[Math & 코딩] 

미적분학 1 

(Calculus 1)  Version 2022/4/19 

                                 이상구  with  김응기, 이재화 

                           http://matrix.skku.ac.kr/S-Calculus/ 

서문 

 이 책은 대학 과정의 미적분학 지식 전반을 필요로 하는 마이스터 고등학교 졸업생은 물론 문-이과 구분없이 모든 대학 신입생과 직장인 및 평생교육기관에서 사용하는데 최적화된 교재이다.  

 Math & Coding을 활용하여 수학적 배경이 다른 모든 학생이 짧은 시간에 고등학교 수학과 미적분학 1의 내용을 Learning by Doing으로 습득하고 실제 현장에서의 문제해결력을 갖추도록 만드는 데 목적이 있다.  

*실습실: http://matrix.skku.ac.kr/KOFAC/   http://matrix.skku.ac.kr/KOFAC2/  

저자 

주저자: 이상구 교수 (성균관대학교 수학과) 

학력/경력/연구성과 목록: http://matrix.skku.ac.kr/sglee/vita/LeeSG.htm  

공저자: 김응기 박사
1993년 성균관대학교에서 해석학과 계산수학으로 이학박사 학위를 받았다. 성균관대학교 BK21 수학적 모델링 HRD 사업단 박사 후 연구원을 거치며 대학수학교육 분야의 연구를 수행하고 있다. 본서의 코드를 개발하였으며, 저서로는 『Calculus with Sage』, 『최신 공학수학 with Sage』 등이 있다. 

공저자: 이재화 박사
2009년 중국과학원에서 최적화이론과 계산수학으로 이학박사 학위를 받았다. 성균관대학교 BK21 수학적 모델링 HRD 사업단 박사 후 연구원을 거치며 첨단과 전통 수학을 연결하는데 관심을 갖고, 계산수학과 사회수학 분야의 연구를 수행하고 있다. 최근 대학수학교육과 동아시아 수학사에 관한 다수의 논문을 발표하고, 본서의 코드를 개발하였다. 현재 성균관대학교 에너지환경융합 KIURI 연구단의 박사 후 연구원으로, 『(빅북) 선형대수학』, 『최신 공학수학 with Sage』, 『인공지능을 위한 기초수학 입문』(공저) 등의 저서가 있다. 

미적분학을 배우는 이유  

 인류의 역사를 돌아보면, 계산, 측량, 달력(曆)의 제작을 위해 주로 사용된 수학과 천문학으로부터 지렛대(lever)의 법칙이나 빛의 반사법칙과 같은 과학 기술의 이론과 실제는 인류 문명의 영원한 유산이 되었다. 특히 근대에 접어들면서 수학과 과학은 역사를 바꾸는 원동력으로 강하게 작용하게 되었고, 이를 통해 인간정신은 종교적인 세계로부터 해방되기도 하였다. 또한 과학을 통해 이루어진 실제적인 여러 변화는 전통과 낡은 생활방식을 해소시키고 근대문명의 성격을 형성하는 데 크게 이바지했다. 세계 4대문명을 대표하는 고대 민족들은 각각 독자의 문화를 형성했지만, 숫자, 계산법, 도량형, 시간계측, 측정, 작도와 같은 ‘기초수학’이 사회의 필요로 생겨나고 공통적으로 『수학(Mathematics)』이 사회를 지탱하는 중요한 역할을 했다. 『수학』은 질병, 무역, 전쟁, 경쟁으로 제기된 다양한 문제들을 인류가 해결하며 사회가 발전하는 과정에서 중요한 역할을 해왔다. 수학적 연구 성과를 이용해온 분야는 물리, 천문학뿐만 아니라 생물학, 지질학, 사회학, 경제학. 또는 회화, 조각에 이르기까지 광범위하다. 현대에는 일상의 전자제품, 운전제어, 교통관리, 물류, 금융, 보험, 인공지능, 주식운용까지 그야말로 사회전반에 걸쳐 수학문화의 시대가 펼쳐진 것이다. 

 대포의 성능 발전과 항해술의 발달에 기여한 『미적분학(Calculus)』의 발전을 주도하면서 서양은 지난 400년간 군사력과 문명을 지배하였다. 미적분학은 변화를 관찰하고, 관찰을 통해 미래를 예측을 할 수 있기에 중요하다. 우리가 배우고 있는 함수들은 실생활에서 값 (결과)의 관계를 표현해주고 미분은 이러한 결과의 변화를 표현하는 중요한 역할을 한다. 현재 우리가 살아가고 있는 사회는 끊임없이 변화하고 있고 삶을 살아가면서 무수한 선택을 한다. 이때 미적분을 활용한 예측을 하면 손해를 최소화하고, 이익을 극대화하는 선택을 할 수 있고, 현재보다 더 나은 미래를 선택하기 위한 많은 합리적인 의사결정을 가능하게 해준다. 특히 일상 생활속에서 만들어지는 수많은 데이터를 관찰하는 데에서만 그치지 않고, 그 패턴을 파악하고 수학적 분석을 통하여 규칙이나 법칙을 발견하면서, 미적분학은 다음과 같은 여러 분야에서 유용하게 쓰이고 있다. 

① 물리학 : 속도, 가속도, 밀도, 전류, 힘 등  

② 화학 : 반응률, 압축률, 온도변화율 등  

③ 생물학 : 군락의 성장률, 혈액의 속도변화율 등  

④ 경제학 : 한계비용, 한계이익 등  

⑤ 지질학 : 열전도율 등  

⑥ 사회학 : 유언비어 확산율 등 

⑦ 기상학: 온도와 습도, 풍속과 풍향, 기압과 강수량 등의 요소를 초깃값으로 하고 시간에 대한 미분방정식을 세워 일기예측 

⑧ 인공지능: 다변수 미적분학(Multivariable calculus)의 경사하강법과 편미분은 딥러닝에서 가장 핵심적인 지식이다.  

[Calculus (미적분학) 1] 15주 강의계획서와 교안/실습실/동영상강의 

0주차 수학과 코딩(Math & Coding), SageMath 소개 

http://matrix.skku.ac.kr/2018-album/Math-Coding.htm 

https://youtu.be/nZlOKfW6XVY  

1주차 강좌소개 및 복습(중3, 고1 수학)  

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W1/ 

https://youtu.be/dvreK7t4UIY 

Week 1 과제 (1) 제시된 실습실을 둘러보시고, 유사한 문제를 코드를 바꾸면서 풀어보세요. (2) 그 후 궁금한 어떤 질문 또는 할 수 있게 된 일 및 학습하는 과정에서 배우거나 느낀 내용 또는 본인의 문제를 직접 풀어보고 구한 답을 간단하게 I-campus 강의실 BBS(QnA 또는 문의게시판)에 공유하세요. (3) 중간고사 전에 본인이 풀어보고 공유하거나, 질문하거나, 답변한 문제/내용들을 모아서 제출하고 발표하게 됩니다.  

고1, 2, 3 수학 문제집 

 http://matrix.skku.ac.kr/K-10-RMPG/  

http://matrix.skku.ac.kr/K-11-2-RMPG/   

 http://matrix.skku.ac.kr/K-12-1-RMPG/   

(이상구 교수팀이 개발하여  ㈜프로키언 (대표: 이재윤)에 기술 이전한 특허 기술 RMPG(Random Math Problem Generator) (특허등록번호 : 10-1560802)이 적용된 작품입니다.) 

2주차 복습(고2 수학 1, 수학 2)   

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W2/ 

https://youtu.be/j0EI6z2xjSw 

Week 2 과제 (1) 위의 Week 1 과 Week 2 교안과 실습실을 둘러보시고, 유사한 문제를 코드를 바꾸면서 풀어보세요. (2) 그 후 궁금한 어떤 질문 또는 할 수 있게 된 일 및 학습하는 과정에서 배우거나 느낀 내용 또는 본인의 문제를 직접 풀어보고 구한 답을 [매주 3문제 또는 3개 이상의 질문/답변] 간단하게 I-campus 강의실 BBS(QnA 또는 문의게시판)에 공유하세요. (3) 중간고사 전에 본인이 풀어보고 공유하거나, 질문하거나, 답변한 문제/내용들을 모아서 제출하고 발표하게 됩니다.  

3주차 복습(고3 미적분), 함수의 그래프와 방정식의 해 

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W3/ 

https://youtu.be/2k0PJ4zs9q4 

https://youtu.be/zQnjYU4pyR8 

다른 교재에서 찾은 몇 가지 다항함수의 개형을 그리시오. 

 [ Hint: plot ( -x^9 -5*x^4 -130*x^3 -53*x^2 +542*x +3 , (x, -10, 10)) ]  

 참고: 교재에 주어진 코드를 변형하여 http://matrix.skku.ac.kr/KOFAC/에서 실습하시오. 

다른 교재에서 찾은 몇 가지 유리함수의 개형을 그리시오. 

                 [ Hint: ]  

 참고: 교재에 주어진 코드를 변형하여 http://matrix.skku.ac.kr/KOFAC/에서 실습하시오. 

  그래프의 개형을 그리시오.  

                [ Hint: plot(x*sin(1/x), (x, -2, 2), ymin = -1.5, ymax = 1.5) ]  

참고: 교재에 주어진 코드를 변형하여 http://matrix.skku.ac.kr/KOFAC/에서 실습하시오. 

앞에서 배운 함수들 중 학습한 함수의 합성함수를 만들고, 그래프를 그리시오.  

                [Hint: plot(sin(e^(1/3)^x),  (x, -1.2, 10)) ] 

참고: 교재에 주어진 코드를 변형하여 http://matrix.skku.ac.kr/KOFAC/ 에서 실습.               

[이제 여러분은 이제 그동안 배운 모든 함수의 그래프를 그릴 수 있으며, 그간 배운 대부분의 방정식에 대한 해(근삿값)를 쉽게 구할 수 있습니다.] 

다른 교재를 참고해서 다양한 방정식의 (근사)해를 구하시오. 

  http://matrix.skku.ac.kr/math4ai/PBL-Record/    http://matrix.skku.ac.kr/2021-Final-PBL/  

  https://ko.wikipedia.org/wiki/근_찾기_알고리즘/     http://matrix.skku.ac.kr/KOFAC/에서 실습하시오. 

위의 열린 문제를 풀어본 후, 본인이 요약/실습/질문/답변한 내용을 Q&A(문의게시판)에 공유하고, 그동안 배운 모든 함수의 그래프를 그릴 수 있으며, 그간 배운 대부분의 방정식에 대한 해(근삿값)를 쉽게 구할 수 있다는 자신감을 가지기 바랍니다. 4주차 강의 후, 첫달 PBL 보고서를 제출하시오. 보고서 양식 http://matrix.skku.ac.kr/PBL/PBL-Report-Form-Korean.hwp   

4주차 역삼각 함수, 쌍곡선 함수, 역쌍곡선 함수 

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W4/ 

https://youtu.be/JFAsjc3E70U 

다른 교재를 참고하여 다양한 (가역)함수의 역함수를 구하여 공유하시오. 

 역삼각함수 , , 를 그린 아래 그래프를 보고, 각각의 역함수 모양을 추측해 보세요.  

p = plot (cot(x), (x, -pi, pi), ymax = 6, ymin = -6) 

q = plot (sec(x), (x, -pi, 3*pi/2), color = 'red', detect_poles = 'show') 

r = plot (csc(x), (x, -pi, 3*pi/2), color = 'green', detect_poles = 'show') 

p3 = plot (x, (x, -pi, 4), linestyle = '--', color = 'grey')  # 대칭축 y = x 

show ( p + q + r + p3 ) 

   참고: https://www.intmath.com/analytic-trigonometry/7-inverse-trigo-functions.php  

그 후 아래 실습실에서   

 [함수 그래퍼] http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher.html  

 매개변수 방정식 Grapher  http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-para.html 

 음함수(Implicit Function)  http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-imp.html  

 (극좌표 방정식 Grapher: http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-polar.html) 

다양한 함수와 방정식의 그래프를 그려보는 실습을 해보고 느낀점과 시행착오를 공유하세요.  

쌍곡선함수의 성질들에 대하여 토론해보시오. 

               [참고:  https://supermemi.tistory.com/62 ] 

나머지 역쌍곡선 함수의 정의에 대해 실습하고 얻은 결과를 공유하세요. 

               [참고: https://hekbms.tistory.com/410 ] 

위의 열린 문제를 풀어본 후, 본인이 요약/실습/질문/답변한 내용을 Q&A(문의게시판)에 공유하시오. 그리고 지난 4주간 QnA에서 학습한 내용을 모아서, 각각의 문제에 대한 정확한 질문과 얻은 결론, 그리고 토론에 참여한 사람들의 이름을 모아 1st PBL 보고서를 제출하시오. [보고서 양식 (다운로드)]  http://matrix.skku.ac.kr/PBL/PBL-Report-Form-Korean.hwp  

5주차 함수의 극한 

미적분학의 개념  http://matrix.skku.ac.kr/Calculus-Story/index.htm 

실습  http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W5/ 

http://matrix.skku.ac.kr/math4ai-intro/W7/ 

https://youtu.be/Didz3qkHCqM 

https://youtu.be/Vde0ah_FcJo 

다른 교재를 참고하여 다양한 함수의 극한(좌, 우극한)을 구하시오. 

다른 교재를 참고하여 다양한 함수의 수직(수평)점근선을 구하시오. 

다른 교재를 참고하여 다양한 방정식의 모든 (근사)해를 구하시오. 

위의 열린 문제를 풀어본 후, 본인이 요약/실습/질문/답변한 내용을 Q&A(문의게시판)에 공유하시오. 그리고 지난 5주간 QnA에서 학습/토론/결론을 얻은 내용들을 모아서, 제출한 1st PBL 보고서를 수정/보완하세요. [준비된 학생은 제출한 1st PBL 보고서를 발표하시오.]   

[보고서 양식 (다운로드)]  http://matrix.skku.ac.kr/PBL/PBL-Report-Form-Korean.hwp 

[1st PBL 보고서 수정/보완본 샘플 (Sample)]  http://matrix.skku.ac.kr/2021-W-Final-PBL/  

6주차 도함수, 접선의 방정식, 미분 법칙 

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W6/ 

https://youtu.be/269uVGhQg6s 

다른 교재를 참고하여 다양한 함수의 한 점에서의 접선의 방정식을 구하시오. 

다른 교재를 참고하여 다양한 함수의 도함수와 고계도함수를 구하시오. 

위에 소개된 공식 또는 다른 교재 및 웹사이트에 소개된 다양한 미분가능한 함수의 도함수와 고계도함수를 구하시오. 

위의 열린 문제를 풀어본 후, 본인이 요약/실습/질문/답변한 내용을 Q&A(문의게시판)에 공유하시오. 그리고 지난 6주간 QnA에서 협업으로 학습하고, 다른 학생이 <Final OK> 하여 결론을 얻은 내용들을 모아 제출한 1st PBL 보고서의 수정/보완본을 준비된 학생 순으로, 지정해준 시간내에서 발표하고 동료 평가하세요.   

[수정본 샘플] http://matrix.skku.ac.kr/2021-W-Final-PBL/  

[학생발표 (응즈웨이, Ng Zhi Wei)]  https://youtu.be/a7U99mleObc 

7주차 연쇄법칙, 음함수, 매개변수함수의 미분법 

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W7/ 

https://youtu.be/1bnoS27s1xw 

다른 교재를 참고하여 다양한 합성함수의 도함수와 고계 도함수를 구하시오. 

                 ( 참고: http://matrix.skku.ac.kr/calculus/new2.pdf ) 

다른 교재를 참고하여 다양한 음함수의 그래프와 미분, 접선의 방정식을 구하시오. 

[문제 참고]  

https://ko.khanacademy.org/math/differential-calculus/dc-chain/dc-implicit-diff/a/implicit-differentiation-review 

다른 교재를 참고하여 다양한 매개변수 함수의 그래프와 미분, 한점에서의 접선의 방정식을 구하시오. 

지난 7주간 열린 문제를 풀어본 후, 본인이 요약/실습/질문/답변한 내용을 Q&A(문의게시판)에 공유하고, 토론하여, 결론을 얻은 내용을 모아서 Midterm PBL 보고서에 포함하여 제출하시고 발표하시기 바랍니다. 

발표평가/중간고사 

https://youtu.be/CYLugm1mFN8 

https://youtu.be/j7josDk1Bg8 

https://youtu.be/iEtNpeBzY90 

중간고사 (Sample) 

Midterm Exam 1 http://matrix.skku.ac.kr/cal-book/2014-Calculus-S-Midterm-Exam.pdf  

Midterm Exam 2 http://matrix.skku.ac.kr/cal-book/2013-Calculus-S-Midterm-Exam.pdf  

[학생 중간 보고서 발표 예시] 

[ 미적분학 1  Mid-PBL 발표  (2022)  (1-7 주차) ] 

PBL(Problem based Learning) Midterm 학생 중간보고서 발표 (for Peer Riview) 

Ms. 박경현 (2022)  https://youtu.be/CYLugm1mFN8  

임경섭 (2022)  https://youtu.be/KZyC5sZJKJE  

천혜준 (2022)  https://youtu.be/65cfpyvPQUI  

Ms. 손혜원 (2022)  https://youtu.be/j9oFSpB5sCw  

김재영 (2022) https://youtu.be/ew28Lh5J2Q0  

노영규 (2022) https://youtu.be/1cK7ZD8ZeB4  

전형준(2022) https://youtu.be/1ktqurBHUns  

이주한 (2022)   https://youtu.be/j7josDk1Bg8   

조현준 (2022)  https://youtu.be/3kTHSf5kC_M    

천혜준 (2022)  https://youtu.be/65cfpyvPQUI   

8주차 삼각함수, 역삼각함수, 지수함수, 로그함수의 미분법, 선형근사 

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W8/  

https://youtu.be/9aSLI9cG4ZM 

같은 방법으로 역삼각함수의 미분공식을 확인하고, 다른 교재를 참고하여 다양한 삼각함수와 역삼각함수 및 합성함수의 도함수와 고계 도함수를 구하시오. 

다른 교재를 참고하여 다양한 지수함수와 로그함수 및 합성함수의 도함수와 3계 도함수, diff (f(x), x, 3) 를 구하시오. 

다른 교재를 참고하여 다양한 함수의 에서의 선형근사 함수를 찾고, 근방의 에서의 함숫값의 근삿값을 구하시오. 

위의 열린 문제를 풀어본 후, 본인이 요약/실습/질문/답변한 내용을 Q&A(문의게시판)에 공유하시오. 

9주차 쌍곡선 함수, 역쌍곡선 함수의 미분, 평균값 정리, 로피탈 법칙  

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W9/ 

https://youtu.be/YMJcVIbwy6M 

다른 교재에서 찾은 (연속) 미분가능한 쌍곡선함수의 3계 도함수(3rd  derivative, jerk, a measure of the smoothness of the acceleration)를 구하시오. 

부정형의 극한을 구하는 열린 문제를 풀어본 후, 본인이 요약/실습/질문/답변한 내용을 Q&A(문의게시판)에 공유하시오. 

 [참고자료]  

[함수의 극한과 연속] http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book1/Ch2/ 

[도함수] http://youtu.be/A-vDsF9ulTs  

[미분] http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book1/Ch3/  

[명령어 모음] http://matrix.skku.ac.kr/Lab-Book/Sage-Lab-Manual-1.htm 

[강의동영상] http://matrix.skku.ac.kr/2019-album/   

[미적분학 교재] http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book1/   

[연습문제와 풀이] http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/  

1. 일변수함수와 미적분 http://matrix.skku.ac.kr/PBL/  

2. 다변수함수와 미적분 http://matrix.skku.ac.kr/PBL2/        

10주차 함수의 극대, 극소(최대, 최소)  

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W10/ 

https://youtu.be/gQYucuXMYgc 

http://matrix.skku.ac.kr/math4ai-intro/W8/ 

주어진 폐구간에서 두 번 미분가능한 함수를 골라서 그 함수의 극댓값, 극솟값 및 그 구간에서의 최댓값, 최솟값을 찾아보시오. 

주어진 구간에서 미분가능한 방정식을 골라서, 개형을 그리고, 각 해의 근처의 한점에서 시작하여 위에 소개한 뉴턴의 방법(Newton’s method)의 코드를 이용하여 그 방정식의 모든 근을 찾아보시오. 

뉴턴의 방법(Newton’s method)의 코드를 수정하여 수렴하는 과정을 시각화 해 보시오. [참고: 학생(Marc Owen/막 오웬 른타프)의 코드]  

위의 열린 문제를 풀어본 후, 본인이 요약/실습/질문/답변한 내용을 Q&A(문의게시판)에 공유하시오. 

< 참고사이트 >    

[함수의 극값 동영상 강의] http://youtu.be/mXVU8OqIHJY  

[미적분학 실습실] http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book1/Ch4/  

                http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/part1/CS-Sec-4-1-Sol.html  

[미분의 응용 동영상 강의] https://youtu.be/O4lN5zEZnMA  

[참고] 경사하강법(Gradient Descent Method) 과 최소제곱문제의 해
http://matrix.skku.ac.kr/math4ai-intro/W9/ 

http://matrix.skku.ac.kr/math4ai/gradient_descent/ 

경사하강법은 딥러닝에서 가중치를 업데이트하는 데 사용되는 핵심 알고리즘이기도 하다.   

[Newton의 방법] http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book1/Ch4/  

[테일러전개] 주어진 연속함수에 가까운 다항식을 찾는 방법 

http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book1/Ch9/  

11주차 부정적분, 정적분, 이상적분 

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W11/ 

https://youtu.be/6EhJxj8n_-E 

다른 교재를 참고하여 다양한 함수의 부정적분을 구하시오. 

다른 교재를 참고하여 다양한 함수의 주어진 구간에서의 정적분을 구하시오. 

다른 교재를 참고하여 다양한 함수의 이상적분을 구하시오. 

다른 교재를 참고하여 다양한 함수의 (부)정적분을 구하시오. 

위의 열린 문제를 풀어본 후, 본인이 요약/실습/질문/답변한 내용을 Q&A(문의게시판)에 공유하시오. 

12주차 적분의 응용(넓이, 부피, 호의 길이), 극좌표  

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W12/ 

https://youtu.be/xKu-ajdhNyY 

https://youtu.be/uOThnTVZPvw 

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-polar.htm 

다른 교재를 참고하여 다양한 회전체의 부피를 구하시오(원통껍질 방법). 

다른 교재를 참고하여 다양한 곡선의 길이(근삿값)를 구하시오. 

다른 교재를 참고하여 다양한 곡면의 넓이(근삿값)를 구하시오. 

[좌표계 표현 변환] 다른 교재를 참고하여 직교좌표(Cartesian coordinate)로 표현된 평면상의 다양한 점 = 을 극좌표(Polar coordinate) 표현 = (sqrt(x^2 + y^2), arctan(y/x)) 으로 바꾸어 보고 반대로도 해 보세요.  

다른 교재를 참고하여 다양한 극방정식의 그래프를 그려라. 

다른 교재를 참고하여 다양한 극방정식으로 주어진 곡선 위의 한 점에서의 접선의 방정식, 곡선으로 둘러싸인 넓이, 곡선의 길이(근삿값)를 구하시오. 

위의 열린 문제를 풀어본 후, 본인이 요약/실습/질문/답변한 내용을 Q&A(문의게시판)에 공유하시오. 

13주차 수열, 급수, 판정법, 거듭제곱 급수, 테일러 급수 

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W13/ 

https://youtu.be/yGhJ7yoX1XI 

https://youtu.be/jBsj6gPg-gM 

다른 교재를 참고하여 다양한 양항급수의 수렴, 발산을 판정하시오. 

다른 교재를 참고하여 다양한 무한급수의 절대수렴, 조건부수렴, 발산 여부를 판정하시오. 

다른 교재를 참고하여 다양한 거듭제곱급수의 수렴반지름과 수렴구간을 구하시오. 

다른 교재를 참고하여 다양한 함수의 에서의 테일러 다항식을 구하고, 함수의 근삿값을 구하시오. 

위의 열린 문제를 풀어본 후, 본인이 요약/실습/질문/답변한 내용을 Q&A(문의게시판)에 공유하시오. 

14주차 Summary / PBL 보고서 발표(sample) 

샘플 Summary, Math4AI :  http://matrix.skku.ac.kr/Math4AI-Summary/  

[PBL report Form Download(보고서 양식 다운로드)]  

Korean (HWP) : http://matrix.skku.ac.kr/PBL/PBL-Report-Form-Korean.hwp 

English (MS Word) :  http://matrix.skku.ac.kr/PBL/PBL-Report-Form-English.docx  

샘플 2021 PBL 보고서 (한글) : http://matrix.skku.ac.kr/2021-Final-PBL/  

2020 Fall PBL 보고서 (한글) :  http://matrix.skku.ac.kr/2020-Math4AI-PBL/  

2021 Fall PBL report (English) :  http://matrix.skku.ac.kr/2021-Math4AI-Fall-PBL/  

2021 Summer PBL report (English) :  http://matrix.skku.ac.kr/2021-Final-PBL-E/  

PBL 보고서 발표  http://matrix.skku.ac.kr/2021-W-Final-PBL/ 

학생발표:  [7주차, 미적분학 1, Midterm]  

 이주한 발표 https://youtu.be/j7josDk1Bg8   

 조현준 발표 https://youtu.be/3kTHSf5kC_M       

 Ms. 박경현 빌표 https://youtu.be/CYLugm1mFN8   

 임경섭 발표 https://youtu.be/KZyC5sZJKJE        

 천혜준 발표 https://youtu.be/65cfpyvPQUI   

 Ms. 손혜원 발표 https://youtu.be/j9oFSpB5sCw  

 박경현 발표 https://youtu.be/CYLugm1mFN8   

 김재영 발표 https://youtu.be/ew28Lh5J2Q0        

 노영규 발표 https://youtu.be/1cK7ZD8ZeB4   

 전형준 발표 https://youtu.be/1ktqurBHUns  

기말고사 (Sample) 

Sample Final Exam 1 

http://matrix.skku.ac.kr/cal-book/2014-Calculus-S-Final-Exam-Final.pdf 

Sample Final Exam 2 

http://matrix.skku.ac.kr/cal-book/2013-Calculus-S-Final-Exam-Final.pdf 

학생 소감 

김지수(2022학번) 4월 13일 오후 4:05, 현재 저희 받는 미적분학 수업과 같이 어려운 문제도 손쉽게 해결할 수가 있는 교육 방식으로 접근하는데 좋을 거 같습니다. 저도 수학에 대한 두려움과 어려움으로 문제를 풀기에 어려움이 많있는데 이상구 교수님의 수업으로 어려운 문제도 풀고 빠르게 답변을 얻을 수 있어 자신감이 생기고 있습니다. 

백승준(2022####) 4월 13일 오후 4:18, 학생들은 수학에 대한 공식을 외워야 하고 문제에 공식을 어떻게 적용하여 해결하는지 등, 수학의 개념보다는 공식에 집중하고 응용문제들을 많이 풀어 오로지 시험을 잘 보기 위한 수학을 하고 있습니다. 그래서 본 기사에 나왔듯이 수학을 활용하여 일상생활들에 접목할 생각조차 못 했다고 생각합니다. 하지만 이상구 교수님의 수업에서는 공식보다는 개념에 집중하고 이해하여 다른 사람이 물어봤을 때 그 개념을 설명할 수 있도록 하는 것에 목적을 두고 있습니다. 공식을 외우고 문제를 많이 풀어봐야 하는 수학에 어려움을 느끼고 있는 학생들도 수학 개념을 이해하고 코딩을 통해 문제해결을 하여 자신감을 가지고, 이 개념을 다른 사람한테 설명할 수 있으면 수학을 잘하는 그것으로 생각합니다. 공과대학에서 다루는 수학을 기초로 하는 여러 과목도 지금 배우는 수학 개념들을 충분히 이해한 상태면 충분히 코딩을 활용해서 문제해결을 할 수 있다고 생각합니다. 

김현구(2022####) 4월 13일 오후 4:19, 좋은 글 공유 감사합니다. sage 프로그램을 활용하면 수학 포기자들도 자신감을 가지고 수학을 할 수 있을 거 같습니다. 

이혜인(2022####) 4월 13일 오후 4:25, 학문적으로만 심도 있게 들어가면서 수학이 점점 어려워지고 복잡해지기에 많은 사람이 수학에 대한 흥미를 잃고 포기하게 되는 것 같습니다. 다양한 접근법과 증명을 통하여 어렵지 않다는 것을 보여주는 것이 필요하며, 기초만 확실히 알고 넘어가도 단계적 응용은 쉬워지지 않을까 생각합니다. 

손혜원(2022####) 4월 13일 오후 4:33, 학생 때의 평가 방법은 정해진 시간 내에 문제를 정확히 풀어야 하므로, 이해에 집중되었다기보다는 암기에 집중되었었다고 생각합니다. 이해가 안 된다면 문제를 외워버리라는 말을 자주 들었었습니다. 그런 방식으로 평가받아왔기에 제 시간 내에 풀지 못하면 낮은 점수를 받고, 흥미를 잃게 되고 이런 것이 반복되어 결국 수학 포기자가 되었던 것 같습니다. 하지만 미분적분학 수업에서는 그런 방식으로 평가하지 않고, 복잡한 개념은 프로그램을 이용하여 간단히 계산할 수 있어서 암기보다는 개념이해에 집중하고 이 문제를 어떤 방식으로 접근해야 해결할 수 있는지 생각해 볼 수 있었던 것 같습니다. 흔히 수학 포기자라 하는 학생들도 이런 방식으로 학습한다면 수학에 대해 흥미를 느낄 수 있다고 생각됩니다. 수학에 흥미를 느끼고 계산에 대한 것은 도구에 맡기고 개념이해를 해나간다면 그것이 수학을 잘하는 것으로 생각합니다. 

노영규(2022####) 4월 13일 오후 4:38, 저 같은 경우도 수학 관련 복잡한 공식을 외우는 게 너무 어렵고 힘들었습니다. 저도 수학 포기자였는데 교수님의 강의를 들으면서 기본적인 개념을 익히고 코딩을 통해서 문제를 해결하는 방법을 접하게 됐고, 복잡한 공식들을 외우지 않고도 손쉽게 원하는 답을 확인하고 직관적인 그래프까지 확인하니 수학에 대한 흥미가 생기고 있습니다. 기존에 복잡한 공식을 억지로 외워서 시험을 준비하는 수학이 아닌 실제 현업에서 사용이 가능한 코딩으로 문제해결 방법을 잘 익혀서 실제로 현업에서 사용할 수 있으리라 기대됩니다. 

박준수(2022####) 4월 13일 오후 4:45, 이전에 배웠던 수학 수업은 문제를 푸는 데 집중돼 있었습니다. 그리고 이해하지 못하고 점점 어려워지다 보니 수학에 대한 흥미를 잃고 포기하게 되었습니다. 하지만 이상구 교수님을 만나 sage 프로그램을 활용하여 어려운 문제들도 간단한 코드를 이용해 풀 수가 있다는 것에 다시 자신감이 생겼습니다. 

노태완(2022####) 4월 13일 오후 5:06, 기본적인 수학 개념만을 배우고 심화 문제를 푸는 데 어려움을 많이 느끼고 그러한 과정에서 수학에 어려움을 느끼고 포기하게 되었는데 심화 문제 또한 sage라는 프로그램을 통하여 쉽게 풀이가 되는 것을 확인하게 되면서 기존에 어려움을 느꼈던 수학에 대해서도 조금은 쉽게 접근할 수 있었습니다 

조현준(2022####) 4월 13일 오후 5:30, -수학이라는 학문은 파고들면 들수록 어렵다고 느꼈었는데, sage를 통해 결과값에 관해 확인해보며 자칫 어렵고 힘들게만 느껴졌을 법한 미적분학에 여러 접근법으로 흥미가 끊이지 않게 되었습니다. 결과를 얻을 수 있다는 자신감을 가지고 개념을 이해해가며 어렵고 복잡한 풀이는 sage를 통해 쉽게 확인해가며 끊임없이 발전해 나가는 것이 현대의 수학적 능력이라 생각합니다. 수학은 자신감이다. 

이주한(2022####) 4월 4일 오후 5:37 

1. 우리의 방식과 같이, 일단 학생 모두에게 답을 구할 수 있게 가르쳐주고.. 

2. 이어서 왜 그런 답이 구해지는지에 대한 수학적인 개념과 과정, 그리고 알고리즘에 관해서 토론하면서, 이해하고 나서 설명하게 하고, 프로그래밍을 포함 다양한 방향에서 ... 좀 더 심화된 문제를 생각해 보고, 

3. 자신이 얻고 이해한 답을 구한 과정과 그 문제의 의미를 ... 설명하는 과정에서 ... 수학에 대해 서로 얘기하게 하면서 ... 

4. 창의력과 생산적이고 논리적인 사고방식을 키우는게 우리의 실력은 물론 각자의 자신감 과 건전한 시민으로의 성장에 도움이 된다는 생각이 듭니다. :D 

                                                        [강릉 향교, 동재 (동쪽 기숙사)] 

[Calculus (미적분학) 2] 집중학기 10주 강의계획서  

[다변수 미적분학, 예습]  선형대수학의 주요 개념 

[벡터, vector]  힘, 속도, 가속도 등과 같이 크기와 방향을 포함하는 대상. 

                차원 공간의 벡터는 으로 표현한다. 

[벡터공간, vector space]  집합 에 덧셈( )과 스칼라배( )의 2가지 연산이 정의되고, 이 두 연산에 대하여 닫혀 있으며, 8개의 연산 성질을 만족하면 을 벡터공간이라 한다.  

[부분공간, subspace]  벡터공간 의 이 아닌 부분집합 가 다시 벡터공간이 될 때, 를 의 부분공간이라 한다. 

[부분공간 test]  벡터공간 의 이 아닌 부분집합 가 의 부분공간이기 위해서는 임의의 두 벡터 와 임의의 실수 에 대하여, , 을 만족하면 된다. 

[일차결합, linear combination]  에 대하여 의 일차결합은 

             ( )으로 표현되는 를 말한다. 

[일차결합들의 집합, span]   

[일차독립, linear independence]  이 일차독립 

        이면  

[일차종속, linear dependence]  이 일차종속 

      모두는 0이 아닌 스칼라 이 존재하여  

[기저, basis]  가 벡터공간 의 기저 가 일차독립이고  

[차원, dimension]  벡터공간 의 차원은 의 기저 를 이루는 벡터의 개수. dim  

[행공간, row space]  행렬 의 행벡터들의 일차결합을 모두 모은 집합. Row( ) 

                의 행공간  

[열공간, column space]  행렬 의 열벡터들의 일차결합을 모두 모은 집합. Col( ) 

               의 열(column)공간  

[계수, rank] 행렬 의 열(column)공간의 차원. rank( ) dim Row( )=dim Col( ) 

     rank( ) = 1차독립인 행의 개수 RREF( )안의 선행 1 (leading 1) 의 개수. 

*[해공간, solution space] 연립방정식 의 해들의 집합 = null space( ) 

                         null space( )의 차원 = nullity( ) 

[Rank-Nullity 정리]  행렬 에 대하여 rank( ) nullity( )            

[행렬식(determinant)과 고윳값(eigenvalue), 고유벡터(eigenvaector)]         ■ 

Copyright @ 2022 SKKU Matrix Lab. All rights reserved.
Made by Manager: Prof. Sang-Gu Lee, Dr. Jae Hwa Lee, and Dr. Jooyeon Yoo

*This research was supported by the National Research Foundation of Korea (NRF) grant funded by the Korea government(MSIT) (No. 2021R1F1A1046714)
and by Korea Initiative for fostering University of Research and Innovation Program of the National Research Foundation (NRF) funded by the Korean government (MSIT) (No.2020M3H1A1077095).