Honor Calculus 1 (고급미분적분학1)  -1 학기 기록

                                  담당교수 : LEE, Sang-Gu

 

http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: mem00001638073a.jpg
원본 그림의 크기: 가로 677pixel, 세로 403pixel
사진 찍은 날짜: 2014년 01월 16일 오후 10:09

 

 

 

 

 

 

http://matrix.skku.ac.kr/Calculus-Story/index.htm

미적분학 Lab: http://matrix.skku.ac.kr/Lab-Book/Sage-Lab-Manual-1.htm

선형대수 Lab: http://matrix.skku.ac.kr/Lab-Book/Sage-Lab-Manual-2.htm

Appendix: http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/Appnd/index.htm

                          

<강의, 녹화, 학생 문제풀이, 녹화, QnA 1140건, 공지사항 80건, 참고자료, 읽을거리 등 >

 

[개인성찰노트] 자기평가, 동료평가, PBL에 대한 학생 반응!


1. 이번 학습과정에서 배운 내용은 무엇입니까?


  이번 학습에서는 중간고사 범위에 비해 새로운 내용들이 많이 있었습니다. 크게 적분, 수열, 매개변수 방정식, 극좌표로 나눌 수 있습니다. 수열의 경우 수렴판정법에 대해 자세히 배웠고 taylor, maclaurin, binomial 수열에 대해 새로 배웠습니다. 극좌표도 고등학교 때에는 하지 않은 내용으로 데카르트 좌표계를 벗어난 새로운 좌표계를 배웠습니다.


2. 학습과정에서 어떤 방법을 통해 학습했는지 구체적으로 적어주세요. 

 

  이번 학습과정에서도 중간 때와 마찬가지로 sage tool을 이용하였고 qna에 문제를 올리고 수정받는 방식으로 학습했습니다. 이번에는 특히 sage grapher를 이용하여 매개변수 방정식의 변화를 애니메이션 형태로 볼 수 있었습니다.


3. 이번 학습과정에서 내용이나 방법면에서 인상 깊었던 점은 무엇입니까? 

 

   위에서 말한 바와 같이 sage grapher를 처음 사용해본 것이 인상 깊었습니다. 단순히 그림을 그리는 것에서 끝나는 것이 아니라 변화과정까지 시각적으로 볼 수 있어 직관적인 이해가 되었습니다.


4. 이번 학습과정에서 다른 과목의 수강이나, 학교 공부 외, 취업 후 등에 적용할 만 점은?

 

   이번 학습과정에서 배운 내용 중 특히 수열 부분에서 모든 함수를 다항함수로 바꿀 수 있게 되어서 아무리 복잡한 식이 나오더라도 계산기로 계산할 수 있게 되었는데 나중에 만약 취직을 하게 되면 쓰게 되지 않을까 싶습니다.


 < 기말고사 서술형 문제 예 >

* 기말고사 서술형 문제 예 : 문제 풀어 올리고 질문과 답을 하면서 공부한 학생은 별도로 시험공부를 할 필요가 없을 것입니다.

  http://matrix.skku.ac.kr/Calculus-Story/index.htm    에서 발췌 예정


우리는 생활하면서 ‘주어진 곡선의 일부분의 길이나 그 곡선 위의 어떤 점에서의 접선은 어떻게 구하나?’ 또 ‘주어진 곡면의 일부분 표면적은 어떻게 구하나?’와 같은 질문에 접하게 된다. 일반적으로 표현하면, 시간에 따라 두 변량(Variable quantity)이 변하는 비율은 어떻게 계산할 것인가? 하는 문제와 만나게 되는 것이다. 이 모든 것들을 계산할 수 있게 하는 방법이 수많은 과학자들을 거쳐 뉴우톤과 라이프니츠에 의하여 체계적인 방법으로 정리되어 소개되었으며2), 이와 관련된 다양한 연구들은 인류 역사 발전에 절대적인 영향을 끼쳤다. 그 발전 과정을 보면 ...


1. 라이프니츠가 생각한 <미분의 개념> 은 무엇인가?


2. Archimedes를 비롯한 수학자들은 원의 경우에 적용한 유사한 방법을 확장하여 타원형이나 더 불규칙한 도형의 면적에 적용하였다. 이 방법의 아이디어는 무엇인가?


3. 미분을 배우는 이유는 무엇일까?


4. 컴퓨터 단층 촬영 장치인 CT에는 적분의 어떤 아이디어가 이용된 것인가?


5. 19세기에 Bernard Bolzano, Augustin-Louis Cauchy, Karl Weierstrass 등을 거치면서, 극한을 엄밀한 논리(argument)를 이용하여 완전한 형식화 방법은 무엇인가?


6. 미분과 적분을 이어주는 정리는 무엇인지 말하고, 그 이유에 대하여 아는 대로 서술하시오~~


7. 행성들의 운동을 나타내는 Kepler의 법칙을 설명하기 위하여 미적분학을 개발한 사람은 누구인가?


8. 근사와 Taylor급수가 왜 중요한지 아는 대로 서술해 보시오.


9.  differential  dx  는 어떤 식으로 이용되나?


10. *** 을 구하기 위하여 거치는 과정을 단계별로 서술하시오.



  등 등 우리가 배운 내용에서 기말고사에  출제할 수 있는  문제를 생각 중이랍니다.


 QnA 에 위의 질문에 대한  답을 하면서, 연습을 해 두기를 권한답니다.


    (여러분의 활동 중 같이 공유할 좋은 질문과 답이 시험 문제가 될 가능성이 가장 높을 것입니다.)

따라서 질문과 답을 하면서 공부한 학생은 별도로 시험공부를 할 필요가 없을 것입니다.


 행운을 빌어요!


Good luck on your (서술형, Story telling) Midterm Exam and PBL~


 담당교수 드림   From your Prof.


◆ Your QnA Records


제목: 0의0승은 어떻게 처리해야하나요?

  그래프 그려보니 그냥 1로 취급하는 것 같던데 그런 식으로 봐도 되는 건가요?


제목: dir='minus'은 무슨 의미인가요?

  dir='minus' 어떤 명령어죠? 그리고 x^x에서 음수에서는 그래프가 그려지면 안되는 거 아닌가요?


제목: Smart learning environment

 smart learning 영상을 보기 전에 솔직히 책이 사라진 교실이란 상당히 집중이 안되있을 거란 생각이 많이 들었다 . 하지만 영상속의 모습은 자발적이었으며 집중도가 높았다.  특히 실험실에서 이제 책이라는 것이 주어진 지식을 얻는 것이 아닌 자신만의 새로운 책을 만들어가는 과정을 보고 깊게 감명 받았다.

  스마트러닝은 한 과목에 국한되어있지 않고 실험, 체육, 음악 외 다양한 분야에서 활용될 수 있는 새로운 교육의 패러다임을 제시하고 있다.


http://www.youtube.com/watch?v=Ll1P_57qluo


제목: Calculus-History-p

  발견이란 것이 항상 관측을 바탕으로 하지만, 관측을 한다고만 해서 발견이 이뤄지지않는다는 것을  케플러의 사례를 통해 알게되었습니다.  Tycho Brahe는 평생을 육안으로 천문관측을 한 사람으로, 육안으로 볼 수 있는 극한까지 이른 최고의 관측 천문학자였지만, 그의 데이터를 바탕으로 일정한 법칙을 알아낸 사람은 결국 Kepler였습니다. Tyco Brahe 역시 같은 데이터를 가지고 있었지만 발견하지 못했고 Kepler는 그 데이터를 분석함으로서 발견을 이뤄냈습니다. 이와같은 일화를 통해서 수학에서의 분석의 중요함을 느꼈습니다.



제목: 미적분학을 배우는 이유에 대한 생각


  미적분학에 핵심은 변화에 대한 관찰 그리고 그것을 통한 어느 시점에서의 상황의 예측정도라고 생각합니다. 미적분학에 대한 일상생활관련 문제를 보더라도 대포를 쏘아올린 것이 포물선을 그려 얼마정도 후에 어느 위치에 있을 거라던지, 물을 붓는데 이것의 높이변화와 부피변화를 구하라던지와 같은 문제들입니다. 이러한 일상생활관련 문제들이 단지 문제를 위한 문제는 아닐거라고 생각합니다. 그리고 또한 위 같은 문제들이 묻는것은 대체로 미래의 어느 때입니다. 따라서 위 같은 사실을 종합적으로 고려해볼때 우리가 미적분학을 배우는 이유는 현실을 관찰하고, 그 관찰한 것을 이용해서 '미래를 예측하기 위함' 이라고 생각합니다.


제목: sage에서 dir의 의미: limit(f(x), x=a, dir='plus') f(x)의 x=a+ 에서의 극한값


  이번에 세이지를 통해서 극한값을 구하는 중에 명령어 dir의 의미와 극한값을 구하는 법을 알게 되었습니다.


limit(f(x), x=a)            f(x)의 x=a 에서의 극한값

limit(f(x), x=a, dir='plus')       f(x)의 x=a+ 에서의 극한값

limit(f(x), x=a, dir='minus')      f(x)의 x=a- 에서의 극한값

'dir'=direction 방향을 나타내는데 쓰입니다.


http://matrix.skku.ac.kr/sage   에서 lim을 검색하면 극한계산에 대해서 나옵니다.


제목 : Arc length 구하는 아이디어


  곡선의 길이를 구하는 것은 그 곡선을 미세하게 분해해서 보는 것으로 시작한다. 이때 곡선을 매우 작게 쪼게면 직선과 같다. 이때 그 직선을 직각삼각형의 빗변으로 생각하면, x의 미소변화량과 y의 미소변화량이 각각 밑변과 높이가 되고, 따라서 피타고라스의 정리를 이용하여 구할 수 있다((x^2+y^2)^1/2).



제목 : Center of mass를 배우는 이유 - 내용요약


질량중심을 배우는 이유는 질량중심이라는 것이 특정한 상황에서 구하기 쉬울 수 있고, 그 질량중심을 안다면 계산이 쉬워지기 때문이다.


 In physics, the center of mass in space is the unique point where the weighted relative position of the distributed mass sums to zero.

Calculations in mechanics are simplified when formulated with respect to the center of mass.

In the case of a single rigid body, the center of mass is fixed in relation to the body, and if the body has uniform density, it will be located at the centroid.

The center of mass may be located outside the physical body.

The center of mass is the mean location of all the mass in a system.


( 질량중심을 잡음으로써 계산이 간단해진다. 하나의 강체(간단히 변형이 일어나지않는 물체)에서 질량중심은 고정적이고 질량의 밀도가 같다면 질량중심은 중심점에 위치하게된다. 질량점은 물체밖에 있을수도 있고, 시스템에서 모든 질량의 실질적 위치가 된다.)


Problems in Chapter 1

 

Solved by 김민수 Revised by 배성준 Finalized by 김민수  Refinalized and Final OK by SGLee

 

Page 13 Exercise 1.2 No.7 (New)


Q : Graph the function. Specify the intervals where the function is increasing and where it is decreasing.

.


Sol)

           

            


Graph From sage

 http://sagenb.skku.edu/home/pub/253 

사각형입니다.     

그림입니다.
원본 그림의 이름: sage0 (3).png
원본 그림의 크기: 가로 784pixel, 세로 584pixel

Answer: 

(i) Symmetric with respect to the -axis.

(ii) Increasing on and .

(iii) Decreasing on and .                                         ■

 

 

Solved by 우시명  Revised by ShaoweiSun  Finalized by 우시명 Final OK by SGLee

Calculus with Sage p.13 Chapter 1 Problem 1.2-10


Graph the following function. What symmetry, if any, do the graphs have? Specify the intervals where the function is increasing and where it is decreasing.    

Sol) 

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2130

사각형입니다.   



1. It is not symmetric.

            (See the graph to make sure it is not symmetric.)


2. [Find Decreasing Interval and Increasing Interval]

그림입니다.

Use derivative to find the point where the graph starts to decrease or increase.

Find derivative : [CAS]

사각형입니다.

Derivative :


Solve the equation for :

사각형입니다.

 


Answer :

(, ) : Decreasing Interval

(, ) : Increasing Interval                                       ■

 

 

 

Solved by 계성곤   Revised by 배성준   Finalized by 계성곤

Page 21 Exercise 1.3 (New) NO.6

 

Draw the graph of given function.

Sol) 

http://sage.skku.edu/?q=1eeed1cd-9618-43cf-a010-9bac16f285a4&lang=sage

plot(exp(-1/sqrt(x^2+3)), x, -10, 10, color='blue')

http://sage.skku.edu/?q=e75a417e-2879-492e-a7a4-2c56f161f9d9&lang=sage

plot(exp(-1/sqrt(x^2+3)), x, -1000, 1000, color='blue')


The graph's asymptote is ■  

 

 

Solved by 계성곤   Revised by 배성준  Finalized by 계성곤   Refinalized by 이송섭  Final OK by SGLee

Page 30 Exercise 1.4 (New) NO.12

 

Graph the function.


Sol) 

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2135 

사각형입니다. 


그림입니다.                            


Problems in Chapter 2

 

 

Solved by 이송섭  Resolved by 배성준  Finalized by 이송섭  Refinalized and Final OK by SGLee

Page 47 Exercise 2.1 (Old) No.3

 

Find the following limit.

      


Sol)

Since  and                

[CAS] http://sagenb.skku.edu/home/pub/223

사각형입니다.

+Infinity

               

Answer:                                             

 

 

 

Solved by 변희성   Revised by 배성준  Refinalized and Final OK by SGLee

page 47 Exercise 2.1 4 (New)


Find the following limit or explain why the limit does not exist.

           

 

Sol)


If ,

.


If ,

=>     


=>   The limit does not exist.                                                 ■

 

 

Solved by 이송섭   Finalized by 배성준   Refinalized by 이송섭  Refinalized and Final OK by SGLee

P.49 Chaptor2.1 exercise14 (old)

Let      .    

Find all positive integer such that

.


Sol)

Then the limit should satisfy .

1)   when ,

2)   When ,

3)   When and is even,

4)   When and is odd,

Thus, only (3) satisfies the condition, that is .


Answer:                                        

 

 


Solved by 이송섭 Revised by 우시명 Revesed by 배성준 Finalized by 이송섭 Refinalized by 이송섭 Final OK by SGLee

p.50 Chapter2.1 Exercise No.19(old)


19. Use the argument to prove that

Proof)

Let .  [Find > 0]

Take

If ,

Then .

 whenever

We haver proved .                                               ■

[side cal]

            

 

 

Solved by 배성준  Finalized by 이송섭 Final OK by SGLee

Page 50 Exercise 2.1 (New) No.19

  Use the argument to prove that     

                  .


Proof)

Let .  [Find > 0]

Take

If ,

Then .

 whenever

We haver proved .                                               ■

[side cal]

             

 

 

Epsilon Delta Proof  

Solved by 배성준   Revised by 이송섭   Finalized by 문지호   Refinalized by 배성준   Final OK by SGLee

Page 50 Exercise 2.1 (New) No.20

17. Use the argument to prove that

if and .


Proof)


Let ,  [Find  > 0]


Take

If ,

then

     



    whenever .      █


(side cal)


 

Epsilon Delta Proof

 

Solved by 이송섭   Revised by 이송섭   Finalized by 이송섭  Final OK by SGLee

[1] 연속함수인 경우(아주 간단한 예)


Calculus with Sage P.51 Chapter 2.1-24 (Old).

Using the argument prove

Proof)


Let ,  [Find  > 0]

Take .

If ,

then .

 whenever .                            ■

 

(side cal)

.  

 

 

 [2]  연속함수인 경우(예)

 Show .


Proof. ∀ >0 [Find ]

   Let  =

If |-| < ,

then 


    ( = )

 =

    ■              


 

<side cal.>

               □

 


[3]  연속함수인 경우(예)

Show.


                     

Proof. ∀ >0 [Find ]

   Let =

If     ,

then


      ( = )

      =

       =

       =

         =


 <side cal.>

 

  

           

 

 

Epsilon Delta Proof


[4] 연속함수인 경우 (min 기법 예)

Show .

 

Proof. ∀ >0 [Find ]

  Let {}


 If ,

 then =

                   

                   

                    

 

<side cal.>

        



[5] 연속함수인 경우 (min 기법 예)

 

 Show

                     

Proof. ∀ε>0,  Find δ

   Let =min{}

 

ReFinalized and Final OK by SGLee



[6] 연속함수인 경우 (min 기법 예)  

Show .

                     

Proof. ∀ >0 [Find ]

   Let


If

then =

        

      

      

                        

 

<side cal.>

 

Take .

If , then .

  

=

               

 

ReFinalized and Final OK by SGLee


[7] 불연속인 점에서의 경우 limit (예) 

Show .


Proof. ∀ >0  [Find ]

 Let .

  If  ,

  then 


       =

         

      

        

          ■


<side cal.>

   by (*)

 and

    

  □   

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/991 (*)

 

 

 

[8] 발산의 경우 limit (예) 


Show .

                     

Proof. ∀ Large number ,[Find ]

   Let   ()


If  ,

then  


  


<side cal.>

Since ,

  


http://math1.skku.ac.kr/home/pub/992


 

 


Solved by 이송섭    Finalized by 김민수   Final OK by SGLee

Page 63 Exercise 2.2 No.18 (New)

1. Prove that there is a root of the given equation in the specified interval by using the Intermediate Value Theorem.


Proof)

Let

Then .

Since is a real-valued continuous function on the interval and , there is a root such that by the intermediate value theorem.                            


[Sage] 그림을 그려보면 1과 2 사이에서 근이 존재함을 확인 할 수 있다.   

사각형입니다.

True

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000017a83ab5.bmp
원본 그림의 크기: 가로 783pixel, 세로 584pixel

 

 

 

Solved by 계성곤  Finalized by 이송섭   Final OK by SGLee

Page 63 Exercise 2.2 (New) NO.18

Prove that there is a root of the given equation in the specified interval by using the Intermediate Value Theorem.


Proof)

Let .

The function is continuous on the domain .

We can easily check and .

By the intermediate value theorem, there exists s.t. .

   has at least one real root.                       ■

[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2070/

사각형입니다.


그림입니다.
원본 그림의 이름: mem0000179c0002.png
원본 그림의 크기: 가로 781pixel, 세로 516pixel

사각형입니다.

True


사각형입니다.

True            

 

 

 

Solved by 배성준 Revised by 계성곤 Revised by 배성준 Finalized by 배성준   Final OK by SGLee

Page P64 Exercise 2.2 (New) No.20

Prove that there is a root of the given equation in the specified interval by using the Intermediate Value Theorem.

 

     , (0,1)  

Proof)                  

Let =.

 is continuous on the domain .

We can easily check and .

By the intermediate value theorem, there exists s.t. .

This implies that there is a root of the given equation in the specified interval.  ■ 


[CAS] 

사각형입니다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000009a40001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 484pixel, 세로 316pixel


사각형입니다.

True


사각형입니다.

True     


 

 

Solved by 문지호  Fixed by 이송섭    Finalize by 문지호   Final OK by SGLee

Page 64 exercise 23 (old)

Show that the following equation has at least one real root.

                   


Proof)

Define a function .

The function is continuous on the domain .

We can easily check > 0 and < 0.


By the intermediate value theorem, there exists s.t. .

  has at least one real root.    ■


[CAS] 

sage: P = plot(e^x, x, 0, 1, linestyle="--", color='red')

sage: Q = plot(4*sin(x),x,0, 1)

sage: show(P+Q)



[설명]  가 [0, 1] 사이의 한점에서 만나는 것을 두 가지 방법으로 쉽게 확인 할 수 있었다.

 

 

 

Solved by 김민수    Solved by 계성곤

Page 64 Exercise 2.2 (New) NO.23

Show that the following equation has at least one real root.


Sol) 

we may draw both and in one graph to find intersections. It shows the function has one real root in 0<x<1.


http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2071/


p1=plot(ln(x)+3, x, 0, 9, color='blue')

p2=plot(4*cos(x), x,0, 9, color='red')

show(p1+p2, ymax=5, ymin=-4)

 

The following Sage commands give the value of the intersection in the interval 0<x<1.

find_root(ln(x)+3==4*cos(x), 0, 1)

Answer : 0.8024194649325627■

 

 

 

Problems in Chapter 3

 

 

 

Solved by 우시명    Revised by Shaowe Sun    Finalized by 우시명    Final OK by SGLee

Calculus with Sage p.70 Chapter 3.1 Problem 5 (New)

Differentiate the following function, if it exists.

 


Sol) Use sage to find derivative.


http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2058/


사각형입니다.


Answer :

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000015880e67.bmp
원본 그림의 크기: 가로 673pixel, 세로 40pixel              ■        

 

 

 

Solved by 배성준    Revised by Shaowe Sun    Finalized by 배성준    Final OK by SGLee

Page 70  Chapter 3.1 Exercise No 7. (New)

Differentiate the following function using Definition, if it exists.


Sol)

     

                                               ■   

 

 

 

Solved by 우시명    Finalized by 이송섭    Final OK by SGLee

Calculus with Sage p.70 Chapter 3.1 Problem 7 (New)

Differentiate the following function, if it exists.

      그림입니다.

 Sol) Use sage and find derivative.

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2059       

사각형입니다.

((t - 1)/t + log(t))*t^(t - 1)/t - t^(t - 1)/t^2


Answer : 그림입니다.                              

 

 


Solved by 김요섭   Finalize by 문지호   Refinalized and Final OK by SGLee

Chapter 3.1 page 70 exercise 8 (old)

Is the function

                 

differentiable at ?


Sol)

The function is differentiable at if and only if exists.

=>


   The function is differentiable at     ■


 

 

Solved by 계성곤   Finalized by 계성곤   Refinalized by 이송섭   Final OK by SGLee

Page 83 Exercise 3.2 (New) NO.7

The normal line to a curve at a point is the line that passes through and is perpendicular to the tangent line to at . Find an equation of the normal line to the curve at the point (0, 1)


Sol) 

Slope of normal line: -1

Since normal line L pass through point (0,1)

Answer: Normal line is                                    


[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2073/

사각형입니다.

Answer : -x+1


사각형입니다.

 

    그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000015d83472.png
원본 그림의 크기: 가로 784pixel, 세로 584pixel  

 

 

 

Solved by 계성곤   Revised by 김요섭    Finalized by 계성곤

Page 84 Exercise 3.2 (New) NO.9

Let . Find the values of and that make differentiable everywhere.


Sol) 

Note that is differentiable everywhere except =2. For to be differentiable at 2,

, so . And also have to be continuous at 2. , so ,

Therefore, and .

 

 

 

Solved by 계성곤   Finalized by 이송섭    Final OK by SGLee

Page 85 Exercise 3.2 (New) NO.14

Find derivatives of the following function.

     

 

Sol) 

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2098/

사각형입니다.

Answer :

-e^(-x)*tan(x)^2*csc(x)*cot(x) + 2*(tan(x)^2 + 1)*e^(-x)*tan(x)*csc(x) - e^(-x)*tan(x)^2*csc(x)           

 

 

 

Solved by 우시명   Finalized by 이송섭    Final OK by SGLee

Calculus with Sage p.85 Chapter3  Problem3.2-15

Find derivatives of the following functions.(New)   

                         


Sol) 

Use Sage to find its derivative.

 http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2063      


사각형입니다.


-(log(x)*sin(x) - cos(x)/x)*sin(x)/x^(-cos(x)) + cos(x)/x^(-cos(x))


Answer:          ■

 

 

 

Solved by 우시명   Finalized by 문지호   Final OK by SGLee

Calculus with Sage p.108 Chapter 3.3 Problem 12 (New)

Find the th derivative of . 

 

Sol) 

Find etc. And predict .


[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2066

사각형입니다.

f'(x)= 2*(2*x^5 - 8*x^4 + 8*x^3 + 1)/(x - 2)^2

f''(x)= 4*(3*x^5 - 18*x^4 + 36*x^3 - 24*x^2 - 1)/(x - 2)^3

f^(3)(x)= 12*(2*x^5 - 16*x^4 + 48*x^3 - 64*x^2 + 32*x + 1)/(x - 2)^4

f^(4)(x)= 24*(x^5 - 10*x^4 + 40*x^3 - 80*x^2 + 80*x - 34)/(x - 2)^5

f^(5)(x)= 240/(x - 2)^6

f^(6)(x)= -1440/(x - 2)^7

f^(7)(x)= 10080/(x - 2)^8

f^(8)(x)= -80640/(x - 2)^9

f^(9)(x)= 725760/(x - 2)^10




Answer :                                     

 

 

 

Solved by 변희성   Finalized by 계성곤

Page 109 Exercise 3.3 (New) NO.17

In problems below, find


Sol) 

var('x')

f(x)=ln((x-1)^(1/3)/(x^2-1)^(1/2))

diff(f(x),x)

Answer : -1/3*sqrt(x^2 - 1)*(3*(x - 1)^(1/3)*x/(x^2 - 1)^(3/2) - 1/((x - 1)^(2/3)*sqrt(x^2 - 1)))/(x – 1)^(1/3)■  

 

 

 

Solved by 계성곤

Page 109 Exercise 3.3 (New) NO.19

In problem, find .


Sol) 

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2079/

 

var('x')

diff((csc(x))^(sqrt(x+3)))

 

Answer :

-1/2*(2*sqrt(x + 3)*cot(x) - log(csc(x))/sqrt(x + 3))*csc(x)^sqrt(x + 3)                

 

 

 

Solved by 김요섭   Finalize by 문지호    Refinalize by 계성곤   Final OK by SGLee

Chapter 3.3 Page 109 exercise 21 (new)

Find if .


Sol)  


Answer:

                                  ■


[CAS] 

 http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2099

사각형입니다.


Answer

그림입니다.

p.s. Chain rule was used each time when differentiation is done.

 

 

 

Solved by 계성곤

Page 109 Exercise 3.3 (New) NO.21

Find if


Sol) 

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2080/

var('x')

df(x)=diff((arcsec(x))^(arctan(x)),x);

df(x)

Answer : (log(arcsec(x))/(x^2 + 1) + arctan(x)/(sqrt(-1/x^2+

1)*x^2*arcsec(x)))*arcsec(x)^arctan(x)



ddf(x)=diff(df(x),x)

ddf(x)

Answer : (log(arcsec(x))/(x^2 + 1) + arctan(x)/(sqrt(-1/x^2 +

1)*x^2*arcsec(x)))^2*arcsec(x)^arctan(x) - (2*x*log(arcsec(x))/(x^2 +

1)^2 + 2*arctan(x)/(sqrt(-1/x^2 + 1)*x^3*arcsec(x)) - 2/(sqrt(-1/x^2 +

1)*(x^2 + 1)*x^2*arcsec(x)) + arctan(x)/((-1/x^2 + 1)*x^4*arcsec(x)^2) +

arctan(x)/((-1/x^2 + 1)^(3/2)*x^5*arcsec(x)))*arcsec(x)^arctan(x)                     

 

 

 

Solved by 우시명    Finalized by 계성곤

Page 109 Exercise 3.3 (New) NO.22

Find  and  of the following functions.

,


Sol) 

To find , derive about and derive about . Using foregoing two, find

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2064  

 

var('t, a, b')

x(t)=a*sec(t)

y(t)=b*tan(t)

dx(t)=diff(x(t), t)

dy(t)=diff(y(t), t)

dydx=dy(t)/dx(t)

print "dy/dx=", dydx


Answer : dy/dx= (tan(t)^2 + 1)*b/(a*tan(t)*sec(t))


To find , derive two times and follow forgoing process.

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2065  

 

var('t, a, b')

x(t)=a*sec(t)

y(t)=b*tan(t)

dx(t)=diff(x(t), t)

dy(t)=diff(y(t), t)

dydx=dy(t)/dx(t)

print "d2y/dx2=", (diff(dydx, t)/dx(t))


Answer : d2y/dx2= ((tan(t)^2 + 1)*b/(a*sec(t)) - (tan(t)^2 + 1)^2*b/(a*tan(t)^2*sec(t)))/(a*tan(t)*sec(t))     ■   

 

 

 

Solved by 변희성   Finalized by 배성준   Refinalized by 이송섭  Final OK by SGLee

P.110 Chapter 3.3 Exercises problem 30(New)

Given , find y'' at the point (1,2).


Sol)

 

 

Answer:                                            ■

 

 

 

Solved by 우시명   Finalized by 문지호   Refinalized and Final OK by SGLee

Calculus with Sage p.119 Chapter 3.4  Problem 1 (New)

Use differential to approximate .

 

  Sol) 

Let .

Then at .

Thus,


[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2067       


사각형입니다.


Answer : 6.58333333333333                                           

 

 

 

Solved by 계성곤   Finalized by 이송섭   Refinalized and Final OK by SGLee

Page 119 Exercise 3.4 (New) NO.2

Use differential to approximate the following quantity.

     


Sol) 

Let .

Then

Thus,


Set and at


Answer:                                        ■  

 

 

 

Solved by 변희성    Finalized by 계성곤   Refinalized by 이송섭   Final OK by SGLee

Page 121 Exercise 3.4 (New) NO.12

Water is being pumped at a rate of 10 liters per minute into a tank shaped like a globe. The tank has a radius 10 meters. How fast is the water level rising when the depth of the water is 15 meters?


Sol) 

The tank is shaped like a globe. So in 15 meters, the surface is above the hemisphere.

 

Answer:    (meter/minute)                                 ■




Problems in Chapter 4

 

 

 

Solved by 우시명 Revised by 변희성 Finalized by 문지호 Revised by 배성준 Finalized by 문지호   Final OK by SGLee

Calculus with Sage p.132 Chapter 4.1  Problem 6 (New)

Find all critical numbers of the given function.

 


Sol)

 

  

Therefore critical numbers of are .


[CAS]  Draw the graph by using Sage.


http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2131/

 

                  

Answer: critical numbers of are .    

 

 

 

Solved by 문지호    Finalized by 배성준   Final OK by SGLee

Page 132. Ch4.1 Exercise No 8. (New)

2. Find all critical numbers of the given function.


Sol) 

     =

=> when ()

Critical numbers : ()

 

[CAS]  Draw the graph by using Sage.

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2112/

사각형입니다.


               

Answer: ()                          █

 

 

 

Solved by 이수헌   Revised by Sun Shaowei    Finalized by 문지호   Final OK by SGLee

Calculus with Sage p.134 Chapter 4.1 Problem 16(New)  Find the intervals where the function is increasing or decreasing.


Sol)

[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2103 

사각형입니다.

 

    

 is an even function and is an odd function.   

Answer :    Increasing Interval:    Decreasing Interval:                                            ■

 

 

 

Solved by 이수헌  Revised by Sun Shaowei   Finalized by 문지호  Final OK by SGLee

Calculus with Sage p.134 Chapter 4.1 Problem 18 (New)   

Prove the inequality.      

  

 

Proof)    

   

So, for .

 

[CAS] 

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2104 

사각형입니다.

 

Blue line : ,

Red line :

Yellow line :                                                                ■

 

 

 

Solved by 우시명   revised by 변희성  Finalized by 배성준   Refinalized and Final OK by SGLee

Calculus with Sage p.135 Chapter 4.1  Problem 20 (NEW)

Prove the inequality.


Sol) 

[CAS] Draw the graph of


http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2107   

사각형입니다.     

 

                그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000009a40002.bmp
원본 그림의 크기: 가로 784pixel, 세로 582pixel


In this graph, when .

                                               

 

 

 

Solved by 우시명    revised by 변희성    Fianlized by 배성준   Refinalized and Final OK by SGLee

Calculus with Sage p.135 Chapter 4.1  Problem 23 (New)

Prove the inequality using the Mean Value Theorem.

                     


Proof) 

Let .

By the Mean Value Theorem there exist in such that

                           

Since for all , .          


[CAS]  Draw the graph of .

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2106   

사각형입니다.    

 

                  그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000009a40003.bmp
원본 그림의 크기: 가로 780pixel, 세로 584pixel    

 

 

 

Solved by 우시명    revised by 변희성    Finalized by 배성준   Refinalized and Final OK by SGLee

Calculus with Sage p.135 Chapter 4.1  Problem 20 (New)  

Prove the inequality.

                        


Proof) 

[CAS] Draw the graph of


http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2107   

사각형입니다.     

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000009a40004.bmp
원본 그림의 크기: 가로 784pixel, 세로 582pixel

  when

                                                    

 

 

 

Solved by 우시명    revised by 변희성    Finalized by 배성준  Refinalized and Final OK by SGLee

Calculus with Sage p.145 Chapter 4.2  Problem 4 (New)

Find the local maximum and minimum values of . In addition, find the intervals on which is increasing and decreasing, and the intervals of concavity and the inflection points, sketch a graph of .

                 

Sol) 

[CAS] Draw the graph, and find the point or interval.

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2109 

사각형입니다.    

 

                   그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000009a40005.bmp
원본 그림의 크기: 가로 784pixel, 세로 584pixel


Answer: 

(a) Local maximum : , Local minimum: Not exist;

(b) Increase Interval: (, 0); Decreasing Interval: (0, )       

(c) 

in ,

So, there is no inflection point on the interval .

The graph is concave downward(위로 볼록) on (,)                   ■   

 

 

 

Solved by 이수헌   Revised by 우시명   Finalized by Sun Shaowei  Final OK by SGLee

Calculus with Sage p.146 Chapter 4.2 Problem 10 (New)
Find the inflection points of . In addition, find intervals in which the graph of is concave upward or concave downward.


Sol)


[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2125

    

 

   그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000016e80001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 484pixel, 세로 316pixel


Answer: 
(a) Inflection Point at


(b) Concave up on

   Concave down on                                                        ■

 

 

 

Solved by 이수헌    Revised by 우시명    Finalized by Sun Shaowei    Final OK by SGLee

Calculus with Sage p.146 Chapter 4.2 Problem 11 (New)
Find the inflection points of  In addition, find intervals in which the graph of  is concave upward or concave downward.

 


Sol)

 

 if or ,


[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2127                      

      

 

      그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000016e80002.bmp
원본 그림의 크기: 가로 484pixel, 세로 326pixel  

Answer:   

(a) Inflection points : and

(b) Concave down on

   Concave up on                                    ■



 

Solved by 이수헌 Revised by  문지호 Finalized by 문지호 Refinalized and Final OK by SGLee

 Calculus with Sage p.147 Chapter 4.2 Problem 12 (New)

Find the vertical and horizontal asymptote of .

 

Sol)

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2105 

사각형입니다.


,

,


Answer: Vertical asymptotes : ,  Horizontal asymptote : .            ■   

 

 

 

 

Solved by 우시명    revised by 변희성    Finalized by 배성준   Final OK by SGLee

 Calculus with Sage p.147 Chapter 4.2 Problem 12 (New)

Find the vertical and horizontal asymptotes of .  

                             ,


Sol) 

Draw the graph

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2110   

사각형입니다.    

 

           그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000009a40006.bmp
원본 그림의 크기: 가로 783pixel, 세로 584pixel

 

 


Answer: vertical asymptote : No, horizontal asymptote : y=0.    ■    

 

 

 

Solved by 문지호    Revised by Saowei Sun    Finalized by 배성준   Refinalized and Final OK by SGLee

Page 149. Ch4.2 Exercise No 24. (Old)

Prove the Concavity Test.

Concavity Test

Let be a function whose second derivative extists on an open interval .

(i) If for all in ,

          then the graph of is concave upward (위로 오목) on .

                                             (증가율이 점점 커진다는 의미)

(ii) If for all in ,

         then the graph of is concave downward (아래로 오목) on .    

 

                 그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000018f44285.gif
원본 그림의 크기: 가로 231pixel, 세로 123pixel

 

Proof) 

(i) BWOC (By the Way Of Contradiction)

   Suppose is not concave upward on (when for all in ,).

 => There are SOME such that and .   

By the mean value theorem, for some .

  at . It occurs a contradiction.


   : concave upward on .


(ii) Similarly.                                                              █

 

 

 

Solved by 문지호    revised by 변희성   Finalized by 계성곤   Final OK by SGLee

Page 149. Chapter 4.2 Exercise 25 (New)

Use CAS to find and when


Sol)

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2121

사각형입니다.

Answer:

 

                  ■   

 

 

 

Solved by 문지호   Revised by 계성곤   Finalized by 배성준    Final OK by SGLee

Page 155. Chapter 4.3 Exercise 14 (Old)

Find .


Sol) 

Apply L'Hospital's rule for a form of type .


[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2114/

사각형입니다.

 


Answer:  Limit is 1                                                      ■   

 

 

 

Solved by 우시명    revised by 변희성   Finalized by 배성준   Final OK by SGLee

Calculus with Sage p.155 Chapter 4.3  Problem 16 (New)

Find the following limit.

              


Sol) 

[CAS] 

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2111   

사각형입니다.

1


사각형입니다.

그림입니다.   


Answer : 1                                                ■

 

 

 

Solved by 문지호   Finalized by 이송섭   Final OK by SGLee

Page 156. Ch4.3 Exercise No 26. (New)

Find , .


Sol-1)

=     (by L'Hospital's rule) 

                                                              █



Sol-2)

=> (since is a continuous function, )


Answer :                                                █

 

 

 

Solved by 문지호   Revised by 계성곤   Finalized by 계성곤   Final OK by SGLee

Page 157. Chapter 4.3 Exercise 29 (Old)

 Let be a continuous function with and .

Find .


Sol 1)


Sol 2) Apply L'Hospital's theorem, since and

    

                          


Answer:                            ■   

 

 

 

Solved by 문지호   Finalized by 문지호   Final OK by SGLee

p.170 Chapter 4.5 Exercise No.13 (new)

Compute , the third approximation to the root of the given equation using Newton's method with the specified initial approximation .

                  ,


Sol) 

 http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/cal-Newton-method.html


 


Answer:                   █

 

 

 

 

Problems in Chapter 5

 

 

Solved by 배성준   Revised by 김요섭   Finalized by 문지호   Final OK by SGLee

Page 177 Exercise 5.1 (New) No.1

 Find the area under the curve from 0 to 5.

 

Sol)

Thus the length of each sub-interval is and the th sub-interval is given by . now we apply the right end formula to find required area.


 Side Calculus)

Answer:                                    ■

 


그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000018f40002.png
원본 그림의 크기: 가로 781pixel, 세로 270pixel    http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/Area-Sum.html : Riemann Sum을 이용하여 적분의 근사값을 구하는 과정 시각화 를 이용하여 확인할 수 있다.   

 

 

 

Solved by 문지호    ReSolved by 김요섭   Revised by 이송섭   Fianllized by 우시명   Final OK by SGLee

p.177 Chapter 5.1 exercise No.2(new)

2. (New) Find the area of the region under the graph of from 0 to 2.

Sol-1) 

                                  ■


Sol-2) 

[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2117       

사각형입니다.     

1/2*(e^4 + 1)*e^(-2) - 1

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000011040a6c.bmp
원본 그림의 크기: 가로 781pixel, 세로 582pixel


Answer:                           ■    

 

 

 

Solved by 배성준   Revised by 김요섭   Finalized by 문지호   Final OK by SGLee

Page 177 Exercise 5.1 (New) No.3

Find the area under the curve from to , where .


Sol)

 when

=>.

                  


Answer:                                               █   

 

 

 

Solved by 배성준    finalized by 김요섭   Final OK by SGLee

Page 188 Exercise 5.2 (New) No.1

Find the Riemann sum by using the Midpoint Rule with the given value of to approximate the integral.

    ,

 

sol)

Let . With the interval width is

 and midpoints are for . So the Riemann sum is

   

                                                        


 http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/Area-Sum.html : Riemann Sum을 이용하여 적분의 근사값을 구하는 과정 시각화 를 이용하여 확인할 수 있다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000018f40002.png
원본 그림의 크기: 가로 781pixel, 세로 270pixel                                                                              

 

 

 

Solved by 변희성   Revised by 우시명   Finalized by 배성준   Final OK by SGLee

Calculus with Sage p.188 Chapter 5.2  Problem 1 (New)

Find the Riemann sum by using the Midpoint Rule with the given value of n to approximate the integral.

     


Sol)

Let .  Also, , and midpoints are 4.5, 7.5, 10.5.

So, the Riemann sum is


   

                                                

Answer:                                           ■

 

  http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/Area-Sum.html : Riemann Sum을 이용하여 적분의 근사값을 구하는 과정 시각화 를 이용하여 확인할 수 있다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000018f40002.png
원본 그림의 크기: 가로 781pixel, 세로 270pixel                                                                                   

 

 

 

Solved by 계성곤   Revised by 배성준  Finalized by 김민수  Final OK by SGLee

Page 188 Exercise 5.2 (New) NO.4

8.  Find the Riemann sum by using the Midpoint Rule with the given value of to approximate the integral.

,


Sol) 

Let . With the interval width is and midpoints are

 ()

So the Riemann sum is

    

       =

       


Answer :                       

    http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/Area-Sum.html : Riemann Sum을 이용하여 적분의 근사값을 구하는 과정 시각화 를 이용하여 확인할 수 있다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000018f40002.png
원본 그림의 크기: 가로 781pixel, 세로 270pixel                                                                           

 

 

 

Solved by 김요섭   Revised by 이송섭  Finallized by 우시명   Refinalized by 배성준 Final OK by SGLee

p.188 Chapter5.2 No.5 (new)

5. (New) Express the limit as a definite integral on the given interval.

               

Sol)

 then, .


Answer:                       ■


 http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/Area-Sum.html : Riemann Sum을 이용하여 적분의 근사값을 구하는 과정 시각화 를 이용하여 확인할 수 있다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000018f40002.png
원본 그림의 크기: 가로 781pixel, 세로 270pixel                                                                           

 

 

 

Solved by 배성준   Revised by 김요섭   Finalized by 계성곤   Final OK by SGLee

Page 188 Exercise 5.2 (New) No.6

Express the limit as a definite integral in the given interval.

, [1, 6]

 

Sol)

          ■


 http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/Area-Sum.html : Riemann Sum을 이용하여 적분의 근사값을 구하는 과정 시각화 를 이용하여 확인할 수 있다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000018f40002.png
원본 그림의 크기: 가로 781pixel, 세로 270pixel                                                                              

 

 

 

Solved by 계성곤   Finalized by 배성준   Final OK by SGLee

Page 189 Exercise 5.2 (New) NO.8

Express  the limit as a definite integral on the given interval.

                , [2, 15]


Sol) 

=

=


Answer :                                           

 

 http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/Area-Sum.html : Riemann Sum을 이용하여 적분의 근사값을 구하는 과정 시각화 를 이용하여 확인할 수 있다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000018f40002.png
원본 그림의 크기: 가로 781pixel, 세로 270pixel                                                                           

 

 

 

Solved by 문지호   Revised by 김요섭    Finalized by 배성준   Final OK by SGLee

p.189 Chapter 5.2 Exercise No.12 (Old)

Determine whether the statement is true or false. If it is true, explain why. If it is false, give a counter example.

If is differentiable on , then

          


Sol) 

Theorem 1 : If function is continuous on , then is integrable on .

Since is integrable on , is continuous on by Theorem 1.

And by property 2(page 185), is true.              

Answer:  True                             █    

 

 

 

Solved by 김요섭   Revised by 이송섭   Finalized by 우시명   Refinalized by 이송섭  Final OK by SGLee

p.189 Chapter5.2 exercise No.16

Show that  if and are continuous and and , then 

                              .

 

Sol1)

Let and

 and are continuous, so and exist.

So                                            ■  

 

 

 

Solved by 변희성    Revised by 우시명   Finalized by 배성준   Final OK by SGLee

Calculus with Sage p.189 Chapter 5.2  Problem 19 (New)

Evaluate the intergral.  (You should mention which method you use.)

                            

Sol) 

                          ■


[CAS] Draw the graph.

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2118       

사각형입니다.    

      그림입니다.         

 

 

 

Solved by 문지호   Finalized by 문지호   Final OK by SGLee

p. 190 Chapter 5.2 Exercise 20 (New)

Evaluate the integral. (You should mention which method you use)


Sol) 

[FTC] Find the anti-derivative of the integrand.

                                           


[CAS]   http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2122/

사각형입니다.


-10/3*e - 1/3*e^3 + 1/3*e^4 + 10/3 


Answer:                         ■    

 

 

 

Solved by 변희성   Revised by 우시명    Finalized by 문지호    Final OK by SGLee  

Calculus with Sage p.190 Chapter 5.2  Problem 21

 Evaluate the intergral. (You should mention which method you use.)

     


Sol) 

 


[CAS] Draw the graph.

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2115/

사각형입니다.   

       


Answer:                             ■   

 

 

 

Solved by 배성준   Revised by 김요섭   Finalized by 계성곤   Refinalized and Final OK by SGLee

Page 191 Exercise 5.2 (New) No.25

Evaluate the integral by interpreting it as a sum of the areas.


Sol)

Let

=>  

=>

Since , let and .

=>   and

=>



Answer:                                                        ■

 

 

 

Solved by 계성곤   Finalized by 김민수   Refinalized by 계성곤   Refinalized by 우시명  Final OK by SGLee

Page 191 Exercise 5.2 (New) NO.26

Evaluate the integral by interpreting it as a sum of the areas.

    


Sol) 

Let

    and



Answer :                                                        ■   

 

 

 

Solved by 계성곤   Finalized by 김민수   Final OK by SGLee

Page 191 Exercise 5.2 (New) NO.28

 Prove that


Proof) 

By using the end point rule,


        =

        =

        =



Answer :                                 


 http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/Area-Sum.html : Riemann Sum을 이용하여 적분의 근사값을 구하는 과정 시각화 를 이용하여 확인할 수 있다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000018f40002.png
원본 그림의 크기: 가로 781pixel, 세로 270pixel                                                                             

 

 

 

Solved by 김요섭   Revised by 이송섭   Finallized by 우시명   Refinalized by 배성준   Revised by 문지호   Re Finalize by 문지호 Final OK by SGLee

p.192 Chapter5.2 Exercise No.32(new).

Verify the inequality

                        


Proof) 

Let , and define the -th derivative function of .


=> for 

=>    ( )


Therefore  .

            


We have proved that    .                      ■

 

 

 

 

Solved by 김요섭  Revised by 김민수  Finalized by 계성곤   Refinallized by 우시명   Final OK by SGLEE

Page 199 Exercise 5.3 (New) NO.6

6. (New) Find the derivative of the function.

=


Sol)

                      

Answer                  ■

 

 

 

Solved by 계성곤   Finalized by 김민수  Final OK by SGLee

Page 199 Exercise 5.3 (New) NO.7

Find the derivative of the function.


Sol) 



Answer :                                                             ■  

 

 

 

Solved by 배성준  finalized by 김요섭 Final OK by SGLee

Page 199 Exercise 5.3 (New) No.8

Calculate the integral using Part 2 of the FTC.

            

Sol)


                         

Answer:                                     ■

 

 

 

Solved by 이송섭   Revised by 문지호  Finalized by 계성곤  Final OK by SGLee

p.200 Chapter 5.3 exercise No.13 (new)

 Let and Find .

 

Sol)

Let . Then,


         

          


Answer:                                  █   

 

 

 

Solved by 문지호   Finalized by 배성준  Final OK by SGLee

p. 201 Chapter 5.3 Exercise 18 (New)

When    where , find .


Sol) 

Since , .

Let .

=> 

=> 

=> 


Answer:                                             ■   

 

 

 

Solved by 김요섭   Revised by 계성곤  Finalized by 문지호  Final OK by SGLee

Page 207 Exercise 5.4 (New) NO.2

Verify by differentiation that the formula is correct.

 


Proof-1)

Let . Then .

                                     █


Proof-2)

                                 █ 

 

 

 

 

Solved by 김요섭  Revised by 계성곤  Finalized by 문지호  Final OK by SG LEE

Page 207 Exercise 5.4 (New) NO.2

Verify by differentiation that the formula is correct.


Sol)

Let

   ( is an integral constant.)


Answer :       ■  

 

 

 

Solved by 배성준  finalized by 김요섭  Refinalized and Final OK by SGLee

Page 207 Exercise 5.4 (New) No.3

Verify by differentiation that the formula is correct.  


Proof)

Let (). Then .

   

Since ,

        

When , ; when , .

=>

Therefore          ■    

 

 

 

Solved by 변희성   Revised by 문지호  Finalized by 계성곤   Re fianlized by 배성준  Final OK by SGLee

p.207 Chapter 5.4 exercise No.3(new)

Verify by differentiation that the formula is correct.

 


Proof-2)

Let . Then .


Proof-1)

Answer)         █    

 

 

 

Solved by 변희성   Revised by 문지호   Finalized by 계성곤   Refinalized 배성준   Final OK by SGLee

p.207 Chapter 5.4 exercise No.4 (new)

Verify by differentiation that the formula is correct.    

      


Proof)

Let . Then .

.

.

                                                  █


 

 

 

Solved by 문지호   Finalized by 배성준  Final OK by SGLee

p. 208 Chapter 5.4 Exercise 20 (Old)

Evaluate the integral.

 

                 


Sol) 

Substitute to



Woframalpha :


Answer:           ■    

 

 

 

Solved by 문지호   Finalized by 이송섭   Final OK by SGLee

p. 217 Chapter 5.5 Exercise 9 (New)

Find the indefinite integral.   

              


Sol) 

Let then .

        


[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2126/

사각형입니다.

     그림입니다.
원본 그림의 이름: `)]H`FSME$)5F4`@AKXT[CT.jpg
원본 그림의 크기: 가로 298pixel, 세로 51pixel

 

Answer:                          ■   

 

 

 

Solved by 문지호  Finalized by 배성준  Final OK by SGLee

p. 218 Chapter 5.5 Exercise 20 (New)

Evaluate the definite integral, if it exists.   

                               


Sol) 

Let then .


Since this is even function,

.



[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2128/

사각형입니다.

    그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000011040001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 103pixel, 세로 55pixel


Answer:                                                   ■    

 

 

 

Solved by 김요섭   Revised by 배성준   Finalized by 문지호   Final OK by SGLee

p.228 Chapter 5.6 Exercise No.5 (Old)

Show that by using an integral.


Proof) 

                                             █   

 

 

 

Solved by 김요섭   Revised by 배성준   Finalized by 문지호   Final OK by SGLee

p.229 Chapter 5.6 Exercise No.7(Old)

Evaluate .

 

Sol) 


[CAS] Draw the graph.

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2129/

 사각형입니다.

     


Answer :                                     

 

 

 

 

1. Newton's method

 

 : 1차방정식은 쉽게, 2차 방정식도 간단한 근의 공식을 이용하여 쉽게 구해내고, 3차, 4차 방정식도 복잡하지만 근의 공식을 이용하여 근을 구해낼 수 있다. 5차 이상 넘어가게 되면 공식으로 또는 간단하게 방정식의 근을 구해낼 수 없다. 5차 이상 되는 고차 방정식의 근을 구하기 위하여 뉴튼은 근의 근사값을 구하는 방법을 생각해 냈다. 그래프적으로 보면 의 그래프가 그려져 있을 때 그 그래프위의 어느 한 점 에서의 접선을 그리고 그 접선의 x절편()을 구하여 에서 그래프 위의 점 를 구하여 점 B에서의 접선을 그린다. 이 과정을 계속 반복하다보면 이 되는 x의 근사값을 구해낼 수 있다.

 를 식으로 써서 구해보면

로 구할 수 있다.

이를 수열화 하면 공식의 틀을 갖춘 식이 나오게 된다.

이를 newton's method라 한다.


, 등을 가지고 연습해 보세요~ 계산이 복잡해 지면 sage를 쓰면 될 것입니다. 아니 어떻게 쓰는지만 알면 될 것입니다. 

4. State the Procedure for Newton’s Method. 

  Let us consider the graph of and we want to solve . We start with the (proper, 해에 충분히 가까운) initial approximation , which may be obtained by just guessing, or examining the graph of . Then we use the tangent line to the curve at the point to approximate the curve and look at the -intercept of , labeled . The equation of the tangent line is . Thus, we obtain . If , we can solve this equation for :

Under certain conditions, is usually a better approximation to the solution than . Then we repeat this procedure with replaced by , using the tangent line at . This gives a third approximation: . Continuing this process obtains a sequence of approximations , , , as shown in the Figure. In general, if then we have    .  The number becomes closer and closer to the solution if the sequence converges as . We note that if then the sequence may not converge. In this case, we have to choose a different initial  

5. State what you know about the number

    The number is an important mathematical constant, approximately equal to 2.71828, that is the base of the natural logarithm. This number arises in the study of compound interest, and can also be calculated as the sum of the infinite series . The constant can be defined in many ways; for example, is the unique real number such that the value of the derivative (slope of the tangent line) of the function at the point is equal to 1. The number is defined so that when from as . There is a very important exponential function that arises naturally in many places. This function is called the natural exponential function. However, for most people this is simply the exponential function. For , implies , and from the general derivative above we have . Thus the slope of a tangent line to the curve is equal to the -coordinate of the point. The Natural Exponential Function : , or .

    

     Since the logarithm is an increasing function, it is one-to-one and therefore has an inverse function, which we denote by exp. Thus, according to the definition of an inverse function, and and . In particular, we have since   . since . We obtain the graph of by reflecting the graph of about the line . The domain of exp is the range of the logarithm. That is, which is the range of the logarithm, is the domain of the exponential and , which is the domain of the logarithm is the range of exponential. If is any rational number, then the third law of logarithms gives . Therefore, by . Thus, whenever is a rational number. This leads us to define , even for irrational values of , by the equation . In other words, for the reasons given, we define to be the inverse of the function .


      Properties of the Exponential Function. The exponential function is an increasing continuous function with domain and range . Thus, for all . Also     . So the -axis is a horizontal asymptote of . Exponential Function: Consider the exponential function where , .

     From the definition of the derivative: . Thus . That is, the rate of change of any exponential function is proportional to the function itself. Furthurmore because and   if


  is the number such that  



III. (3pt x 13 = 39pt)  Find or Explain or Fill the blank.


1. State the Sage command that plot the implicit function (, ).

그림입니다.
원본 그림의 이름: mem0000155c1b38.png
원본 그림의 크기: 가로 586pixel, 세로 584pixel

var(‘x, y’)

f = 7*x^2 + 4*x*y + 4*y^2-23

implicit_plot(f, (x, -4, 4), (y, -4,4))  

 



2. The followings explain that the equation has

그림입니다.
원본 그림의 이름: sage0.png
원본 그림의 크기: 가로 784pixel, 세로 584pixel   at least one real root on using Intermediate Value Theorem.

 

var('x')                      

f(x)=(x)*cos(x) - sin(x)

plot(f(x), x, pi, (3/2)*pi)

 

print f(pi), f((3/2)*pi)

    -pi, 1  


  Since f(x)=(x)*cos(x) - sin(x) is continuous on and , using Intermediate Value Theorem,

there exist at least one real root of the equation   on .

find_root(f(x), pi, (3/2)*pi)

 

   4.493409457909064  


 

3. Find , which make be continuous at . [Hint: Use

  If is continuous at , .

          


   Sage 명령어

  사각형입니다.  


 

4. We plot the graph of the derivative of () using Sage below.

사각형입니다.  

그림입니다.
원본 그림의 이름: sage0.png
원본 그림의 크기: 가로 516pixel, 세로 316pixel

The graph intersects the -axis at , , , .


(1) Find intervals on which is decreasing.

       이 되는 구간에서 함수 가 감소하므로 위 그래프에서

            축 아래에 위치하는 범위를 찾으면 된다.

                                              감소구간 : , ,  

           (여기서 끝점은 포함하지 않아도 된다. 즉, 열린구간으로 써도 된다.)

(2) Find at which has local extreme values

      가 존재하지 않거나 이 되는 critical points (임계점)의

          좌우에서 도함수 의 값이 이면  극대, 이면 극소가 된다.

           위의 그래프를 통해 살펴보면

        극댓값을 가지는 의 값은 , .  극솟값을 가지는 의 값은 , 이다.  

 

 

5. . Find [Hint:  Use the definition of , , the properties of limits.]

   

       (the definition of )

       

 

 

6.  Find the limit using natural logarithm and L’Hospital’s Rule

    

  Let  

    

                                                     ( L’Hospital’s Rule)

              

       and           ( continuous ft.)

                                        


 

7. The tangent line at of parametric equation is  since .

    Find the velocity (속도) and speed (속력) at  .

  At , the velocity (속도) = =         and    speed (속력) =  


 

8. Use differential to approximate .

 Let . Set and .  Since , , we have

  Hence approximately,    .  


 

9. A closed cylindrical can is to hold of liquid. Find the height and radius that minimize the amount of material needed to manufacture the can.

   and

      

      

     Let

               and    

                http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/cal-4-4-exs-5.html 

 

 

10. If is the total value of the production when there are workers in a plant, then the average productivity is

 .

    Find . Explain why the company wants to hire more worker if ?

 

      If , then    ( )

       is the rate of productivity.

        ( )

묶음 개체입니다.      

This means the rate of productivity is larger than the average productivity which means if the company hire more workers, then they can expect to have a better productivity.   



11. Evaluate the area covered by and  .

그림입니다.
원본 그림의 이름: sage-fill.png
원본 그림의 크기: 가로 784pixel, 세로 582pixel   

 

                       

  Consider and . Then the area is

  

                       

                       

Sage :

var('y')

integral(y-y^2 + 2, y, -1, 2)

 Answer :  9/2   


 

12. is an anti-derivative of . Find . [Hint: Substitute and ]

     

       



13. A honeybee population starts with 30 bees and increases at a rate of bees per week. How many honeybees are there after 10 weeks?

  Since the net change in population during 10 weeks is      ,  the total number of honeybees after 10 weeks is .  



IV. (4pt x 4 = 16pt)  Prove or Explain (Fill the blank).

 

1.  

 ∀ > 0  [ Find ]  Let


   If , then == = .

                         [Side calculation] .   ■   

 

 

2.  Show , and implies .

Proof :      


 

3. If is a continuous function on , then is continuous on and it is differentiable on and .

Proof : Let be a point in .

                    

By Mean Value theorem for integration, there exist in   such that 


Since as , and is continuous.                                           



4. Find .

The integrand suggests using , so then .

    Now when , ; when , .


      Thus   .            



(QnA Participation, 4pt) Write one good example of your Note or Solution or Answer in QnA.

  

   More than 400 problems were solved and revised and finalized in Q&A . I have made more than 4*7 contributions in it including ...

That changed my ...


(Bonus, 2pt) What you have newly learned and improved from our Honor Calculus with Sage?


    Now I can draw, find and explain. And eventually I can solve most of problems in any calculus book by hand or by Sage! That was a difference.

 

 

Solve-Revise-Finalize and Final OK by SGLee (only)   

 

   Solved by 문지호 Finalized by 이송섭 Refinalized by TA

P.238 Chapter 6.1 Exercise 1 (New)

Find the area of the region, bounded by the given curves.

.


Sol)


[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2170


54


Answer : 54                                                          ■   

 

 

 

Solved by 배성준   Finalized by 계성곤   Final OK by SGLee

p.238 Chapter 6.1 exercise No.2(new)

Find the area of the region, bounded by the given curves.

그림입니다.

      

 

Sol)

[CAS]Use Sage.

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2180

----------------------------------------------------

var('x,y')

f(x)=2

g(x)=1/cos(x)

p1=plot(f(x), (x,-4,4),color="green")

p2=plot(g(x), (x,-4,4)  ,color="blue")

p3=parametric_plot((0,y),(y,-4.5,4.5),color="red")

p4=parametric_plot((pi/6,y),(y,-4.5,4.5),color="red")

p5=plot(f(x),x,0,pi/6,fill=g(x))

show(p1+p2+p3+p4+p5,aspect_ratio=1,ymax=5,ymin=-5)

show(integral(f(x)-g(x),x,0,pi/6))

----------------------------------------------------

 

Answer :                                  ■   

 

 

 

Solved by 변희성   Revised by 우시명   Finalized by 계성곤   Final OK by SGLee

P.238 Chapter 6.1 exercise 4 (Old)

Find the area of the region, bounded by the given curves.


Sol)

     

      (answer : )


[CAS]Use sage.

----------------------------------------------------

var('x,y')

f(x)=x^3

g(x)=x^5

p1=plot(f(x), (x,-1.5,1.5),color="red")

p2=plot(g(x), (x,-1.5,1.5),color="blue")

p3=plot(f(x), (x,-1,1),fill=g(x))

show(p1+p2+p3,aspect_ratio=1,ymax=1.5,ymin=-1.5)

----------------------------------------------------

그림입니다.

 

----------------------------------------------------

t=integral(f(x)-g(x),x,0,1)*2

show(t)

----------------------------------------------------



Answer:     ■   

 

 

 

Solved by 문지호   Revised by 이송섭  Finalized by 문지호   Refinalized by TA

P.238 Chapter 6.1 Exercise 7 (Old)

Find the area of the region, bounded by the given curves.


Sol)

Two curves meet at , .


[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2176/ 

          

  


The blue line represents , and the red line represents

Answer :                     █   

 

 

 

 Solved by 변희성   Revised by 우시명   Finalized by 계성곤   Final OK by SGLee

P.238 Chapter 6.1 exercise 8 (Old)

Find the area of the region, bounded by the given curves.


Sol)

    

    


 

[CAS]Use sage.

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2197       

----------------------------------------------------

var('x,y')

f(x)=4-x^2

g(x)=x^2-2

p1=plot(f(x), (x,-4,4),color="red")

p2=plot(g(x), (x,-4,4),color="blue")

p3=plot(f(x), (x,-sqrt(3),sqrt(3),fill=g(x))

show(p1+p2+p3,aspect_ratio=1,ymax=5,ymin=-4)

t=integral(f(x)-g(x),x,-3^(1/2),3^(1/2))

show(solve(f(x)==g(x),x)

show(t)

----------------------------------------------------

그림입니다.


Answer:           ■   

 

 

 

Solved by 변희성  Revised by 우시명  Finalized by 계성곤   Final OK by SGLee

P.238 Chapter 6.1 exercise 10 (Old)

Find the area of the region, bounded by the given curves.


Sol)


[CAS]Use sage.

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2198

----------------------------------------------------

var('x,y')

f(x)=x^(1/2)

g(x)=(1/3)*x

p1=plot(f(x), (x,0,10),color="red")

p2=plot(g(x), (x,-1,10)  ,color="blue")

p3=plot(f(x),x,0,9,fill=g(x))

show(p1+p2+p3,aspect_ratio=1,ymax=4,ymin=-2)

show(integral(abs(f(x)-g(x)),x,0,12))

----------------------------------------------------

그림입니다.

Answer:            ■   

 

 

 

Solved by 문지호  Revised by 계성곤  Finalize by TA  Final OK by SGLee

P. 239 Chapter 6.1 Exercise 13 (New)

Find the area of the region, bounded by the given curves.

,


Solution)

[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2181/

사각형입니다.

37/12


Answer :                   ■   

 

 

 

Solved by 배성준  Finalized by 계성곤   Final OK by SGLee

p.267 Chapter 6.3 exercise No.1(new)

Find the volume generated by rotating the region bounded by the given curves about the -axis using the method of cylindrical shells.

; about the -axis


Sol) By using Sage,

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2179   

----------------------------------------------------

var('x,y')

p1=plot(-3/(x^2-4*x), (x,0,4),rgbcolor=(1,0,0))

p2=plot(0, (y,0,4) ,rgbcolor=(0,1,0))

show(p1+p2, aspect_ratio=1,ymax=9)

show(integral(2*x*pi*(-3/(x^2-4*x)), x, 2,3))

----------------------------------------------------

그림입니다.


Answer :                             

 

 

 

Solved by 배성준  Revised by TA  Finalized by 배성준

p.267 Chapter 6.3 exercise No.5(new)

Find the volume generated by rotating the region bounded by the given curves about using the method of cylindrical shells.

; about 

 

Sol) 

As we know, .

Here, ,

Thus,


Using Sage

http://sagenb.skku.edu/home/pub/257

사각형입니다.

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: 20140503_105949.jpg
원본 그림의 크기: 가로 793pixel, 세로 457pixel

Answer :                                        ■   

 

 

 

Solved by 배성준   Finalized by 계성곤  Final OK by SGLee

p.268 Chapter 6.3 exercise No.7(new)

Find the volume generated by rotating the region bounded by the given curves about -axis using the method of cylindrical shells.

; about the -axis


Sol) Use Sage!!

----------------------------------------------------

var('x,y')

f(x)=ln(x)

g(x)=0

p1=plot(f(x), (x,0,4),color="purple")

p2=plot(g(x), (x,-1,4),color="blue")

show(p1+p2, aspect_ratio=1,ymin=-4)

----------------------------------------------------

그림입니다.


By parallel translation and -axis symmetry movement,

----------------------------------------------------

p3=plot(f(-x+3),(x,-1,3),color="purple")

p4=plot(g(-x+3),(x,-1,3),color="blue")

show(p3+p4, aspect_ratio=1,ymin=-1)

show(integral(2*pi*y*(3-e^y),y, 0,ln(3)))

----------------------------------------------------


그림입니다.

 

It can be solved by other method.

----------------------------------------------------

show(integral(pi*(ln(-x+3))^2,(x,0,2)))

----------------------------------------------------


Answer :                     

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2178   

 

 

 

Solve by 우시명   Revised by 이송섭

p.268 chapter 6.3 exercise 9 (Old)

Find the volume generated by rotating the region bounded by the given curves about the -axis using the method of cylindrical shells.

 about the -axis

 

Sol1)

Using cylindrical shells.


Answer:         ■

 

Sol2) Use Sage.

[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2201   

----------------------------------------------------

var('x')

f(x)=x^2-5*x+6

g(x)=0

p1=plot(f(x),(x,0,4),rgbcolor=(1,0,0));

p2=plot(g(x),(x,0,4),rgbcolor=(0,1,0));

show(p1+p2,aspect_ratio=1)

solve(f(x)==g(x),x)

integral(2*pi*x*abs(f(x)),x,2,3)

----------------------------------------------------

 

Answer :                  ■   

 

 

 

Solved by 우시명   Revised by 이송섭

P.281 Chapter 6.5 Exercise 8 (New)

(a) Find the average value of on the given interval.

(b) Sketch the graph of and a rectangle whose area is the same as the area under the graph of .

 


Sol1)

(a)


Answer:              ■


Sol2) Use sage.

[CAS]http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2200     

----------------------------------------------------

var('x,y')

f(x)=(3*(x-4)^3)

----------------------------------------------------

그림입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

----------------------------------------------------

Int = integrate(f(x),x,2,5)

print(Int)

g(x) = Int/3

p1=plot(f(x),x,2,5)

p2=plot(g(x),x,0,10, color ="red")

p3=parametric_plot((2,y),(y,-25,5),color = "green")

p4=parametric_plot((5,y),(y,-25,5),color = "green")

show(p1+p2+p3+p4)

----------------------------------------------------

              

(a) Answer :     

(b) Rectangle made by two green lines, red line and 'x' axis     ■   

 

 

 

Solved by 이송섭   Revised by 문지호

P.282 Chapter 6.5 Exercise 12 (New)

 Find the numbers such that the average value of on the interval is equal to .


Sol)

[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2205

----------------------------------------------------

var('x')

f=1/x

P1=plot(f, x, 1, e, fill='axis')

P2=plot(f, x, 0, 2*e, ymax=4)

P3=plot(1/(e-1), x, 1, e, fill='axis')

P4=plot(1/(e-1), x, 0, 2*e, color='red')

t1=text("$y=1/x$", (0.8, 3), fontsize=15)

t2=text("$y=1/(e-1)$", (4, 0.8), fontsize=15)

show(P1+P2+P3+P4+t1+t2)

----------------------------------------------------


Answer:          ■   

 

 

 

Solved by 변희성   Finallized by 우시명   Refinalized by 계성곤   Final OK by SGLee

P.293 Chapter 7.1 exercise 2 (New)

 


Sol)

Use integration by parts.

  



[CAS] http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2238

----------------------------------------------------

      show(integral((3*x^2-2*x+1)*e^(2*x),x))

----------------------------------------------------

 

Answer :             ■   

 

 

 

 

solved by 변희성   Finallized by 우시명  Refinalized by 계성곤  Final OK by SGLee

P.303 Chapter 7.2 exercise 4 (New)

4.


Sol)

Use the Substitution Rule.

Let = > 

 =

                 

                 


[CAS] http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2239

----------------------------------------------------

      show(integral(sin(x)^7*cos(x)^4,x))

----------------------------------------------------


 Answer :        ■    

 

 

 

Solved by 변희성   Finallized by 우시명  Refinalized by 계성곤   Refinalized and Final OK by SGLee

P.312 Chapter 7.3 exercise 3 (New)

3.


Sol)   Use Substitution Rule.

    Let =>

   

 [Side Calculation] [Find ]

           

                      => 

    ()          


[CAS]  http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2240  P.312-Chapter 7.3 exs 3 by 계성곤

----------------------------------------------------

        show(integral(x/(16+x^2)^(1/2),x))

----------------------------------------------------


Answer :                                                            ■   

 

 

 

Solved by 문지호  Revised by 이수헌  Finalized by TA

Chapter 7.4 Exercise 1(New)


Solution)

Decompose the original function to partial fraction.

        ==> , , ,


[CAS]

 http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2195

1/(x^2 + 2*x + 1) - log(x + 1) + log(x)


Answer :                          ■   

 

 

 

Solved by 문지호  Revised by 계성곤  Finalized by TA Final OK by SGLee

Chapter 7.4 Exercise 5(New)


Sol) Decompose the original function to partial fraction.

     ==> , , , ,

[CAS]    http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2196

 

[     1      0      0      0      0   2/15]

[     0      1      0      0      0   2/39]

[     0      0      1      0      0   5/39]

[     0      0      0      1      0 -12/65]

[     0      0      0      0      1  -3/65]

 

  

  


[CAS]    http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2196

                

Answer :

   ■   

 

 

 

Solved by 이송섭 Revised by 문지호 Finalized by 이송섭   Finalized by SGLEE

P.365 Chapter 7.8 Exercise 2 (Old)

        

Sol)

     (Integrate by parts)

       

       

       .        ⏨

[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2232

----------------------------------------------------

var('x')

g=integrate(x*e^(-x), x)

p1=plot(g(x)-g(0), x, 0, 10)

show(p1)

int=integrate(x*e^(-x), x, 0, infinity)

print(int)

----------------------------------------------------

1

Answer :            █   

 

 

 

Solved by 이송섭  Revised by TA  Finalized by 이송섭  Refinalized and Final OK by SGLee

P.369 Chapter 7.8 Exercise 3 (New)

Prove that is convergent.

그림입니다.
원본 그림의 이름: mem00000714a430.png
원본 그림의 크기: 가로 784pixel, 세로 584pixel

 

Sol)   [CAS]   plot (1/(1+x^2))


      ()

              


1)

2)  

3)

 

         (by 1), 2), 3))

    =>      is converge.  (By comparison theorem)


Note: 

[CAS]  show(integral(1/(1+x^2), x, -infinity, +infinity))

         답은  = .    

 

 

 

Solved by 이송섭  Revised by 문지호  Finalized by 이송섭  Finalized by SGLEE

P.365 Chapter 7.8 Exercise 4 (New)

   

 

Sol)

        

                           □

 

[CAS]

 http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2233

----------------------------------------------------

var('x')

p1=plot(1/(1-x), x, 0, 1)

show(p1)

int=integrate(1/(1-x), x, 0, 1)

print(int)

----------------------------------------------------

ValueError: Integral is divergent.

Answer : The given integral is divergent          ■   

 

 

 

Solved by 이송섭 Revised by 문지호 Finalized by 이송섭 Final ok by SGLEE

P.366 Chapter 7.8 Exercise 7 (old)

         ()

Sol1) 

       

 

           ■

 

Sol2)

Use mathematical induction to show the following equation.

         (*)

(i)Show true for

(ii) Assume true for and show true for .

By the inductive assumption, .

By mathematical induction, (*) is true for all

 is eventually true for large . Therefore .

         ⏨

Answer :        ■   

 

 

 

Solved by 이송섭  Revised by 배성준  Finalized by 우시명  Final ok SGLEE

P.365 Chapter 7.8 Exercise 7 (new)

Find .


Sol)

Take . Then, .

                 

                            ⏨


Answer:         ■   

 

 

 

Solved by 이송섭  Revised by 배성준  Finallized by 우시명  Final ok SGLEE

P.365 Chapter 7.8 Exercise 9 (new)

       Find .


Sol) 

Let ,then .

                =1*2=2               

[CAS]

 http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2234

----------------------------------------------------

var('x') 

f=abs((e^(-(x^2)/2))*x) 

p1=plot(f,(x, -4, 4))

show(p1) 

print integral(f, x, 0, infinity)

----------------------------------------------------

그림입니다.

 

 

 

Solved by 문지호  Revised by 계성곤  Finalized and Final OK by SGLee

Chapter 7.8 Exercise 18 (Old)

Prove that the given function is divergent.

                             


Solution)

        If , then .


                =>     ()


       

By the comparison test, also diverges since diverges.


[CAS] http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2218   

----------------------------------------------------

var('x')

a=plot(1+x^2, x, 0, 3)

b=plot(1+x, x, 0, 3)

c=plot((1+x^2)/(1+x), x, 0, 3, color='red')

show(a+b+c)

----------------------------------------------------

그림입니다.


Answer : By the comparison test, is divergent.        ■

 

 

 

Solved by 이송섭 Revised by 문지호 Finallized by 우시명 Final ok by SGLEE

P.367 Chapter 7.8 Exercise 19 (New)

     

Sol)

Put then, .

               


[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2228/

----------------------------------------------------

var('x,n')

integrate(x^(10*n-1)*e^(-x^10),x)

-1/10*(x^10)^(-n)*x^(10*n)*gamma(n, x^10)

----------------------------------------------------


Answer:

 

 

 

Solved by 이송섭  finalized by TA

P.282 Chapter7.8 Exercise 21 (old)

                      

 

Sol)

 on

                    

                    

                    

----------------------------------------

But   ==> ,

 

Thus you do not prove it is divergent.

-------------------------------

        (wrong)     

그림입니다.


Answer: Integral is divergent.    ■

[CAS]http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2235   

 

 

 

Solved by 이송섭  Revised by TA   Finalized by 이송섭

P.365 Chapter 7.8 Exercise 28 (new)

             

Sol)

Let , then .

                  

                  


[CAS]

 http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2236

사각형입니다.  

    그림입니다.

ValueError: Integral is divergent


Answer: Integral is divergent.         ■   

 

 

 

Solved by 이송섭  Revised by 순샤오웨이  Finalized by 이송섭

P.369 Chapter 7.8 Exercise 34 (New)

           

Sol)

Let , then .

             

             


Let .

            

 

 

 

Solved by 문지호  Revised by 이송섭

P.394 Chapter 8.3 Exercise 1 (New)

Find the center of mass of the region bounded by the cardioid (we assume that the density of the enclosed region is 1).

    

    


Sol) By the symmetry principle, the center of mass must lie on , so . Since the given curve is by the polar coordinate, the area of the region is computed as follows.


[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2284/ (Ch-8.3-Exercise-1-Solve문지호-Revise이송섭)

----------------------------------------------------

theta=var('theta');

polar_plot(sqrt((cos(theta))^2-2*(cos(theta))^3+(cos(theta))^4+(sin(theta))^2-2*(sin(theta))^3+(sin(theta))^4),

(0, 2*pi), fill=True).show(aspect_ratio=1, xmin=-3, xmax=3, ymin=-3, ymax=3)

----------------------------------------------------

그림입니다.

Above graph means that we can't solve this problem same way with Ch-8.3-Exercise-2.


Answer : is              ■      

 

 

 

Solved by 문지호  Revised by 배성준  Finalized by TA

P.423 Chapter 9.1 Exercise 4(New)

Determine whether the sequence converges or diverges. If it converges, find the limit.


Solution)

The denominator converges to 1, and the numerator diverges to .


[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2225/

  

   

+Infinity


Answer :                                                               █    

 

 

 

 Solved by 문지호    Revised by 배성준   Finalized by TA

P.424 Chapter 9.1 Exercise 7(New)

Determine whether the sequence converges or diverges. If it converges, find the limit.

 

Solution)

By the squeeze theorem .


[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2226/

0

Answer :                                               █   

 

 

 

Solved by 문지호  Revised by 배성준, Finalized by TA   Refinalized and Final OK by SGLee

P.424 Chapter 9.1 Exercise 9 (New)

Determine whether the sequence converges or diverges.

If it converges, find the limit.

                                       


Sol)   

                (by letting )

                           (because e =(1+1/n)^n as n ->infinity)


Read more: http://www.physicsforums.com  

          

[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2227/

 

 

e^(-5)

Answer :                                              █

Note: 그림을 그려보니 수렴한다는 것을 예측할 수 있었다. 치환하고  e =(1+1/n)^n을 이용하여 이론적으로 에 수렴함을 보였고,

CAS를 이용하여 같은 값인 에 수렴함을 확인하였다. 필요시 limit((1-5/n)^n, n=+oo) 명령어를 이용하여 극한을 구할 수 있을 듯하다.

 

 

 

Solved by 이송섭  Revised by 문지호  Finallized by 우시명   Refinalized by TA

P.424 Chapter 9.1 Exercise 9 (New)

Find the positive integer , where  is convergent.

                 

Sol)

Since  is convergent,  


1) for every positive integer

2) only if .

 Then . ()

 

 Answer :                   ■                             

 

 

 

Solved by 문지호  Revised by 이송섭  Finalized by TA

P.425 Chapter 9.1 exercise 10  (New)

Determine whether the sequence converges or diverges. If it converges, find the limit.


Sol) 


[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2251/

  

          

1


Answer :                           ■   

 

 

 

Solved by 문지호   Revised by 우시명  Finalized by 배성준  Refinialized by TA

P.425 Chapter 9.1 Exercise 11 (New)

11. Determine whether the sequence converges or diverges. If it converges, find the limit.  

                


Sol)


Answer : The is divergent.             ■         

 

 

 

Solved by 계성곤   Revised by 문지호  Finalized by 김민수   Refinalized by TA Final OK by SGLee

Page 444 Exercise 9.3 (New) NO.1

Test for convergence of the alternating series.

그림입니다.
원본 그림의 이름: mem00001cf8092d.png
원본 그림의 크기: 가로 781pixel, 세로 584pixel


Sol) 

Let .



Since is convergent, the series is convergent by Integral test.


[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2245

사각형입니다.

-6/sqrt(x)

6


Answer : convergent                                                              ■  

 

 

 

Solved by 계성곤  Revised by 우시명  Finalized by TA  Final OK by SGLee

Page 444 Exercise 9.3 (New) NO.2

Test for convergence of the alternating series.


Sol) 

 → 2


ⅰ.

ⅱ.


By Alternating Series Test, the series is divergent.


[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2243  

사각형입니다.


Answer : divergent                                                              

 

Comment : 일반항 이라고 두고 앞에서부터 두 개씩 묶어보면 두 개씩 묶은 합은 무조건 양수가 됨을 알 수 있다. 이때 우리는 수열의 합을 구할 때 일반항의 극한값이 0이 되지 않으면 발산함을 알고 있으므로 발산함을 알 수 있다.


 

 

Ch-9.3-Exercise-8(old)-Solve문지호-Revised-SGLee   

Solved by 문지호   Revised by SGLee

When , is the series   convergent?


Sol)

Let for all p.

(ii)    for all .

http://www.wolframalpha.com/

plot  {{{ lnx }^2} over x }

limit_{n->infinity} {{{ ln{n} }^p} over n }  = for all p.


(i)  [Show the series is convergent if ]

Pf) Let

  [Show    ...                                     < 0   for ]



   =>        (This shows eventually .)


By Alternating Series Test, the series is convergent     █


Note:  Sage or 울프럼 알파 이용하여...   수렴하는 것을 관찰할 수 있습니다.   

 

 

 

Solved by 계성곤  Revised by 우시명  Finalized by TA   Final OK by SGLee

Page 444 Exercise 9.3 (Old) NO.6

Test for convergence of the alternating series.


Sol) 

Let .



By the Ratio Test, the series is absolutely convergent.


[P.440 Theorem 4. Ratio Test]

  If , then the series is absolutely convergent (and therefore convergent).


[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2244

사각형입니다.


Answer : convergent                                                              ■   

 

 

 

Solved by 배성준  Revised by 계성곤   Finalized by 계성곤 Final OK by SGLee

P.453  Chapter 9.4 Exercise 1(New)

Determine the radius of convergence and interval of convergence of the following series.

                                    


Sol)

Let . Then

Using the Ratio Test, the given series is absolutely convergent and therefore convergent when , and divergent when .


ⅰ. is divergent.

ⅱ. is convergent.(the Alternating Series Test)

Thus, the given power series converges for .

So, and .


Answer : and                                              


[Side cal] Alternating Series Test

Let

(i) for all ,

(ii)

Therefore is convergent.                                         □  

 

 

 

Solved by 배성준  Revised by 계성곤   Finalized by 계성곤  Final OK by SGLee

P.453  Chapter 9.4 Exercise 2(New)


Determine the radius of convergence and interval of convergence of the following series.

                           

Sol)

Let . Then

Using the Ratio Test, the given series is absolutely convergent and therefore convergent when , and divergent when .

ⅰ. is convergent.(the Integral Test)

ⅱ. is convergent.(the Alternating Series Test)

Thus, the given power series converges for .

So, and .

Answer : and                                            


[Side cal] Alternating Series Test

Let

(i) for all ,

(ii)

Therefore is convergent by Alternating Series Test.

Let .

 ( convergent)

Therefore is convergent by Integral Test.                   □   

 

 

 

Solved by 배성준  Revised by 계성곤  Finalized by 계성곤  Final OK by SGLee

P.453  Chapter 9.4 Exercise 3(New)

Determine the radius of convergence   and interval of convergence    of the following series.

                                     


Sol)

Let . Then

Using the Ratio Test, the given series converges for all


So, and .


[CAS]http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2277/

var('n')

u(n)=1/factorial(2*n+1)

rho=limit(abs(u(n+1)/u(n)), n=+oo)

rho            #0


Answer : and                                     █   

 

 

 

Solved by 배성준   Revised by 계성곤  Finalized by 계성곤  Final OK by SGLee


P.453  Chapter 9.4 Exercise 6(New)


Determine the radius of convergence and interval of convergence of the following series.

                             


Sol)

Let . Then

Using the Ratio Test, the given series is absolutely convergent and therefore convergent when , and divergent when .

If , then the series becomes . Since for and , by the Comparison test, is convergent.( is convergent.)

If , then the series becomes , which is converges by the Alternating Series Test.

Thus, the given power series converges for .

So, and .

Answer : and                                              


[Side cal] Alternating Series Test

Let

(i) for all ,

(ii)

Therefore is convergent.                                     □   

 

 

 

Solved by 배성준  Revised by 계성곤  Finalized by 계성곤  Final OK by SGLee

P.454  Chapter 9.4 Exercise 8 (New)

Determine the radius of convergence and interval of convergence of the following series.

                            

Sol)

Let . Then

Using the Ratio Test, the given series is absolutely convergent and therefore convergent when , and divergent when .

ⅰ. , is convergent.(the -series Test)

ⅱ. , is convergent.(the Alternating Series Test)

Thus, the given power series converges for .

So, and .                                                  


[Side cal] Alternating Series Test

Let

(i) for all ,

(ii)

Therefore is convergent by Alternating Series Test.         □

The series converges if and diverges if .

  is convergent.                                                       □   

 

 

 

Solved by 배성준  Revised by 계성곤  Finalized by 계성곤   Final OK by SGLee

P.453  Chapter 9.4 Exercise 10(New)

Determine the radius of convergence and interval of convergence of the following series.

                       


Sol)

Let . Then

.

Using the Ratio Test, the given series converges for .

So, and {-2}.

Answer : and {-2}                                               █   

 

 

 

Solved by 배성준  Revised by 계성곤  Finalized by 계성곤  Final OK by SGLee

P.454  Chapter 9.4 Exercise 12(New)

Determine the interval of convergence of a power series representation for the function .

         


Sol)

Since this is a geometric series, it converges when . Therefore, the interval of convergence is .


Answer :                                                          ■   

 

 

 

 Solved by 배성준  revised by 계성곤  Finalized by 계성곤   Final OK by SGLee

P.455  Chapter 9.4 Exercise 14 (New)

Express the function as the sum of a power series by first using partial fractions. Find the interval of convergence.

                     


Sol)

Since this is a geometric series, it converges when , and , respectively. Therefore, the interval of convergence is .


Answer :                                                               █   

 

 

 

Solved by 배성준  Revised by 계성곤  Finalized by 계성곤   Final OK by SGLee

P.455  Chapter 9.4 Exercise 15 (New)

Find a power series representation for the function and determine the radius of convergence.

                  


Sol)

The derivative of is .

We have  ,

 for .

Thus,

We put in this equation to determine the value of  .

That is,   .

Thus, .

Here since the radius of convergence is the same as for the original series.


Answer : ,                                █  

 

 

 

Solved by 우시명   Revised by 문지호   Finalized by TA Final OK by SGLee

P.471 Chapter 9.5 Exercise 5  (New)

Obtain the Taylor series for about .

,


Sol) 

                  

 

[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2246

−15040x7+1120x5−16x3+x


Answer :              ■


Comment : Sage로 7차 항까지 구한 값이 일치하는 것을 확인할 수 있다.   

 

 

 

Solved by 우시명  Revised by 문지호  Finalized by 계성곤  Refinalized by 계성곤  Final OK by SGLee

P.473 Chapter 9.5 exercise 15  (New)

Evaluate the limit using a series.

Sol) 

[CAS]http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2266/

var("x")

p1=plot(((cos(x))^2-1+x^2)/(exp(x^2)-1)^2,(x,-3,3),ymin=-0.1, ymax=0.4)

show(p1)

그림입니다.
원본 그림의 이름: sage0.png
원본 그림의 크기: 가로 784pixel, 세로 584pixel

 

Change and to polynomial.

      

 = =

Answer :                                        

NOTE : Sage를 이용하여 그래프의 개형을 파악하고 대략적인 값을 예측한 뒤 직접 계산하여 다시 확인하였다.

 

 

 

Solved by 우시명  Revised by 문지호

P.474 Chapter 9.5 exercise 21  (New)

Evaluate using the binomial series where .


Sol) For ,

.

Since =,

.


[CAS]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=d%5E8%7B%281%2B3*x%5E2%29%5E%28-1%2F3%29%7D%2Fdx%5E8%2C+x%3D0


Answer : 470400                            ■   

 

 

 

Solved by 이송섭   Revised by 문지호   Finalized by 계성곤  Final OK by SGLee

P.365 Chapter 10.1 Exercise1 (New)

(a) Find the Cartesian equation of the curve.

(b) Sketch the curve and indicate with an arrow the direction in which the curve is traced as the parameter increases.

            


Sol)

그림입니다.

 


[CAS]

 http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2252

var('t,x,y')

x=cos(t)*(1+cos(t))

y=sin(t)*(1+cos(t))

a=0

b=2*pi

p=parametric_plot((x, y), (t, a, b))

small=0.001

step=pi/16

n=(b-a)/step

arr=sum([arrow((x(t=a+i*step),y(t=a+i*step)),(x(t=a+i*step+small), y(t=a+i*step+small)))for i in range(1, n) ])

p+arr


Answer : (a)  

          (b) [the above graph]                                                 

NOTE : http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-para.html에서 t의 변화에 따른 그래프의 변화를 애니메이션으로 볼 수 있었다.

 

 

 

solved by 문지호

Page 485 Exercise 10.1 (New) NO.5

(a) Find the Cartesian equation of the curve.

(b) Sketch the curve and indicate with and arrow the direction in which the curve is traced as the parameter increases.

,


Sol)

(a)

 

Since , .

The given curve is hyperbola whose focus points are .

Since , domain of the function is .


(b)

[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2278/

var('t,x,y')

x=3*cosh(t)

y=4*sinh(t)

a=-5

b=5

p=parametric_plot((x,y),(t,a,b))

small=0.001

step=0.25

n=(b-a)/step

arr=sum([arrow((x(t=a+i*step), y(t=a+i*step)),(x(t=a+i*step+small),y(t=a+i*step+small))) for i in range(1,n) ])

p+arr      

 

Answer : (a)                    █  

 

 

 

Solved by 이송섭 Revised by 배성준 Finalized by TA Final OK by SGLee

Page 486 Exercise 10.1 (new) NO.8

(a) Find the Cartesian equation of the curve.

(b) Sketch the curve and indicate with an arrow the direction in which the curve is traced as the parameter increases.

                             

Sol)

(a)          

  =>    => 

(b)

[CAS]

 http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2263

    

 

                                           ■   

 

 

 

Solved by 이송섭   Revised by 배성준  Finalized by TA Final OK by SGLee

Page 489 Exercise 10.1 (old) NO.9

Find a parametric equation for the path of a particle that moves along in the manner described below.

 (a) Once around clockwise, starting at (3, 1).

 (b) Twice around counterclockwise, starting at (3, 1).

 (c) Halfway around counterclockwise, starting at (1, 3).

 (d) Graph the semicircle traced by the particle.


Sol)

(a) Parametric equation of is

. This equation start at when .

So .

(b) Because counter clockwise, convert in (a) to

 .

(c) At

(d)

[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2264 


                           ■   

 

 

 

Solved by 이송섭   Revised by 배성준   Finalized by 문지호  Finalized by TA

Page 487 Exercise 10.1 (new) NO.11

Find general sets of parametric equations to represent the curve .

 

Sol)

Let . Then we consider whether is well defined in .


(1)

0

0


(2)


(3)


Thus, choose and in each case when .                       ■   

 

 

 

Solved by 이송섭  Revised by 배성준   Finalized by 문지호  Final OK by SGLee

Page 487 Exercise 10.1 (New) NO.11

Find general sets of parametric equations to represent the curve .


Sol 1)

Let , then .

So, .


i) and is integer except 0.


ii) and are rational number except integer.


iii) One of and is irrational number or and are irrational number.

Case by case.


Sol 2)

Let , then .

 can be any surjection onto .


Answer : Follow the solution.         █   

 

 

 

solved by 문지호   Final OK by SGLee

Page 485 Exercise 10.1 (Old) NO.13

Investigate the family of curves defined by the parametric equations

, .

How does the shape change as c changes? In particular, you should identify values of   for which the basic shape of the curve chages.


Sol)

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/cal-9-1-13.html

t=var('t')

@interact

def _(c=(0,2)):

    p=parametric_plot((sin(t)*(c-sin(t)),cos(t)*(c-sin(t))),(t,0,2*pi))

    show(p,xmin=-3,xmax=2,ymin=-2,ymax=2)

 

 

                       

                         


Answer : Shape changes between , , .                █   

 

 

 

Solved by 계성곤  Revised by 김민수  Finalized by 배성준  Refinalized by 계성곤  Final OK by SGLee

Page 510 Exercise 10.3 (New) NO.3

Plot the point whose polar coordinates are given. Then, find the Cartesian coordinates of the point.


Sol) 


[CAS]

def Polar(r,theta):

    #converts Polar to Cartesian Coordinates

    CartC = ([r*cos(theta),r*sin(theta)]);

    return CartC;

pt=Polar(8,13/3*pi);

show( vector(pt))

list_plot([pt], aspect_ratio=1,xmin=3, xmax=8, ymin=3, ymax=8)

그림입니다.
원본 그림의 이름: sage0 라능.png
원본 그림의 크기: 가로 581pixel, 세로 584pixel


http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2258/


Answer :                                                            

 

 

 

Solved by 계성곤  Revised by 김민수  Revised by 배성준, Finalized by 계성곤 (fixed by 이송섭, 문지호, 계성곤)  Final OK by SGLee

Page 510 Exercise 10.3 (New) NO.6

The Cartesian coordinates are given. Find two other pairs of polar coordinates of the point, one with and other.


Sol) 

,

One answer : , and

 

Since (,-) is in the 4th quadrant, the polar coordinates are

 

(4, 5/3*pi)   ( and  (-4, 2/3*pi),   그리고 각도에  + 2*n*pi 하면 여러개의 답을 얻는다,  ... )


Answer : (4, 5/3*pi) or (-4, 2/3*pi)  etc                                              ■  

 

 

 

Solved by 계성곤  Finalized by 김민수  Refinalized by 배성준  Refinalized by 계성곤  Final OK by SGLee

Page 511 Exercise 10.3 (Old) NO.9

Find a formula for the distance between the points with polar coordinates and .

 

Sol)


  

  


Answer :                                           ■  

 

 

 

Solved by 계성곤  Revised by 김민수  Revised by 배성준  Finalized by 계성곤  Final OK by SGLee

Page 511 Exercise 10.3 (New) NO.12

Find a polar equation for the curve represented by the given Cartesian equation.

                         


Sol)


Answer :                  ■   

 

 

 

Solved by 계성곤  Revised by 김민수  Finalized by 배성준    Refinalized by 계성곤  Final OK by SGLee

Page 511 Exercise 10.3 (New) NO.15

Find a Cartesian equation for the curve represented by the given polar equation.  

          


Sol)



Answer :                                                          ■   

 

 

 

Solved by 계성곤  Revised by 김민수  Finalized by 배성준  Refinalized by 계성곤  Final OK by SGLee

Page 511 Exercise 10.3 (Old) NO.18

Sketch the curve with the given polar equation.

           


Sol)

 


[CAS]http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2262

r=var('r');

polar_plot(3,(0, 2*pi)).show(aspect_ratio=1, xmin=-5, xmax=5, ymin=-5, ymax=5)


그림입니다.
원본 그림의 이름: sage0 (4)뺭.png
원본 그림의 크기: 가로 484pixel, 세로 484pixel           ■

 

 

 

Solved by 계성곤   Finalized by 김민수   Refinalized by 계성곤   Final OK by SGLee

Page 511 Exercise 10.3 (New) NO.21

Sketch the curve with the given polar equation.

                    

Sol)


[CAS]http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2259/

theta=var('theta');

polar_plot(sin(theta)+(sin(theta))^2+exp(theta), (0, 20*pi)).show(aspect_ratio=1, xmin=-70, xmax=100, ymin=-170, ymax=20)


그림입니다.
원본 그림의 이름: 뼈호.png
원본 그림의 크기: 가로 526pixel, 세로 584pixel    ■   

 

 

 

Solved by 계성곤  Revised by 배성준  Finalized by 계성곤   Final OK by SGLee

Page 513 Exercise 10.3 (New) NO.24

Sketch the curve with the given polar equation.   

                  


Sol)

[CAS]http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2260/

theta=var('theta');

p1=polar_plot(sqrt(cos(2*theta)), (0, 1/4*pi))

p2=polar_plot(sqrt(cos(2*theta)), (3/4*pi,pi))

p3=polar_plot(sqrt(cos(2*theta)), (pi,5/4*pi))

p4=polar_plot(sqrt(cos(2*theta)), (7/4*pi, 8/4*pi))

show(p1+p2+p3+p4, aspect_ratio=1, xmin=-1, xmax=1, ymin=-0.5, ymax=0.5)

 

Answer :

그림입니다.
원본 그림의 이름: sage0 (1).png
원본 그림의 크기: 가로 784pixel, 세로 401pixel     ■   

 

 

 

Solved by 계성곤   Revised by 김민수  Finalized by 계성곤   Final OK by SGLee

Page 513 Exercise 10.3 (Old) NO.27

Show that the curve (also a conchoid) has the line as a horizontal asymptote by showing that . Use this fact to help sketch conchoid.

 

Sol)

ⅰ) as or

    

ⅱ) as or

    

    

     is a horizontal asymptote.

[CAS]http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2261/

theta=var('theta');

polar_plot(2-csc(theta), (0, 2*pi)).show(aspect_ratio=1, xmin=-15, xmax=15, ymin=-5, ymax=5)

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: sage0 (2).png
원본 그림의 크기: 가로 784pixel, 세로 274pixel  

Answer : is a horizontal asymptote.                                      

 

 

 

Solved by 계성곤   Revised by 배성준   Finalized by 계성곤  Final OK by SGLee

Page 514 Exercise 10.3 (New) NO.30

Find the slope of the tangent line at the given point.  

                           ,

Sol)

[CAS]

theta=var('theta');

polar_plot((cos(theta))^2-1, (0, 2*pi)).show(aspect_ratio=1, xmin=-1, xmax=1, ymin=-1.5, ymax=1.5)

그림입니다.
원본 그림의 이름: sage2.png
원본 그림의 크기: 가로 396pixel, 세로 584pixel


Answer : 0                                                                     

NOTE : Sage를 이용하여 먼저 그래프의 개형을 확인하고 기울기를 예상했다. 그리고 다시 직접 계산하여 비교해보았다.   

 

 

 

Solved by 배성준   Final OK by SGLee

Page 522 Exercise 10.4 (New) NO.1

Find the area of the region that is bounded by the given curve and lies in the specified sector.

    ,


Sol)

Use Sage.                   http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2279     (배성준)

var('theta')

polar_plot(theta^2-theta, (0, pi/2), fill=true).show(aspect_ratio=1, xmin=-1/2, xmax=1/2, ymin=-1/2, ymax=1)

r=theta^2-theta

A=integral(1/2*r^2,theta, 0, pi/2)

show(A)

그림입니다.
원본 그림의 이름: 캡처.PNG
원본 그림의 크기: 가로 615pixel, 세로 587pixel


Answer :                                                 █    

 

 

 

Solved by 배성준   Revised by 우시명   Finalized by 배성준  Final OK by SGLee

Page 522 Exercise 10.4 (New) NO.3

Find the area of the region that is bounded by the given curve and lies in the specified sector.

   ,    

Sol)

[CAS]

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2280 

var('theta')

polar_plot((3*theta)^(1/2)+2, (0, pi*2/3), fill=true).show(aspect_ratio=1, xmin=-3, xmax=3, ymin=-1, ymax=5)

r=(3*theta)^(1/2)+2

A=integral(1/2*r^2,theta, 0, pi*2/3)

show(A)

그림입니다.
원본 그림의 이름: 캡처.PNG
원본 그림의 크기: 가로 989pixel, 세로 783pixel


Answer :                               

 

 

 

Solved by 배성준   Final OK by SGLee

Page 522 Exercise 10.4 (New) NO.5

Find the area bounded by one loop of the given curve.

    


Sol)

Use Sage.              http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2281   (배성준) 

var('theta')

polar_plot(2*sin(2*theta), (0, 2*pi), fill=true).show(aspect_ratio=1, xmin=-3, xmax=3, ymin=-3, ymax=3)

r=2*sin(2*theta)

A=integral(1/2*r^2,theta, 0, 2*pi)

show(A)

그림입니다.
원본 그림의 이름: 캡처.PNG
원본 그림의 크기: 가로 533pixel, 세로 497pixel


Answer :                                                                █  

 

 

 

Solved by 우시명   Finalized by 배성준    Final OK by SGLee

P.542 Chapter 10.5 exercise 1  (New)

Sketch the parabola with the given equation. Show and label its vertex, focus, axis, and directrix.

                     

 

Sol)  Draw the graph by using sage, and find the values asked.

     Vertex : (6, 3), focus : (6, 4), axis : x=6, directrix : y=2               

  [CAS] http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2276

var('x, y')

AA=implicit_plot((x-6)^2==4*(y-3), (x, -6, 16), (y, -2, 10))

f1=point((6,4), pointsize=20, color='blue')

A=implicit_plot(x==6, (x, -5, 14), (y, -1, 9))

B=implicit_plot(y==2, (x, -5, 14), (y, -1, 9))

v1=point((6, 3), pointsize=20, color='red')

show (AA+f1+A+B+v1)          

그림입니다.
원본 그림의 이름: sage-SGLee1.png
원본 그림의 크기: 가로 515pixel, 세로 332pixel      ■  

 

 

 

Solved by 변희성   Revised by 배성준   Finallized by 우시명   

P.542 Chapter 10.5 exercise 2  (New)

Sketch the parabola with the given equation. Show and label its vertex, focus, axis, and directrix.


Sol) 

Use sage.

[CAS]

var('x, y')

implicit_plot(3*y+x^2+2*x==0, (x, -10, 10), (y, -5, 5))


그림입니다.

 

Vertex : (-1, ), focus : (-1, ), axis : x=, directrix : y=          ■   

 

 

 

Solved by 우시명   Finalized by 배성준  Final OK by SGLee

P.542 Chapter 10.5 exercise 5  (New)

Find the vertices and foci of the ellipse and sketch its graph.

                        

Sol) Using sage and follow rule about ellipse.

 답:     foci  :   =>

         vertices :       


[CAShttp://math1.skku.ac.kr/home/pub/2275        

var('x, y')

ellipse=implicit_plot(x^2/7 + y^2/3 == 1, (x, -3, 3), (y, -3, 3))

f1=point((2,0), pointsize=20, color='blue')

f2=point((-2,0), pointsize=20, color='blue')

v1=point((sqrt(7),0), pointsize=20, color='red')

v2=point((-sqrt(7),0), pointsize=20, color='red')

v3=point((0,sqrt(3)), pointsize=20, color='red')

v4=point((0,-sqrt(3)), pointsize=20, color='red')

show(ellipse+f1+f2+v1+v2+v3+v4)                   

그림입니다.   ■   

 

 

 

Solved by 변희성   Revised by 배성준   Finallized by 우시명 Final OK by SGLee

P.543 Chapter 10.5 exercise 7  (Old)

Find the vertices and foci of the ellipse and sketch its graph.

   

 

Sol)

     focus(f)

     vertix(v)                                ■

 

[CAS]http://math1.skku.ac.kr/home/mm2013/1044/

var('x, y')

ellipse=implicit_plot(9*x^2+4*y^2-32*y+28==0,(x,-3,3),(y,0,8))

f1=point((0,4-sqrt(5)), pointsize=20, color='red')

f2=point((0,4+sqrt(5)), pointsize=20, color='red')

v1=point((2,4), pointsize=20, color='red')

v2=point((-2,4), pointsize=20, color='red')

v3=point((0,7), pointsize=20, color='red')

v4=point((0,1), pointsize=20, color='red')

show(ellipse+f1+f2+v1+v2+v3+v4)

그림입니다.    

 

 

 

Solved by 변희성   Revised by 배성준   Finallized by 우시명

P.544 Chapter 10.5 exercise 10  (New)

Find the vertices, foci, and asymptotes of the hyperbola and sketch its graph.


Sol)

Use sage.

     focus(f)

     vertix(v)                                          ■

http://math1.skku.ac.kr/home/mm2013/1045/

[CAS]

x,y=var('x, y')

hyperbola=implicit_plot(y^2/9-x^2/16==1,(x,-5,5),(y,-8,8))

f1=point((0,-5), pointsize=20, color='red')

f2=point((0,5), pointsize=20, color='red')

v1=point((0,3), pointsize=20, color='red')

v2=point((0,-3), pointsize=20, color='red')

show(hyperbola+f1+f2+v1+v2)   

그림입니다.

 

 

 

Solved by 변희성   Finallized by 우시명   Final OK by SGLee

P.544 Chapter 10.5 exercise 12  (New)


Identify the type of conic section whose equation is given and find the vertices and foci.



Sol)

 

(0,2)

vertices: (,2)(,2)(0,4)(0,0)

focus: (0,2+)(0,2)                           


[CAS]http://math1.skku.ac.kr/home/mm2013/1053/

var('x,y')

ellipse=implicit_plot(x^2/2+(y-2)^2/4==1,(x,-2,2),(y,-2,8))

f1=point((0,2-sqrt(2)), pointsize=20, rgbcolor=(1,0,0));

f2=point((0,2+sqrt(2)), pointsize=20, rgbcolor=(1,0,0));

v1=point((-sqrt(2),2), pointsize=20, rgbcolor=(0,0,1));

v2=point((sqrt(2),2), pointsize=20, rgbcolor=(0,0,1));

v3=point((0,0),pointsize=20,rgbcolor=(0,0,1));

v4=point((0,4),pointsize=20,rgbcolor=(0,0,1));

show(ellipse+f1+f2+v1+v2+v3+v4,aspect_ratio=1, xmin=-2, xmax=2, ymin=-1, ymax=5)

그림입니다.

  

 

 

Solved by 변희성   Finallized by 우시명

P.545 Chapter 10.5 exercise 15  (New)

Find an equation for the conic that satisfies the given conditions.

Parabola, vertex (3,5), focus (3,9) 


Sol)

                 ■

[CAS]http://math1.skku.ac.kr/home/mm2013/1054/

var('x,y')

implicit_plot((x-3)^2-16*y,(x,-10,15),(y,-10,10))


그림입니다.  

 

 

 

Solved by 변희성   Finallized by 우시명

P.546 Chapter 10.5 exercise 21  (New)

Find an equation for the conic that satisfies the given conditions.

Hyperbola, foci (,0) asymptotes


Sol)

a=5, b=12, c=13

                         


http://math1.skku.ac.kr/home/mm2013/1055/

[CAS]

var('x,y')

implicit_plot(x^2/144-y^2/25-1,(x,-20,20),(y,-10,10))


그림입니다.

 

 

 

 

[Calculus 1 Sample Mid term Exam]

 

I. ( 2pt x 12 = 24) Mark True(T) or False(F) in the blank (    ).

 

1. (  F   ) If and exist, then also exists(Conterexample : 0/0)

2. (  T  ) If has a local minimum (or maximum) at and exists, then .


3. (  T  )  Let be continuous on . Suppose and , then there exists a number in such that .

4. (  T  ) If for all , then .

5. (  F  ) If , then on (Conterexample : on )

6. (  T  ) Suppose that is continuous on the closed interval and let be any number between and , where .
Then there exists a number in such that .


7. ( F ) The most famous application of the use of hyperbolic cosine is to describe the shape of a hanging wire. If a heavy flexible cable (such as a telephone or power line) is suspended between two points at the same height, then it takes the shape of a catenary curve with equation , which uses the hyperbolic cosine. (The Latin word catena means “chain.”( )

8. ( T ) Let be a function whose second derivative exists on an open interval .  If for all in , then the graph of is concave downward on .

9. (  F   ) Let be the cost function of producing units of a certain product. Then the marginal cost is the rate of change of with respect to , that is, the marginal cost function is . The marginal cost function is   represents the cost per unit when units are produced.   ( )

10. (  F  ) If is not continuous on , then there is no such that .

11. (  F  ) If is not a continuous function on , then   is not continuous on and is not differentiable on .

12. (  F  ) Let be a continuous function on . Suppose that is continuous on and that on . Then .    ( )

 

******* [별지] Honor Calculus Spring 2013, Midterm Exam  *********

 

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher.html , http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-para.html


var('a,b,c,d')                            # 변수정의

limit(f(x), x=a)                          # 극한

limit(f(x), x=a, dir=’minus’)              # 좌극한

limit(f(x), x=a, dir=’plus’)                # 우극한

limit(f(x), x=+oo)                       # 무한대에서의 극한

limit(f(x), x=-oo)

solve(f(x)==0, x)                        # Solve 방정식 풀이

diff(f(x), x)                              # 도함수

diff(f(x), x, 2)                           # 2계 도함수

integral(f(x), x)                          # 부정적분

integral(f(x), x, a, b)                     # 정적분

plot(f(x), (x, a, b)                       # 함수의 그래프

implicit_plot(f, (x, a, b), (y, c, d))        # 음함수 그래프

find_root(f(x), a, b)                     # 근사해 구하기

var('t')                          # 변수정의 (매개변수방정식)

x=2+2*t 

y=-3*t-2

parametric_plot((x,y), (t, -10, 10), rgbcolor='red')  # 직선 Plot

The graphs of the hyperbolic sine and cosine can be sketched using graphical addition as in Figures 8 and 9.

        Figure 8                                Figure 9                                 Figure 10

 

 

Calculus I, Final Sample Comprehensive Exam

var('a, b, c, d')                   # 변수정의

limit(f(x), x=a)                   # 극한

limit(f(x), x=a, dir=’minus’)        # 좌극한

limit(f(x), x=a, dir=’plus’)         # 우극한

limit(f(x), x=+oo)                # 무한대에서의 극한

limit(f(x), x=-oo)

solve(f(x)==0, x)                # Solve 방정식 풀이

diff(f(x), x)                      # 도함수

diff(f(x), x, 2)                    # 2계 도함수

integral(f(x), x)                          # 부정적분

integral(f(x), x, a, b)                     # 정적분

plot(f(x), (x, a, b)                       # 함수의 그래프

implicit_plot(f, (x, a, b), (y, c, d))        # 음함수 그래프

find_root(f(x), a, b)                     # 근사해 구하기

var('t')                     # 변수정의 (매개변수방정식)

x=2+2*t 

y=-3*t-2

parametric_plot((x, y), (t, -10, 10), rgbcolor='red')  # 직선 Plot

f.partial_fractions(x)                 # 부분분수

I. ( 2pt x 9 = 18) Mark True(T) or False(F) in the blanks (  ).

 1. (      ) If and exist, then also exists.      

 2. (     ) The most famous application of the use of hyperbolic cosine is to describe the shape of a hanging wire. If a heavy flexible cable (such as a telephone or power line) is suspended between two points at the same height, then it takes the shape of a catenary curve with equation , which uses the hyperbolic cosine. (The Latin word catena means “chain”.)      

 3. (      ) Let be the cost function of producing units of a certain product. Then the marginal cost is the rate of change of with respect to , that is, the marginal cost function is . The marginal cost function represents the cost per unit when units are produced.        

 4. (      ) (Example 7-4-7) We always have the form of the partial fraction decomposition of the function as following;

                                 .

 5. (      ) Consider an object moving along a straight line with position function . Then the force on the object (in the same direction) is .  And the work done is defined to be the product of the force and the distance that the object moves.


 6. (      ) The average value of on the interval is defined as   

 7. (       ) The Simpson’s Rule gives a much better approximation to the exact value of the integral than does the Trapezoidal Rule or the Midpoint Rule. The Trapezoidal Rule gives a better approximation to the exact value of the integral than does the Midpoint Rule.

 8. (      ) The area of the surface of revolution obtained by rotating the curve , , about the -axis is given by         

 9. (      ) Thus the arc length of the polar curve is .




II. (3pt x 4 = 12)  State or Define. 

1. Choose 4 terminology or concept and state its meaning as much as you knows in your words.

  ① Newton’s Method ② Fundamental Theorem of Calculus ③ Definite Integral ④ Indefinite integral ⑤ Improper Integral (이상적분)  ⑥ Integration by parts  ⑦ Volume of a solid of revolution  ⑧ The Arc Length Formula  ⑨ Comparison Theorem for integral

  ⑩ Volume of a solid that lies between and ⑪ The method of cylindrical shells

그림입니다.
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원본 그림의 크기: 가로 1150pixel, 세로 82pixel

(1) 그림입니다.
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(2) 그림입니다.
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(3)그림입니다.
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원본 그림의 크기: 가로 741pixel, 세로 141pixel 

 

 


 

III. (5pt x 8 = 40pt)  Find or Explain or Fill the blanks      .   


1. (MidTerm) Use differential to approximate .

  Let . Set and .  Since , , we have       .




 


2. (Sage) Sketch the region enclosed by and find its area


 

f(x)=x-1

g(x)=5-x^2

show(plot(f(x), x, 0, 2) + plot(g(x), x, 0, 2))

print integral(     g(x)-f(x), x, 0, 2                      )

 

       그림입니다.
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원본 그림의 크기: 가로 785pixel, 세로 595pixel


3. Verify the formula    by Sage .

Proof)             

         =  =   =

Verify the above formula by Sage 

  

 

 1/2*a^2*arcsin(x/sqrt(a^2)) + 1/2*sqrt(a^2 – x^2)*x  #        

            =>  RHS= LHS                  




4. Calculate the volume of the solid obtained by rotating the region bounded by curve about the -axis.

 

(Sage)

사각형입니다.   

 128/7*pi                #




5. A bucket that weighs 5 lb and a rope of negligible weight are used to draw water from a well that is 90 ft deep. The bucket is filled with 30 lb of water and is pulled up at a rate of 3 ft/s, but water leaks out of a hole in the bucket at a rate of 0.4 lb/s. Find the work done in pulling the bucket to the top of the well.


 

        
                        (by Chain rule)
and since mass and height changes over time as given:
 

Integrate by t from 0 to 30, and substitute the values to get the total work done:

(in ft·lb) 


그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000004e80001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 515pixel, 세로 332pixel6. Calculate the total area of A part and B part marked in the graph below. Here and .

(Sage)

사각형입니다.  

 e^2 - 3.22424574744

7. (Exs 7-2-5) Write how you are going to show a formula .                                        .

 (Either by hand or Sage)

       Sage를 이용하여 공식을 증명하려는 경우는 어떤 과정을 거치는지와 명령어만 서술하면 됩니다.)


                    1/15*(15*cos(x)^4 - 10*cos(x)^2 + 3)/cos(x)^5

8. Find the length of the curve from to .

 Since implies ,

Let , then and .

     

     

       

        



IV. (6pt x 5 = 30pt)  Prove or Explain (Fill the blanks      ).


1. Show using method.

▸▹ Proof :

   [Find ]  Let



[Side Calculation]   ■   

2. Show .

▸▹ Proof :

   


3. Find     (You may use Sage in part, but I recommend you to solve it by hand.)

▸▹ Sol :

   =     



 

 

                                                                                      .

4. Verify   by Sage .

Proof)  => 


 

 

Verify the above formula by Sage 

  


     1/3*sqrt(3)*arctan(1/3*(2*x - 1)*sqrt(3)) + 1/3*log(x + 1) - 1/6*log(x^2 - x + 1) 

            =>  RHS= LHS                  



5. (Conic section) A conic section (or just conic) is a curve obtained by intersecting a cone (more precisely, a right circular conical surface) with a plane. The three types of conic section are the hyperbola, the parabola, and the ellipse. The circle is a special case of the ellipse. Sketch (state) what you know about the process of forming the formulas of hyperbola, parabola, and ellipse.

 

●  e 의정의

 유리수를 제외한 수 중에서 맨 먼저 접하는 상수는 대체로 원의 둘레나 넓이에 대한 상수, 즉, 원주율이다. 수많은 자연현상에서 원주율이 발견되는데, 이에 못지않게 자연현상, 경제현상에서 자주 발견되는 중요한 상수가 바로 자연상수 e다. 이 상수는 특히 미적분과 관련해서 고교 과정에서 갑자기 툭 튀어나오는 바람에 그 의미를 제대로 알기가 어려운 경우가 많다. 미적분학을 제대로 알기 위해서도 반드시 거쳐 가야 할 상수 e를 이번 수학 산책에서 다루고자 한다. 이를 위해 지수 개념을 약간 복습해 보기로 하자.

(네이버 캐스트 수학산책 참조:  http://navercast.naver.com/contents.nhn?rid=22&contents_id=2285)

 

[6-10장 학생의 수업내용 요약]


6장. Applications of Integration by 우시명 군,

6.1 Areas between Curves


 
곡선들 사이에 있는 영역의 넓이는 구하여보는 장입니다. 주어진 영역 [a, b]에서 연속인 두 함수가 있다면, 위에 있는 함수식에서 아래에 있는 함수식을 빼주어 얻어진 식을 a에서 b까지 적분한 것이 두 곡선사이의 넓이라는 것이 이 장의 핵심입니다.

6.2 Volumes


 
부피를 어떻게 구할껀지에 대하여 설명하고 있는 장입니다. 부피가 면적을 적분한 것이라는 것을 부피를 어떤축에 수직인 면으로 잘라 축(x)의값에 따른 면적을 함수(A(x))로 나타냈을 때 그것을 적분하면 부피가 된다는 것을 통해 보이고 있습니다.

6.3 Volumes by Cylindrical Shells


  6.3
장에서는 회전체의 부피를 구하는 방법을 말하고 있습니다. 회전체를 자르면 원이 나온다는 것을 이용해서 축에 따른 면적을 쉽게 얻어낼 수 있습니다

6.4 Work 


  W = Fd ( work = force * distance )
이므로 일은 힘곱하기 힘이 가해진방향으로 이동한 거리라는 것을 알 수 있습니다. 이때 대부분의 힘은 일정하지 않고 힘의 작용은 정확한 위치에 의존하여 바뀌게 되므로, 힘을 이동거리에 따른 함수로써 표현할 수 있습니다. 따라서 a에서 b까지 어떤 물체가 이동할때 어떤 위치 x에서의 힘이 F(x)로 표현이 되고 일(W)a에서 b까지 F(x)를 적분한 값이 됩니다.

6.5 Average Value of a Function


 
말그대로 함수의 평균값을 구해보는 장입니다. y(1), y(2) ... , y(n) 이 있을 때, y(average) = y(1)+y(2)+...+y(n) / n 이라는 것을 알고 있으므로 이것을 함수에서 적용하면(a에서 b까지를 n등분하여서 위와같은 절차로 구하고 n을 무한대로 보낸다) a에서 b까지에서 함수 f(x)의 평균값이 f(x) a에서 b까지 적분한 것을 b-a(적분구간로 나눈 값이 된다는 것을 알게된다.

  

우선 앞서 5,6장에서 적분의 정의, 응용(회전체, 일, 평균값)에 대해 다루었다면



7장 요약 by 최규한 군



7장에서는 좀 더 다양한 형태의 함수에 대하여 적분을 어떻게 적용시킬 수 있는가 그 기술들을 알려주고 있습니다.


소단원들을 살펴보면 부분적분, 삼각적분, 삼각치환적분, 부분분수의 적분, 적분공식 및 활용, 근사적분, 이상적분들을 다루고 있습니다.

 

7.1~7.6의 내용들은 고등학교 수학에서 배우고 다뤄왔기 때문에 조금만 예습한다면 많은 내용들을 이해할 수 있을 거라고 생각합니다.

 

따라서 7장에서는 " 7.7 근사적분, 7.8 이상적분 "에 대한 개념을 주의깊게 살펴봐야할 것 같습니다.


 '근사적분'은 적분하기 어렵거나 혹은 적분이 불가능한 함수에 대하여 기존 함수와 근사한 형태의 함수들을 이용하여 적분하는 개념입니다. 교재에 보시면 Trapezoidal Rule, Simpson's Rule 과 같이 근사한 형태의 1차식, 2차식 함수들을 이용하여 적분해낼 수 있습니다.


 '이상적분'은 글자 그대로 알 수 있듯이, 기존의 적분과는 다른 형태의 적분을 뜻합니다. 좀 더 수학적으로 다시 설명하자면, 처음 적분을 정의할 때는 적분구간도 유한하고 함수의 발산을 고려하지 않는데 이를 벗어난 형태의 함수들을 적분하기 위해서 새롭게 도입한 것이 이상적분 개념이라고 보시면 되겠습니다.


즉, 이상적분이 필요한 함수는 구간의 길이가 무한하거나 혹은 그 구간에서 함수가 발산하는 경우를 말합니다.


교재에 보시면 무한한 구간에 대하여 발산하는 지점, 점근선 등을 고려해서 구간들을 나눈후 적분 및 극한을 취해주는 형태입니다.

 

앞서 말한 근사적분과 이상적분에 대한 개념들은 교재와 온라인강의 그리고 교수님과의 수업을 통하여 더욱 깊은 이해를 하시기바랍니다.


8장 Further Applications of Integration (적분의 활용) by 계성곤 군,

  



8단원에서는 앞에서 배운 적분을 기본으로 하여 더욱 확장된 활용을 배우게 됩니다.

  


8.1 Arc Length(호 길이)


고등학교 때 배웠던 곡선의 길이 공식을 다시 배우게 됩니다. 우선 곡선의 길이를 구해보고 그 다음 곡선의 길이를 함수로 나타내보게 됩니다.


8.2 Area of a Surface of Revolution(회전체 겉넓이)


회전체의 겉넓이를 적분을 이용해서 구하는 방법을 배우게 됩니다. 식의 꼴이 앞서 6장에서 배운 Cylindrical Shells의 식과 유사하지만 Cylindrical Shells의 경우는 부피를 구하고 이번의 경우는 겉넓이를 구하게 됩니다. 과거에는 평면의 넓이만을 구할 수 있었는데 이제는 곡면의 넓이도 구할 수 있게 되었습니다.(비교 ;


8.3 Center of Mass


질량 중심과 파푸스의 무게중심정리에 대해 배우게 됩니다. 현실에서 사용되는 식은 대부분 매우 복잡한 식이므로 계산이 매우 어렵지만 식의 평균값을 구하여 계산하면 비교적 쉽게 계산이 가능하므로 평균값은 매우 중요한 요소가 됩니다. 마찬가지로 물체의 질량에서도 현실의 경우 물체의 각 부분마다의 밀도가 일정하지 않으므로 계산이 매우 어렵게 됩니다. 이 물체의 질량을 대표해줄 값이 필요한데 이것이 바로 질량중심이 됩니다.


파푸스의 무게중심정리를 이용하게 되면 여러 번의 계산이 필요한 것이 간단히 나타내져서 쉽게 답을 구할 수 있게 됩니다.


8.4 Differential Equations


미분방정식은 미적분 중 가장 중요한 부분 중 하나입니다. 간단하긴 하지만 의미있고 중요한 미분방정식들을 배우게 됩니다.


Chapter 9    by (문지호 군),

Infinite Sequences and Infinite Series

무한수열과 무한급수

 

해석학의 기초가 되는 수열과 급수에 대한 내용을 epsilon-delta정의로 시작하면서 대학수업의 수준에 맞게 다룸과 동시에 미적분학에 중요하게 응용되는 Taylor, Maclaurin Series까지 다룬다.

 

9.1 Sequences and Series

이 절에서는 수열과 급수의 정의와 수열의 수렴의 epsilon-delta정의, 그리고 수렴에 관련된 몇 가지 정리를 배운다.

Exercise에서는 고등학교에서 다루던 간단한 수열문제를 SAGE를 응용해 해결하고 순환소수에 관한 문제도 다룬다.

 

9.2 Tests for convergence of Series

급수의 수렴여부를 판정하는 급수 판정법을 배운다.

The Integral Test : 수열을 함수의 자연수 항으로 정의해 그 함수의 적분의 결과로서 급수의 수렴여부를 판단한다.

p-series Test : 수열 1/n^p 이 있을 때 이 수열의 급수는 p>1일 때 수렴하고, p<=1 일 때 발산한다.

The Comparison Test : 고등학교 때 배웠던 비교판정법과 동일하다.

The Limit Comparison Test : 두 양항급수가 있고 수열의 비가 양수로 수렴할 때 두 급수의 수렴과 발산은 필요충분관계에 있다.

교재에 나와 있지 않은 내용이지만 중요한 것으로 Ratio Test, Root Test 등이 있다. 이는 절대수렴여부도 판정할 수 있기 때문에 다음절에 나온다.

 

9.3 Alternating Series and Absolute Convergence

교대급수와 절대수렴에 대해 다룬다. 교대급수는 수열의 각 항의 부호가 교대로 바뀌는 수열이고 절대수렴이란 원 수열의 절대값으로 새로운 수열과 급수를 정의해 그 급수가 수렴할 때를 의미한다. 급수가 절대수렴이면 수렴한다는 정리와 Ratio Test, Root Test를 다룬다.

Exercise에서는 1, 2, 3 절의 결과를 이용해 다양한 급수의 수렴성을 판정한다.

 

9.4 Power Series

멱급수의 정의와 응용을 배운다. 멱급수는 수렴판정이 간단하고 미분과 적분이 간단하기 때문에 다음절에서의 내용으로 확장되어 중요하게 사용된다.

 

9.5 Taylor, Maclaurin, and Binomial Series

멱급수를 함수로 나타냈을 경우 미분계수를 사용해 각 항의 계수를 구할 수 있다. 반대로 이를 응용해 모든 함수를 멱급수로 근사할 수 있는데 이를 Taylor Series라고 한다. 0을 기준으로 한 Taylor Series를 Maclaurin Series라고 한다. 초월함수의 Taylor전개를 이용해 pi와 e 값을 무한급수로 나타낼 수 있게 된다.

관련링크

http://en.wikipedia.org/wiki/Sequence

http://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathematics
)
http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series

10장 Parametric Equations and Polar Coordinates  by 배성준


  10-1 : Parametric Equations 우리가 배워온 방정식들과는 다른 예를 들어 y의 변수로복잡하게 있는 식 또는 x,y가 각각 복잡한사인,코사인t로 치환되어있는 함수의 그래프를 그립니다.


10-2 : 여기서는 위에서 그려본 Parametric Equations를 미적분 하는 것을 배웁니다.


10-3 : Polar Coordinates  극 좌표의 표현법과 극좌표로 주어진 식의 그래프 그리기를 배웁니다.


10-4 : 극 좌표로 그린 복잡하게 꼬여있는 함수의 미분,적분을 배웁니다.


10-5 : Conic Section 원,쌍곡선,포물선,타원들의 각각의 특징을 배웁니다.


10장을 살펴보면서 이렇게 복잡하고 서로 돌며 엉켜있는 이런 함수들을 어떻게 예전에는 그렸는지가 궁금합니다.  지금은 컴퓨터 프로그램을 이용하여 그릴 수있지만 과거에는 다른 그리는 방식이 존재하는 지의 대해 궁금합니다.  왜냐하면 컴퓨터로만 그리면 그런 방식에 대해서 알지 못한채 넘어갈수 있기 때문입니다.


Final Comment after you finished this PBL report (자신이 본 강좌에서 배운 내용 또는 이 PBL 보고서를 쓰면서 느낀 점은?)


<3월>

       어떤 사람이 문제를 풀면 또 다른사람이 그걸 고치고 하면서 점점 완벽한 정답에 수렴해가는 모습들이 인상 깊었습니다.



<4월>

       제가 글의 제목형식을 제안한 후 게시판의 사용자 대부분이 정해진 형식을 지켜서 글을 쓰게 된 것을 보고 굉장히 기분이 좋았습니다. 이로인해 ‘나 하나쯤 덜해도’ 가 아니라 ‘나 하나라도 조금만 더 열심히 하면’ 정말 많은 부분을 바꿀 수 있겠다고 생각했습니다. 여태까지는 주 전공과목의 공부 과제와 발표들에 밀려 중간고사 전에는 많은 신경을 쓰지 못해서 중간고사 PBL보고서의 성적이 굉장히 좋을 것 같지는 않습니다. 하지만 대다수의 1학년과 같이 듣는 수업이고, 저는 한 번 다 배운 내용이기 때문에 중간고사 이후에는 쉬운 문제를 풀어 분량을 때우는 것이 아니라 1학년 학생들이 푼 문제를 조금 더 열심히 고쳐주고, 저는 더 심화된 내용의 문제를 제시하는 역할을 하고 싶습니다. 그리고 그래야만 제가 자기소개서에 썼던 이 과목을 수강하는 목적을 달성할 수 있을 것 같습니다.


<6월>

      PBL보고서를 쓰며 느낀 점은 확실히 학기초에 비해 사고방식이나 어떤 문제를 대할때의 태도, 그리고 답안을 작성할 때의 정확도가 많이 개선되었다는 점입니다. 하기 초에는 초안을 작성하면 정말 만이 고쳐야 했습니다. 마침표도 다 누락되고 ■,⏨이 두 기호도 마지막에 넣지 않았으면 심지어 저 둘을 구분하지 못했습니다. 또 문제를 풀고 그것을 어떤 사람이 읽었을 때 확실하게 이해되도록 논리적으로 전개하지 못했고 답안의 제일 마지막에 “Answer:“ 라고 쓴 후 답을 마지막으로 써 주는 것이 얼마나 중요한 일인지 몰랐습니다. 하지만 한 학기동안 고급미적분학 수업을 따라가며 이런 수많은 것들을 고치게 되었습니다. 학기초에는 별거 아닌줄 알았던 것들이지만 만약 제가 앞으로 사회에 진출하여서 어떤 문제에 대한 답을 제시할 때 이번학기를 다니지 않고 답을 제시한다면 그 답은 아무도 읽지 않을 것 같습니다. 결론적으로 이번 학기에 단순한 수학적 지식이 아닌 굉장히 중요한 것을을 배운 것 같습니다.


이번 고급미적분학1을 들으면서 교과서에 나오는 수학적 개념들은 예습 및 교수님의 수업을 통해 완벽하지는 않더라도 충분한 이해를 할 수 있었습니다. 강의의 특성상 QnA를 통해 다양한 활동이 이루어지고 있고 그렇기 때문에 이 수업을 충분히 활용하기 위해서는 solve, revise, finalize 와 같은 과정에 참여했어야 했지만 그러지 못했다는 것을 인식하고 있습니다. 비록 교과서 내용을 간단하게 이해하는 것에는 예습과 교수님의 수업이 있었기에 큰 문제가 없었습니다. 다만 수업 이외에 이루어지는 PBL 과정을 효과적으로 사용하지 못하였다는 것이 가장 큰 문제점이었던 것 같습니다. 이 시점에서 정말 냉철하게 개인에 대한 평가를 하자면, PBL 수업방식을 진행하는데 제 개인적인 노력과 적극성 그리고 실력이 부족하였고, 차라리 미분적분학의 일반 과정에서 수업을 듣고 과제를 했다면 그나마 저에게는 최선의 방법이 아니었나 생각해봅니다. 하지만 이번 강좌는 ***의 열의와 노력이 눈에 보이는 강좌였기 때문에 감사드리고 열심히 참여하는 학생들에게 박수쳐드리고 싶습니다.


이번 Final PBL 보고서를 쓰면서 한 학기 동안 제가 풀었던 문제, 질문 그리고 제 생각이 달린 comment들을 되짚어 보게 되었는데요. 한 학기동안 학기 초에 비해 많이 성장한 제 모습을 볼 수 있었습니다. 비록 처음 강의를 들었을 때는 이해하기 힘들었고 과제조차 풀어내기 힘들었습니다. 그러다가 최근 들어서는 교재안에 나와있는 개념들을 더 넓게 이해 할 수 있게 되었을 뿐더러 기존의 문제들을 한 발 더 나아가 변형하여 풀어낼 수 있을 정도가 되었습니다. 기존의 미적분학에 대한 지식을 한층 더 다양한 방면으로 그리고 한층 더 심도있게 배울 수 있었던 의미있는 시간이라고 저는 생각합니다. 많은 것을 느끼고 많은 것을 경험 할 수 있었던 고마운 한 학기를 정리하는 Final 보고서 였습니다.


미적분학에 대해 많은 내용을 배우게 되었습니다. 고등학교 때 배우지 않은 증명법이라던가... 기존에 알지 못하던 새로운 내용을 배우게 되었습니다. 또한 내가 알지 못하던 풀이방법을 다른 사람이 공유해주기도 하고, 부족한 점이 있으면 채워주는 revise 방법은 혁신적인 것 같습니다. 또 PBL 보고서를 쓰면서 저의 부족한 점을 알게 되었고, 앞으로는 이런 점들을 메꾸면서 더욱 완벽한 PBL 보고서를 쓸 것입니다. 또한 벌써 기말고사가 다가오면서 PBL report를 쓰면서 한 학기동안의 저의 생활을 반성하는 계기를 **님 덕분에 가질 수 있었습니다. 정말 sage 프로그램은 수학을 이해하는데 여러모로 유용한 것 같습니다.


       (중간PBL)       지난번 3월 PBL 보고서 때도 많은 것을 느꼈고 반성하고 다짐했었지만 이번 중간 PBL 보고서 또한 작성하면서 여러 가지를 느끼고 반성하며 새로운 다짐을 할 수 있었습니다.  우선 중간 PBL이 생각보다 빨리 다가와서 미처 만족스럽게 대비하지 못 한 게 아쉽습니다.  3월 PBL에서 열심히 참여하려고 했지만 생각 외로 시간을 쓰지 못하여 원했던 만큼의 준비를 하지 못했습니다.  이는 또 팀원과의 활동, 즉 조별 과제하는 것에도 영향을 주었습니다.  3월PBL 때와는 다르게 이번에는 새로운 조를 배정 받았습니다.  그래서 저는 이번 중간 보고서 쓰는 날 까지 팀원과의 활발한 수정작업으로 많은 성과를 내겠다고 생각했었습니다.  그러나 서로 과제를 내는 시기를 놓치게 되어서 서로가 서로에게 도움을 주기 전에 이미 모든 도움을 받아 어쩔 수 없이 따로 활동을 해야만 했습니다.  사람은 문제점을 발견하고 이를 고쳐나가는 것이 중요하다고 생각합니다.  비록 이번에는 조별간의 팀원 간의 적극적인 협동이 되진 못했지만 다음번에는 꼭 팀원과 많은 활동을 할 것이며 그렇게 되고 싶습니다.  다음으로 3월PBL보고서과 이번 보고서를 쓰면서 알게 되었는데 수학문제는 열심히 풀지만 기타 다른 활동, 예를 들어 QnA상의 질문을 올리거나 여러 정보를 읽고 코멘트를 다는 활동이 적다는 것을 알게 되었습니다.  이를 통해 단순히 문제를 잘 푸는 것보다는 여러 지식을 쌓고 알아가는 게 중요하다고 다시 생각하게 됬습니다.  또 지금 까지는 한 번 들어가서 읽어 보기만 하고 막상 쓸 말이 없어서 그냥 나오거나 코멘트를 다는 것이 왠지 부끄러워 달지 않았지만 이제부터라도 여러 의견을 코멘트로 달아야겠다고 생각했습니다.  내 의견이 남들에게 이상하게 보일지 것 같다는 생각은 이제 접고 서로 의견을 내고 상충하며 좀 더 발전해가는 모습을 보여야겠습니다.


(Final PBL)  이 수업에 처음 들어 온지가 엊그제 같은데 벌써 1학기를 마무리 해가고 있습니다.  저는 개인적으로 일반 미분적분학이 아닌 이 고급미분적분학을 들을 수 있어서 다행이었다고 생각합니다.  여러 가지 좋았던 점이 있엇지만 우선 즐기면서 배울 수 있었다는 것 같습니다.  수학을 배운다면 고등학교때 하던 방식이 떠오르는 데요 그 때는 문제집 안에서 수많은 문제를 풀고 유형을 외우고 하는 수업을 하였습니다.  종이에 써져 잇는 복답한 수학은 이해하기도 힘들 었고 또 이해하기 위해 많은 시간을 들여야 했습니다.  하지만 이 수업에서는 개념을 그림이나 여러 다양한 관련 자료를 통해 쉽게 이해할 수 있었고, 보면서 이해하는데 즐거움도 느낄수 있었습니다.  또한  수강생이 적은 것도 하나의 좋았었던 점이었습니다.  대학교의 주요과목 수업을 보면 대게 50~70명 많게는 백 명이상의 학생들이 한 강의실에서 수업을 듣는데, 우리 수업은 그보다 훨씬 적은 수의 학생들이 수업을 들었습니다.   학생수가 많으면 그 수에 압박되고 과연 내가 이렇게 많은 학생중에서 잘 해낼수 있을지 걱정부터 됩니다.  그러면 과제제출 할 때에도 시험보거나 발표를 할 대에도 괜히 소극적이되고 교수님과의 시간을 갖는 일은 없을 것입니다.  이 수업이 다른 수업보다 훨씬 값졌던 이유는 아마 교수님과의 면담을 가질수 있엇던 것일 것입니다.  수업진행 초기에는 저의 시간표가 안 맞아서 교수님의 office hour에 한번 도 참석을 하지 못할 뻔했는데 교수님이 직접 시간이 되게끔 바꾸어 주셔서 몇 번 찾아가 여러 가지 조언을 얻을 수 있엇습니다.  저는 개인적으로 여러 가지 이야기를 듣는 것을 좋아합니다.  그것이 공부와 관련이 있든 아니면 사회적인 상식이든 교훈이든 상관없이 흥미를 갖고 듣고 배울 수 있습니다.  교수님이 여러 가지 자료를 올려주셔서 많은 것을 배울 수 있엇습니다.  예를 들어 색다른 교육법이라든지, 교과서에 없는 푸리에 급수 등을 배울 수 있었습니다.  한가지 아쉬운 점은 제가 한번 열심히 할 때는 열심히 하지만 평소에 게으른 경향이 있어서 모든 자료를 다 보지 못 한 점입니다.  그럼에도 불구하고 이 수업을 통해  필수적인 수학적 지식을 배울 수 있었고 추가로 다른 상식들과 다양한 교훈 등 많은 것을 배울 수 있었습니다. 여러 가질 생각 없이 나열해 놨지만 간단히 말하면 이번에 고급미분적분학을 들을 수 있어서 다행이었다는 것입니다.  다른 수업들 중에서 가장 독특했고 기억에 남는 과목입니다. 마지막으로 이런 수업을 들을 수 있게 도와주신 ** 님께 감사드립니다.



        3월에 배운 내용 중에 가장 기억에 남는 것은 를 이용한 극한의 엄밀한 정의입니다. 그리고 아직 4월이 다가진 않았지만 4월내에 배운 것 중에 가장 기억에 남는 것은 Newton's Method입니다. Newton's Method은 확실히 배워오던 것과는 조금 다른 성격을 가지고 있었습니다. 지금까지 수학적으로 배운 내용들은 모두 딱딱 떨어지는 것만이 나왔는데 Newton's Method는 점점 근에 다가가는 근사의 방법을 취했다는 것이 새로웠습니다. 그리고 알고리즘을 따라 그 연산을 계속해 간다는 것이 프로그래밍적인 성격을 띠고 있는 것 같았습니다.

        그 후에 배운 적분의 활용 부분은 실생활 문제와 많이 연관이 되는 부분 이었는데, 이것들은 대부분 고등학교에서 중점적으로 다루던 부분이라 큰 어려움 없이 따라갈 수 있었던 거 같습니다. 현의 길이를 구하는 문제, 어떤 한 선을 축으로 해서 하나의 함수를 돌려서 얻어지는 회전체의 부피를 구하는 문제들이 가장 기억에 남습니다. 그 뒤에는 수렴발산의 판정에 대해서 심도 있게 다가가는 시간이 되었는데, 이 때문에 수렴판정에 대해서 시야가 넓어졌습니다.

        마지막은 조금은 어려웠던 멱급수, 그리고 그것들의 응용인 테일러급수, 맥클로린급수 (테일러급수의 하나)였습니다. 이것들을 통해서 어떤 함수든지 상관없이 우리가 다루기 편리한 다항함수의 형태로 변환이 가능하다는 것을 알게 되었고 다룰 수 있게 되었습니다. 이 가운데 , 로 표현한 오일러등식을 확인도 해볼 수 있어서 참 유익했습니다.


        여태까지 했던 내용들을 총 정리를 해보았는데 일단은 정말 뿌듯하다. 끝나고 무언가 남기는 것이 있는 것 같아서 기분이 좋다. 이번 학기 동안 배운 내용은 중간 PBL 보고서를 쓸데보다 확실히 양이 방대해져서 그런지 쓰는데 시간도 많이 들고 다시 느낀 점 등을 적어보려니 힘이 들었습니다만 했던 것을 다시 봄으로써 깨닫는 것도 많습니다. 하나의 예로 이번에 느낀 바를 쓰면서 저번과 크게 다르지 않을 줄 알았는데 막상 써보니 새롭게 느끼게 된 게 많습니다. 저번에는 sage 프로그램을 통해서 얻은 변량의 변화에 따른 결과값의 변화에서 많은 것을 느낀 반면에 이번에 느끼게 된 것을 쓸데에는 주로 풀이의 논리성과 엄밀성에 대해서 먼저 생각이 났습니다. 이 보고서를 후에 다시 보면 한 번 더 다시 생각하게 되고 그 때 또 다른 새로운 시각으로 새롭게 볼 수 있을 것 같습니다


처음에는 교수님께서 시키신 일들이 부담스럽고 귀찮게 느껴졌습니다. QnA를 통해서 동료들과 문제에 대하여 피드백을 주고받기를 원하셨고, 종종 아이캠퍼스 게시판에 수학과 관련된 자료를 올려 주시기도 하셨습니다. 지금 와서 보니 다 저에게 피가 되고 살이 되는 것들이었습니다. 모르는 것을 물어보기도 쉽고, 남들이 모르거나 틀린 것을 제가 고쳐주기도 할 수 있었습니다. 서로 협동하여 공부하는 것이 교수님에게 마냥 강의만 듣는 것보다 더 배울 것이 많았습니다. 또한 이렇게 활동이 많은 강의는 저에게 안성맞춤이었습니다. 남들보다 더 잘 하려면 남들보다 더 뛰어나거나 그렇지 않다면 남들보다 더 많이 해야 합니다. 저는 뛰어난 학생은 아니기 때문에 잘하기 위해서는 더 많이 노력해야합니다. 그런 저에게 이 강의는 더 좋은 것 같습니다. 앞으로도 교수님과 같이 배우는 동료들에게 더 많이 배울 것입니다. 이렇게 좋은 동료들을 만나게 해주신 교수님께 감사드립니다. 수업참여와 적극성을 이끌어내는 PBL수업방식은 내게 정말 뜻 깊고 유익한 수업이었습니다.

교수님이 새로 만들어주신 Sage single cell 의 경우 매우 유용하게 쓰고 있습니다. 전에 친구가 Newton's Method에 관한 문제를 저에게 물어봤는데 single cell을 이용하니 정말 빠르고 간편하고 알아보기도 쉬웠습니다. 문제를 풀 때 처음부터 명령어를 이용해서 하려고 하면 조금 어렵고 차라리 wolframalpha같은 프로그램을 쓰는 게 더 편했었는데, Single Cell로부터 각 변수의 변화에 따른 그래프의 변화를 볼 수 있어 굉장히 편리했습니다. 또 큰 변화중 하나가 바로 발표였는데요. 발표를 준비하면서는 주어진 문제를 단지 풀어내는 것이 아니라 문제의 원리를 파악하고 있어야 하기 때문에 그것을 통해서 수업시간에 배운 개념들을 다각도로 생각하고 적용하는 능력을 기를 수 있는 것 같습니다. 다른 친구들의 미적분 수업이야기를 들어보면 단조로운 강의에 단순한 문제풀이식의 숙제로 단순히 답을 베끼는 일이 다분하며 수업을 듣는게 유익하다고 생각되지 않는다고 합니다. 그런 면에서 교수님의 수업은 능동적이고 변화를 추구하는 수업으로 얻을 수 있는 게 미적분에 대한 지식뿐만이 아니라 그에 부수적인 지식들도 함께 얻어가는 것 같습니다. 또한 뒤쪽 단원으로 감에 따라 Sage의 필요성을 체감할 수 있었는데 만약 제가 다른 수업을 들었다면 손으로 이것들을 풀고 있을 것을 상상하니 좋은 도구가 있음에도 쓰지 않는 것이 참 안타까웠습니다.

미분과 적분의 방법과 응용법, 실생활에 적용하는 법까지 배웠습니다. 고등학교 때 배운 미분적분에 더하여 리만합을 이용한 방법, cylindrical shell method를 이용한 적분법, 매개변수로 된 함수의 표현법, 하이퍼볼라 함수, 곡선의 길이를 구하는 법, 회전체의 겉넓이를 구하는 법, 엡실론 델타를 이용하여 극한값 증명하는 법 등 실생활에 적용될 수 있는 여러 미적분방법을 배웠습니다. 더불어 Sage를 이용하여 쉽고 편하게 함수를 표현하고 문제의 답을 구하는 법을 배웠습니다. 고급미분적분학을 배우면서 약간은 일반미분적분학보다 어렵게, 많이 배웠지만 이게 나중에는 훨씬 도움이 되리라 생각하고 있습니다.

한 학기동안 고급미적분학1에서 배운 점을 되돌이켜 볼 때, 가장 인상깊은 점은 무엇보다도 수학적 도구 Sage와의 만남일 것이다. Sage는 정말 도움이 많이 되는 도구였고, 수업을 들으면서 많은 도움을 받았다. 교수님께 들었던 미적분학에 대한 내용에 더불어, 수업 중간 중간에 들었던 여러 관련된 이야기, 왜 미적분학을 배우는가, 수학사 등을 들었던 것이 인상 남는다. 그리고 아이캠퍼스의 게시판을 사용하면서, 여러 학생들이 토론하고 답하고 하는 것의 효율성을 몸소 체험할 수 있었다.

중간고사 때까지는 Sage의 유용성을 알았으며, 그 이후부터 지금까지 수업을 통해 알게 된것은 Sage의 한계였다. Sage는 만능이 아니란 것을 문제를 풀어보면서 느꼈고, 우리가 앞으로 어떤 방향으로 학습해 나가야하는 지를 또한 배웠다.

  고급미적분학 1 의 한 강의가 끝났다. 끝내면서도 이전처럼 부족한 점을 완전히 없애지 못해서 아쉬움이 남는다. 우선은 배울 수 있는 것을 최대한 배우지 못한 느낌이다. SAGE의 활용도 완전히 익숙해지지 못했고 그 제반원리에 대해서는 모르는 것이 많다. 이후에 Python을 배우면 이해에 도움이 될지도 모르겠다.


  또한 뒷부분의 급수판정이나 응용 그리고 미분방정식에 관한 부분은 부족한 점이 많은 것 같다. 특히 10단원 매개변수로 표현된 함수와 극좌표로 표현된 함수의 미적분에 관한 부분은 내 발표 내용이 아니었고 수업에서 깊이 다루지 않아 더 공부가 필요할 것 같다. 이러한 부분을 보완하면서 기말고사를 준비하면 될 것이라고 생각한다.

  고급미적분학 강의는 기존의 내 생각과는 전혀 다른 강의였다. 기존 미적분학을 더 깊고 다양하게 공부할 것이라는 내 예상과 달리 Blended Learning이라는 새로운 형식과 SAGE의 활용과 Computational thinking 을 강조한 강의는 처음이었다. 몇 가지 장단점이 있는 것 같지만 많이 배울 것이 있었다고 생각한다.


  가장 아쉬운 것은 문제가 손과 머리만을 사용해도 풀 수 있는 것이 대부분이라 SAGE를 사용한 Computational thinking에 익숙해지는 데는 시간이 모자랐던 것 같다. Computer에 특화된 문제를 좀 더 많이 다루었으면 SAGE 라는 도구의 의미를 더 알 수 있었을 것 같다. 다만 복잡한 행렬계산을 수행하는 데에는 많은 편리를 보았다.


Sage의 유용성을 또 다시 알 수 있었다. 그렇지만 Sage 역시 그 자체가 만능이 아니라는 것도 알게 되었다. 만능이 아니기 때문에 Sage라는 수학적 도구를 이용하여 최대한의 효율을 낼 수 있도록 하는 방법을 터득해야 할 필요성을 느꼈다. 고등학교 때 까지 배워온 수학을 바라보는 관점을 바꿀 수 있는 계기가 된 수업이었다.

이번 물리실험 과목에서 문제를 해결할 일이 있었는데, Sage를 통해 손쉽게 해결할 수 있었다. 현실문제를 그래프로 옮기고 해를 구해야하는 문제에 직면하게 되었을 때, 이 수업을 통해 배운 내용이 큰 도움이 될것이라 생각한다. 다른 사람과는 다른 경쟁력을 갖출 수 있을 것이라 예상된다.

비록 우연하게 고급미적분학 수업을 듣게 되었지만, 듣게 된 것을 정말 행운이라 생각합니다. 이 수업을 통해 수학을 왜 배우는지 왜 배워야하는지에 대한 이유를 알게 되어 정말 기쁩니다. 더욱이, 지금 배운 내용들이 저에게 큰 경쟁력이 될 것이라 생각하니 정말 기쁩니다.

얼마 전 공학용 계산기를 구매했습니다. 놀랍게도 Sage의 기본언어가 보였습니다. 학우들은 계산기에 SYNTAX ERROR를 잘 이해 못하는 것 같았습니다. 저는 세이즈를 이용하면서 시행착오로 그 오류가 무엇인지 단번에 알 수 있었습니다. 그 때 배움에 대한 기쁨을 느꼈습니다. 최근 고등학교 때 수학공부를 하던 제 모습을 돌이켜보면 왜 그렇게 속도와 양에 집착했는지 모르겠습니다. 무조건 많은 문제를 여러 번 풀려고 하다가 욕심만 앞서 힘들어 했었습니다. 올해 4월 까지도 그렇게 생각했습니다. 그러나 세이즈에 익숙해지고 PBL 보고서를 쓰면서 그게 아닌 것 같다는 판단을 내렸습니다. 그 덕분에 실제로 새로 배우는 것에 집중할 수 있었고 그게 효율적인 공부법이란걸 알았습니다.  세이즈만큼 이 수업에 핵심을 이루는 것은 아이캠퍼스(Q&A)라고 생각합니다. 제가 푼 문제를 친구가 교정을 보고 친구의 문제를 제가 교정하는 것은 정말 새로운 공부 방법입니다. 친구의 앎을 어깨 너머로 배우는 것은 새로운 깨달음의 기쁨이 있습니다.

  한 학기동안 PBL 방식의 수업을 들으면서 느꼈던 점은 Q&A에서 세 단계(일반적으로)의 과정; Solved-Revised-Finalized을 통하여 문제를 푸는 것의 장점들로 인해 더욱더 깊게 탐구해보고 배웠던 것들이 많았던 것 같습니다. 꼭 수학과 관련된 것만이 아닌 다른 사람들과의 의견 교류법에 대해서도 배울 수 있었던 시간인 것 같습니다.

이번에는 저번과 다르게 조를 편성하여 학습했던 것이 색다른 점이었습니다. 이 수업에서 조를 편성하기 이전에 다른 수업에서 팀별 프로젝트를 한 적이 있었는데 제대로 활동이 되지 않았었습니다. 그래서 처음에 조를 짠다는 것이 매우 꺼려졌습니다. 게다가 또 한 팀원은 아예 연락조차 되지 않아 매우 불안했습니다. 하지만 다른 팀원인 김민수 군이 연락도 잘 되고 잘 활동해주어서 매우 수월했습니다.


수업 종강을 하면서 많은 성취감을 느낄 수 있었습니다. 우선 일반 미분적분학 수업과 다르게 sage라는 tool을 사용할 수 있게 되어 차별화가 된 것 같습니다. sage를 처음 쓸때는 코드도 잘 모르겠고 해서 굉장히 어려웠지만 한학기동안 쓰다보니 많이 익숙해졌고 편하게 쓸 수 있게 되었습니다. 앞으로 전공이나 그 이후에도 복잡한 계산이 나왔을 때 간단히 핸드폰으로 계산을 할 수 있을 것이라 예상합니다. 고등학교 때에 결코 해보지못한 블랜디드 수업을 처음 해본 것도 큰 경험이라 생각합니다. 사실 한학기동안 고급미분적분학을 들으면서 힘들긴 했지만 힘들었던 만큼 종강을 하고 나니 많은 성취감을 느낄 수 있었던 것 같습니다.


그림입니다.
원본 그림의 이름: sglee-2-a.gif
원본 그림의 크기: 가로 319pixel, 세로 431pixel               End of the First Semester

  

 <Lectures on Calculus 1 - 미적분학 with Sage>


http://matrix.skku.ac.kr/Sage-Calculus/Web-Cover/

                      (2013 Spring Calculus with Sage Lectures (Youtube 동영상 강의)


1.1 History of Calculus : http://youtu.be/ODfMaHgIhAc

Calculus with Sage Week 1 how to manage our class Review : http://youtu.be/XWEQFlv4jKc

 


Chapter 1. Functions http://youtu.be/cl8GqIWIRD0   (동영상 강의)


1.1 Functions and its graph  (문제 풀이)

1.2 Symmetry (문제 풀이)

1.3 Common Functions (문제 풀이)

1.4 Translation, Stretching and Rotation of Functions (문제 풀이)


1.5 A Few Basic Concepts


 


Chapter 2. Limits and Continuity


2.1 Limits of functions : http://youtu.be/VBCeAllP1M0  (동영상 강의)

2.2 Continuity : http://youtu.be/zGxx3PUCTnM  (동영상 강의)



Chapter 3. Theory of Differentiation

3.1 Definition of Derivatives, Differentiation : http://youtu.be/A-vDsF9ulTs

3.2 Derivatives of Polynomials, Exponential Functions, Trigonometric Functions, The product rule: http://youtu.be/XXMnCESesfQ

3.3 The Chain Rule and Inverse Functions : http://youtu.be/HfScHEsPfKI


3.4 Approximation and Related Rates : http://youtu.be/ViRwEJ0Wfkw


 


Chapter 4. Applications of Differentiation


4.1 Extreme values of a function : http://youtu.be/mXVU8OqIHJY


4.2 The Shape of a Graph : http://youtu.be/cZrAF_77On4


4.3 The Limit of Indeterminate Forms and L’Hospital’s Rule : http://youtu.be/vp-gck5-gKE


4.4 Optimization Problems : http://youtu.be/k0NtkmZFnh8


 4.5 Newton’s Method : http://youtu.be/VxCfl2JzMYU


Chapter 5. Integrals


5.1 Areas and Distances : http://youtu.be/mT_oxlD6RSA

5.2 The Definite Integral : http://youtu.be/GIm3Oz58Ti8

5.3 The Fundamental Theorem of Calculus : http://youtu.be/Zf1HT2H2fbA

5.4 Indefinite Integrals and the Net Change Theorem : http://youtu.be/E6I3EDzAVuU

5.5 The Substitution Rule : http://youtu.be/h7tmvmNOliU

5.6 The Logarithm Defined as an Integral : http://youtu.be/kD0Z9PqetsA


Midterm Exam : 4월 24일 수요일 4시에 강의실

미적분학 with Sage Midterm Exam, SKKU SGLee http://youtu.be/QAEI7A2DMMM


Chapter 6. Applications of Integration

미적분학 with Sage Sec-6-1 Areas between Curves, SKKU SGLee http://youtu.be/o53phm5cqJE

미적분학 with Sage Sec-6-2 Volumes, SKKU SGLee http://youtu.be/4-ChOAFbJAs

미적분학 with Sage Sec-6-3 Volumes by Cylindrical Shells, SKKU SGLee http://youtu.be/qM1izf8qeX8


미적분학 with Sage Sec-6-4 Work by SKKU SGLee : http://youtu.be/u3ZaJWhKy6k

미적분학 with Sage Sec-6-5 Average Value of a Function by SKKU SGLee http://youtu.be/zmEeGmwQTB0


Chapter 7. Techniques of Integration

미적분학 with Sage Sec-7-1 Integration by Parts by SKKU SGLee : http://youtu.be/WX-6C9tCneE

미적분학 with Sage Sec-7-2 Trigonometric Integrals by SKKU SGLee : http://youtu.be/sIR0zNGQbus

미적분학 with Sage Sec-7-3 Trigonometric Substitution by SKKU SGLee : http://youtu.be/avTqiEUi8u8

미적분학 with Sage Sec-7-4 Integration of Rational Functions by the Method of Partial Fractions  by SKKU SGLee : http://youtu.be/KLTHp_7G4cI

미적분학 with Sage Sec-7-5 Guidelines for Integration  by SKKU SGLee : http://youtu.be/Fgn8U4We60o

미적분학 with Sage Sec-7-6 Integration Using Tables   by SKKU SGLee : http://youtu.be/tn9jLkgTMp8

미적분학 with Sage Sec-7-7 Approximate Integration  by SKKU SGLee : http://youtu.be/hg2pw1n1cZI

미적분학 with Sage Sec-7-8 Improper Integrals  by SKKU SGLee : http://youtu.be/rquxbYrC0Yc


Chapter 8. Further Applications of Integration

미적분학 with Sage Sec-8-1 Arc Length by SKKU : http://youtu.be/7OVqI20z_Bw

미적분학 with Sage Sec-8-2 Area of a Surface of Revolution by SKKU : http://youtu.be/Eq4i2A8eKxA

미적분학 with Sage Sec-8-3 Applications of Integral Calculus by SKKU : http://youtu.be/1ZAJeP16pAQ

*미적분학 with Sage Sec-8-4 Differential equations by SKKU : http://youtu.be/uHfOjz8I4-s

 

Chapter 9. Infinite Sequences and Infinite Series


9.1 미적분학 with Sage Sec-9.1 Sequences and Series   http://youtu.be/rz8ZS4Y_cvc  

9.2 미적분학 with Sage Sec-9.2 Tests for convergence of series with positive terms  http://youtu.be/mxwSv6ApZ2g

9.3 미적분학 with Sage 9.3 Alternating Series and Absolute Convergence  http://youtu.be/NtSitFNv9Mk

9.4 미적분학 with Sage Sec 9.4 Power Series  http://youtu.be/426kkrMArgs

9.5 미적분학 with Sage Sec 9.5 Taylor, Maclaurin, and Binomial Series http://youtu.be/3zSPSvYHJQI


Chapter 10. Parametric Equations and Polar Coordinates

10.1 Parametric Equations  http://youtu.be/hQGCZk1tpuA   

10.2 Calculus with Parametric Curves http://youtu.be/QFMSbGKhoX4

10.3 Polar Coordinates    http://youtu.be/lKPJeAGw0ZA

10.4 Areas and Lengths in Polar Coordinates  http://youtu.be/qHEl7KHOAfE

10.5 Conic Section  http://matrix.skku.ac.kr/2014-Album/Quadratic-form/index.htm


  <Student Presentation of Problems (학생 문제풀이)>

Chapter 1. Functions 

미적분학 with Sage Sec-1-1 Functions and Graph, Problem, 문제풀이 by 황인철 http://youtu.be/rQ2CB8EvkoE    

미적분학 with Sage Sec-1-2 Symmetry, Problem, 문제풀이 by 곽주현 http://youtu.be/BNKUzSohiD8

미적분학 with Sage Sec-1-3 Common Functions, Problem, 문제풀이 by 장찬영 http://youtu.be/x0E0ZMxZ3Og

미적분학 with Sage Sec-1-4 Translation, Stretching and Rotation of Functions, Problem, 문제풀이 by 임효정 http://youtu.be/vx7GCWY68Zw

 

Chapter 2. Limits and Continuity

미적분학 with Sage Sec-2-1 Limits of functions, Problem, 문제풀이 by 장재철-이훈정 http://youtu.be/LZSmRPAAXME

미적분학 with Sage Sec-2-2 Continuity, Problem, 문제풀이 by 이훈정 http://youtu.be/azrkT1RP4-c

미적분학 with Sage Sec-2-2 Continuity, Epsilon-Delta Proof, by 황인철 http://youtu.be/hj8d-j_DGf4  

 

Chapter 3. Theory of Differentiation

미적분학 with Sage Sec-3-1 Definition of Derivatives, Differentiation, Problem, 문제풀이 by 김태현 http://youtu.be/7wTBWuk2CzU

미적분학 with Sage Sec-3-2 Derivatives of Polynomials, Exponential Functions, Trigonometric, Problem, 문제풀이 by 조건우 http://youtu.be/Ei5KGW9vZhE

미적분학 with Sage Sec-3-3 The Chain Rule and Inverse Functions, Problem, 문제풀이 by 유휘의 http://youtu.be/aSKm12922FE

미적분학 with Sage Sec-3-4 Approximation and Related Rates, Problem, 문제풀이 김종민  http://youtu.be/JmBOv6_D6qA

 

Chapter 4. Applications of Differentiation

미적분학 with Sage Sec-4-1 Extreme values of a function, Problem, 문제풀이 by 김태영 http://youtu.be/_V4MryNEzWY

미적분학 with Sage Sec-4-2 The Shape of a Graph, Problem, 문제풀이 by 김태영 http://youtu.be/SVOWADHlzV8

미적분학 with Sage Sec-4-3 Indeterminate Forms and L'Hospital's Rule, Problem, 문제풀이 by 신종희 http://youtu.be/gR2luDDPsMY

미적분학 with Sage Sec-4-4 Optimization, Problem, 문제풀이 by 이승철 http://youtu.be/AELEV2ElaeQ

미적분학 with Sage Sec-4-5 Newton's Method, Problem, 문제풀이 by 이승철http://youtu.be/fdBHQ46g9RE

  

Chapter 5. Integrals

미적분학 with Sage Sec-5-1 Area and Distance, Problem, 문제풀이 by 남택현 http://youtu.be/Y_nCn76RPmY

미적분학 with Sage Sec-5-2 Definite Integral, Problem, 문제풀이 by 남택현http://youtu.be/iUsf1h_hTAE

미적분학 with Sage Sec-5-3 and 5-4 Fun Theorem of Calculus Net Change Theorem, Problem, 문제풀이 by 정승찬 & Kim http://youtu.be/Pa4Z38KkDVY

(미적분학 with Sage Sec-5-4 Net Change Theorem, Problem, 문제풀이 by Kim ***  )

미적분학 with Sage Sec-5-5 Substitution, Problem, 문제풀이 by 이한울 http://youtu.be/0TMbpCPO4Uc

미적분학 with Sage Sec-5-6 Log and Exponential, Problem, 문제풀이 by 이한울 http://youtu.be/ymDImdIQ90c

 

Chapter 6. Applications of Integration

미적분학 with Sage Sec-6-2 Volumes, 문제풀이 by 김종민 http://youtu.be/Fd4Mguf2dbU  

미적분학 with Sage Sec-6-3 Volumes by Cylindrical Shells, Problem, 문제풀이 by 신영찬   http://youtu.be/gNaKkA0UNHg       

미적분학 with Sage Sec-6-4 Work, Problem, 문제풀이 by 김건호 http://youtu.be/SmIo2yaxNsY  

미적분학 with Sage Sec-6-5 Average Value of a Function, Problem, 문제풀이 by 신종희  http://youtu.be/BVahd-DJoe8  


Chapter 7. Techniques of Integration

미적분학 with Sage Sec-7-1 Integration by Parts, 문제풀이 by 이인행  http://youtu.be/jKCAGJ4HqvQ

미적분학 with Sage Sec-7-2 Trigonometric Integrals, 문제풀이 by 김태현  http://youtu.be/ytETYf1wLbs    

미적분학 with Sage Sec-7-3 Trigonometric Substitution, Problem, 문제풀이 by 이훈정  http://youtu.be/utTQHIabTyI      

미적분학 with Sage Sec-7-4 Integration of Rational Functions by the Method of Partial Fractions, Problem, 문제풀이 by 장재철 http://youtu.be/SkNW_bax0YI

미적분학 with Sage Sec-7-5 Guidelines for Integration, Problem, 문제풀이 by 김대환 http://youtu.be/-N9Fe_Arp2c

미적분학 with Sage Sec-7-6 Integration Using Tables, Problem, 문제풀이 by 조건우 http://youtu.be/EnEQ9ZS3B_k

미적분학 with Sage Sec 7.8 Improper Integrals 이송섭  http://youtu.be/C3kb4c9nLXM  미적분학 with Sage Sec-7-8 Improper Integrals, Problem, 문제풀이 by 이인행    http://youtu.be/dfSkjvmSXYo


Chapter 8. Further Applications of Integration

미적분학 with Sage Sec-8-1 Arc Length, 문제풀이 by 남택현   http://youtu.be/A8N-mDD0ja8

미적분학 with Sage Sec-8-2 Area of a Surface of Revolution, 문제풀이 by 정승찬 http://youtu.be/yZFJDJgTJfw

미적분학 with Sage Sec 8.3 Center of Mass  

미적분학 with Sage Sec *8.4 Differential equations


Chapter 9. Infinite Sequences and Infinite Series

미적분학 with Sage Sec 9.1 Sequences and Series 문지호 http://youtu.be/Qo0MArZG2EA

미적분학 with Sage Sec-9-1 Sequences and Series, 문제풀이 by 이원준 http://youtu.be/O6y1v5fJA0k       

미적분학 with Sage Sec-9-2 Tests for convergence of series with positive terms, 문제풀이 by 김범윤 http://youtu.be/1flKAnlv9LA  

미적분학 with Sage Sec 9.3 Alternating Series and Absolute Convergence   계성곤  http://youtu.be/e_5D0dzrqwc

미적분학 with Sage Sec 9.4 Power Series  배성준  http://youtu.be/R3AcB12z2kk   

미적분학 with Sage Sec 9.5 Taylor, Maclaurin, and Binomial Series   우시명  http://youtu.be/NSFrYRYZ6Qc


Chapter 10. Parametric Equations and Polar Coordinates

미적분학 with Sage Sec 10.1 Parametric Equations 문지호 http://youtu.be/uz1DkKVeD2k  미적분학 with Sage Sec-10-1 Parametric Equations, 문제풀이 by 임효정 http://youtu.be/Ybs68e0iMZI

미적분학 with Sage Sec-10-2 Calculus with Parametric Curves, 문제풀이 by 장찬영 http://youtu.be/yF5oZOQVnCE

미적분학 with Sage Sec 10.3 Polar Coordinates 계성곤 http://youtu.be/smAmDRK-tWY  미적분학 with Sage Sec-10-3 Polar Coordinates, Problem, 문제풀이 by 황인철 http://youtu.be/4hoVKvk8dq0  

미적분학 with Sage Sec-10-4 Areas and Lengths in Polar Coordinates, Problem, 문제풀이 by 곽주현  http://youtu.be/LRmasW9uqYY  

미적분학 with Sage Sec 10.5 Conic Sections 변희성 http://youtu.be/ONItxvlsnb8    미적분학 with Sage Sec-10-5 Conic Section, Problem, 문제풀이 by  이한울 http://youtu.be/CZ9SHMtqVy4  



Review  of  이번 학기 강좌 내용

주/회차

  • 주차/회차명

강의기간/컨텐츠유형

1

2014.02.24 ~ 2014.03.21 

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강의저장 (12/14)

2

기타 (12/14)

3

기타 (12/14)

4

기타 (11/14)

5

강의저장 (11/14)

6

강의저장 (11/14)

2

2014.03.04 ~ 2014.03.21 

1

기타 (12/14)

2

강의저장 (12/14)

3

강의저장 (12/14)

4

강의저장 (12/14)

5

강의저장 (12/14)

3

2014.03.17 ~ 2014.03.24 

1

기타 (12/14)

2

강의저장 (12/14)

3

강의저장 (12/14)

4

강의저장 (12/14)

5

강의저장 (12/14)

6

강의저장 (12/14)

7

강의저장 (12/14)

4

2014.03.22 ~ 2014.03.31 

1

동영상 (12/14)

2

강의저장 (12/14)

3

강의저장 (11/14)

4

강의저장 (11/14)

5

강의저장 (11/14)

6

강의저장 (10/14)

5

2014.03.29 ~ 2014.04.05 

1

강의저장 (12/14)

3

강의저장 (12/14)

4

강의저장 (12/14)

5

강의저장 (12/14)

6

HTML (12/14)

7

강의저장 (7/14)

6

2014.04.03 ~ 2014.04.14 

1

강의저장 (11/14)

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강의저장 (11/14)

3

강의저장 (11/14)

4

강의저장 (8/14)

7

2014.03.25 ~ 2014.05.08 

1

강의저장 (11/14)

2

강의저장 (11/14)

3

강의저장 (11/14)

4

강의저장 (6/14)

5

강의저장 (6/14)

6

강의저장 (6/14)

7

강의저장 (6/14)

8

강의저장 (6/14)

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강의저장 (6/14)

8

2014.04.21 ~ 2014.05.08 

1

HTML (10/14)

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HTML (10/14)

9

2014.04.28 ~ 2014.05.10 

1

HTML (10/14)

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강의저장 (10/14)

3

강의저장 (10/14)

4

강의저장 (10/14)

5

강의저장 (10/14)

6

강의저장 (10/14)

7

강의저장 (8/14)

10

2014.05.04 ~ 2014.05.12 

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HTML (8/14)

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강의저장 (9/14)

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강의저장 (9/14)

4

강의저장 (8/14)

5

강의저장 (8/14)

11

2014.05.07 ~ 2014.05.19 

1

강의저장 (10/14)

2

강의저장 (10/14)

3

강의저장 (10/14)

4

강의저장 (10/14)

5

강의저장 (9/14)

12

2014.05.13 ~ 2014.05.26 

1

강의저장 (10/14)

2