증명했기에 해밀톤의 이름도 보태어 Cayley-Hamilton 정리라고 부른다.

bar03_dot3x3_black_1.gif

[Definition]

행렬 에 대하여 되게 하는 양의 최소 차수의 모닉(monic)  다항식을 에 대한 최소 다항식(minimal polynomial) 이라고 한다.

tn_a2_3.gif 이것을 구하는 방법은 의 서로 다른 고유값이 이고 특성방정식이 라하면

    이다. 이때 에 대응하는 Jordan block 중 크기가 가장 큰 block 의 크기이다.  따라서 의 Jordan 표준형을 알면 의 최소다항식도 구할 수 있다. 

[Example 6]

예제 5 의 행렬 의 최소다항식을 구하라.

  

tn_a3_3.gif 풀 이

    이므로

    특성 다항식은이고

    최소 다항식은 이다.            ¶ 

[Theorem 8.12]

차의 정사각행렬 개의 서로 다른 고유값 를 가질 때      가 대각화가능일 필요충분조건은 의 최소다항식가  인 것이다.   

tn_a10_4.gif 위의 정리는 대각화 가능한 행렬에 대한 또 하나의 준거가 된다.

[Example]

JCF 정리 7.11은 이고,

라 하면 에 대한 점 도표는 에 의하여 완전히 결정됨을 보여준다. 이제 주어진 15차 행렬의 특성방정식이이면 에 대한Jordan 표준행렬 는 그 안의 Jordan block의 개수인 수과 각 Jordan block의 크기들에 의하여 완전하게 결정된다. 즉, 에 대해 라면 그 에 대한 점 도표를 그리고

Jordan  표준형 를 주어라 .

bar03_dot3x3_black_2.gif

[Problem 9.8] (Old)

For the matrix A = , evaluate the matrix polynomial

.

tn_a12_4.gif Sol)

    The characteristic polynomial of the matrix is .

    Let be a polynomial.

    Therefore

    By the Cayley-Hamilton theorem, and

    Then

             

      (OK)

tn_a17_4.gif Review:  Jordan 표준형 & Generalized eigenvectors

    ※ 조르단 표준형에서  고유값의 중복도가 대수적 중복도 이고 이에 대응하는 일독립인 고유벡터의 개수( )가 기하적 중복도이다. A는 를 대각성분으로 갖는 개의 Jordan block과 각기 다른 고유값에 대응하는 Jordan block을 갖게 된다. 따라서 조르단 표준형 J는  가역행렬 Q를 몰라도 고유값의 중복도와 고유값에 대한 고유공간 안에 있는 일차독립인 고유벡터의 수에 의하여 대부분 결정된다.

    ※  J가 A의 Jordan Canonical block 일 때 가 되게 하는 nonsingular Q를 찾는 방법 (not unique) : If AQ=QJ 따라서,

        만일 이면

         where

                   

    따라서 ,A의 이다. 그리하여 # of L.I   of A = # of Jordan blocks in .

    위의 방법을 토대로 generalized eigenvectors를 구하면, 먼저 A의 각 의 대수적 중복도 와 기하적 중복도 , 를 구한다음 각 대응하는 를 찾는다. 각 의 기하적 중복도에 대하여  Solve 하는 식으로 반복하여 를 구한다


tn_a2_4.gif  함수 y=f(x)와 같이 변수 x 대신에 행렬 A를 변수로 하는 함수 B=f(A) 를 생각해본다.

    이것은 Cayley-Hamilton의 정리(모든 정사각행렬을 그것의 특성 방정식을 만족한다)를 통하여 행렬의 거듭제곱과 다항식과의 관계를 볼 수 있다.

    또 이 정리에 의해 행렬의 거듭제곱은 으로 나타내진다.

    n 차의  정사각행렬 A가 n개의 일차독립인 고유벡터를 가지면 대각화 가능하고 , 또 대각화 가능한 행렬을 다루는 것은 대각행렬을 다루는 것처럼 쉽다.  그러나 일반적인 행렬이 다 그러하지  않으므로  조르단 표준형을 이용하여 대각화 가능하지 않은 행렬이라도 대각성행렬과 유사한 행렬과 닮음이 되도록 만든다.

tn_a3_4.gif 최소 다항식(Minimal polynomial)

    f(A)=0을 만족하는 0 아닌 다항식 f(t)가 존재한다. 그 예로는 A의 고유다항식이 있다. 이 다항식들 가운데 차수가 가장 낮은 것을 생각하고 그들로부터 최고차의 계수가 1인, 모닉인 것을 택한다. 이러한 다항식 m(t)는 존재하고 유일하다. 그것을 A의 최소다항식이라고  부른다

    Jordan Canonical Form을 알면 최소다항식을 쉽게 구할 수 있다. 또한 정사각 행렬 A가 k개의 서로 다른 고유값 을 가질 때 A가 대각화 가능일 필요 충분 조건은 최소다항식   인 것이다.

[1-6]  점 도표를 이용하여 다음 행렬의 Jordan 표준형을 구하라.

   1.                  2.

   3.                 4.

    5.             6.

7. Jordan block 와 닮음 (similar) 임을 보여라.

8. 모든 정사각행렬 는 자신의 전치행렬과 닮음 (similar) 임을 보여라.

9. 행렬 의  최소 다항식을 구하라.

tn_a10_6.gif 연습문제 (답안)

1.          3.         5.

7.  임을 이용하라.

9. 최소다항식 ,

exercise 9.12 Determine the following statements are true or false, in general, and justify your answers.

(1) Any square matric similar to a triangular matrix ⇒ true

답: by Theorem 9.1 모든 정사각행렬은 Jordan표준형과 similar하기 때문에

(JCF는 상삼각행렬이다)

(2) If a matrixhas exactlylinearly independent eigenvectors, then the Jordan canonical form of a hasJordan blocks. ⇒ true

답: by Theorem 9.1 정사각행렬개의 일차독립인 고유벡터를 갖고 있으면

                  이다. (는 Jordan blocks임)

  그래서 diagonal matrix도 JCF의 한 종류라고 할 수 있다.

(3) If matrix has distinct eigenvalues, then the Jordan Canonical form ofhasJordan blocks. ⇒ false

답:  서로 다른 고유값이개가 있다면, 그에 대응하는 일차독립인 고유벡터의 개수가 조르단 불록의 개수가 된다. 그런데 일차독립인 고유벡터의 개수는 최소한개가 있다. 그리고 모든 고유값의 기하적 중복도가 1이 아니라면 고유벡터가개 보다 많아진다.) 그래서 Theorem 9.1에 의해 false                 sglee (OK)

(4) If 44 matrixhas eigenvalues 1 and 2, each of multiplicity 2, such that 고유값 1에 대응하는 고유공간의 차원은 dim (1)=2 이고 고유값 2에 대응하는 고유공간의 차원은 dim (2)=1 이면, the Jordan canonical form ofhas three Jordan blocks. ⇒ true

(1) = dim=2 이므로 =1에 대응하는 일차독립인 고유 벡터가 2개 이다

마찬가지로 (2) = dim=1 이므로 =2에 대응하는 고유 벡터가 1개 이다.

by Theorem 9.1 일차 독립인 고유벡터가 3개 생기므로 3개의 Jordan block을 가진다.

 

(Do!)

   위의 답도 완성하여 제공할 것입니다. 각 장의 Problem, Exercise, Lecture note에서 발견한 오타, Better proof 와 suggestion, 질문과 위에 답이 안 주어진 문제는 과제입니다. 여러분의 답을 아래 한글 파일로  Q&A 게시판를 클릭하여 올려놓고 다른 학생은 그에 관해 토론 하세요. 그러면 결론을 드리겠습니다. 

tn_a12_5.gif (Matrix Function, JCF, Minimal Polynomial, Cayley-Hamilton 정리 등은 별도 자료 참고 .  http://matrix.skku.ac.kr/nla/index.html )

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