에 대하여 정의역과 치역의 역할을 바꾸고, 대응 관계를 반대로 거슬러 올라가는 규칙을 의미한다.
의 역함수는
로 나타낸다.
[대학미적분학] 4주차. 역함수, 역삼각함수, 쌍곡선함수, 역쌍곡선함수
4.1 역함수(inverse function)
역함수란 간단히 말해 기존의 함수
에 대하여 정의역과 치역의 역할을 바꾸고, 대응 관계를 반대로 거슬러 올라가는 규칙을 의미한다.
의 역함수는
로 나타낸다.
따라서 다음이 성립한다.
그러나 모든 함수에 대하여 항상 역함수가 존재하는 것은 아니다. 역함수가 정의되려면 치역의 모든 원소에 대하여 정의역의 원소가 하나씩만 대응되어야 하므로, 기존의 함수
는 정의역 내의 다른 원소에 대하여 항상 다른 원소가 대응되어야 한다.
예를 들어, (단조증가) 함수
은 아래 그림과 같이 수평선이 함수
의 그래프와 두 점 이상에서 만나지 않는다. 따라서
의 역함수가 존재한다.
그러나 함수
은 아래 그림과 같이 수평선과 두 점에서 만나는 부분이 있으므로
의 역함수가 존재하지 않는다.
물론 이때에도 함수
의 정의역을 적절히 줄이면,
의 역함수가 존재하게 할 수 있다. 예를 들어, 함수
의 정의역을
으로 제한하면, 아래 그림과 같이 수평선과 한 점에서만 만나게 되므로 역함수가 존재한다. 이후에 학습하게 되는 역삼각함수와 역쌍곡선함수도 이런 방식으로 정의한다.
함수
은 역함수를 가짐을 보여라.
풀이. 
를 이용하여 그려보면
따라서 함수
는 (모든) 수평선과 오직 한 점에서 만나므로 역함수가 존재한다. ■
와
를 교환하는 것은
의 그래프로부터
의 그래프를 얻는 방법을 알려준다.
의 필요충분조건은
이므로 점
가
의 그래프 위에 있을 필요충분조건은 점
가
의 그래프 위에 있는 것이다. 여기서 점
는 점
를 직선
에 대해 대칭시킨 것이다. 따라서 역함수
의 그래프는
의 그래프를 직선
에 대하여 대칭하여 얻는다.
함수
(
)의 역함수를 찾아라.
풀이. 위의 단계에 따라 (1)
라 쓰고, 이를 (2)
에 대해 풀면 다음을 얻는다.
이고 (
이므로)
.
이제 (3)
와
를 바꾸면
이고,
이다. 따라서 답:
(
)이다. ■
다른 교재를 참고하여 다양한 (가역)함수의 역함수를 구하여 공유하시오.
[통영 비진도 산1번지의 오래된 담장 (2022년 1월)]
4.2 역삼각함수(inverse trigonometric function)
역함수는 기존의 함수가 수평선과 두 점 이상 만나지 않는 경우가 존재하므로, (일반적인) 삼각함수
는 역함수가 존재하지 않는다. 그러나 정의역을 적절히 줄이면 (각각의 구간에서) 역함수를 생각할 수 있는데, 사실 이는 실제적인 의미에서 타당하다. (왜냐하면 삼각함수는 주기성이 있으므로 사인함수의 경우 함숫값에 대응하는 일정한 범위 내의 한 각만 알면 주기를 더하여 대응하는 모든 각을 알 수 있기 때문이다. 예를 들어,
인
는
내에서
밖에 없다. 사인함수의 주기는
이므로
(
은 정수)에서도
이 성립한다. 마찬가지로
인
는
내에서
밖에 없으므로
(
은 정수)에서도
이 성립한다. 물론
와
를 하나의 식
(
은 정수)로 표현할 수도 있다.)
의 그래프
은 역함수를 갖는다.
이제 우리는
의 역함수를
또는
로 나타낸다.
같은 방법으로
의 역함수를
또는
로 나타낸다.
의 그래프
은 역함수를 갖는다.
그리고
의 역함수를
또는
로 나타낸다.
의 그래프
은 역함수를 갖는다.
그 외의 역삼각함수는 다음과 같이 정의된다.
①
는
의 역함수
②
는
의 역함수
③
는
의 역함수
역삼각함수
,
,
를 그린 아래 그래프를 보고, 각각의 역함수 모양을 추측해 보세요.
참고: https://www.intmath.com/analytic-trigonometry/7-inverse-trigo-functions.php
그 후 아래 실습실에서
함수 그래퍼: http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher.html
매개변수 방정식 http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-para.html
극좌표 방정식 http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-polar.html
음함수(Implicit Function) http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-imp.html
다양한 함수와 방정식의 그래프를 그려보는 실습을 해보고 느낀점과 시행착오를 공유하세요.
4.3 쌍곡선함수(hyperbolic function)
이 절에서는 삼각함수와 비슷한 성질을 가지는 지수함수들로 정의되는 함수인 쌍곡선함수(hyperbolic function)에 대하여 살펴보자. 쌍곡선 함수는 다음과 같이 정의된다.
,
,
,
순서대로, 쌍곡사인(hyperbolic sine), 쌍곡코사인(hyperbolic cosine), 쌍곡탄젠트(hyperbolic tangent), 쌍곡코탄젠트(hyperbolic cotangent), 쌍곡시컨트(hyperbolic secant), 쌍곡코시컨트(hyperbolic cosecant) 라고 부른다. 예를 들어,
을 “쌍곡사인(hyperbolic sine) x”라고 읽는다.
임에 주의하자. 대표적인 쌍곡선함수의 그래프는 다음과 같다.
(수평점근선)
(수평점근선)
쌍곡선함수의 정의에 의해 다음 성질을 얻는다.
임을 증명하자.
증명.
답: 좌변과 우변의 그래프가 일치하는 것을 확인 할 수 있다.
임을 증명하자.
증명.
답: 좌변과 우변의 식이 일치하는 것을 확인 할 수 있다.
쌍곡선함수의 성질들에 대하여 토론해보시오.
[참고] https://supermemi.tistory.com/62
4.4 역쌍곡선함수(inverse hyperbolic function)
삼각함수에서와 같이 방정식
의 역함수를
에서
로 나타낸 것을 역쌍곡선함수(inverse hyperbolic function)라 한다. 예를 들어
을 “Inverse hyperbolic sine x”라고 읽는다. 이는 공학에서 많이 활용된다. 쌍곡선함수가 지수함수로 정의되었으므로 역쌍곡선함수는 로그함수의 형식으로 다음과 같이 정의된다.
[증명: 
]
예를 들어, (역쌍곡사인) 함수
의 그래프는 다음과 같다.
임을 보여라.
증명.
의 역함수를
에서
라면
, 위 방정식을 이차방정식의 근의 공식을 이용하여 풀면
에서
이므로
의 양변에
을 취하면 다음을 얻는다.
■
# 이 중에서 로그함수의 정의역은 양수이므로, 오른쪽 답만 골라 x 와 y를 교체하면
답: 역쌍곡사인함수 (inverse hyperbolic sine function)
을 얻는다.■
나머지 역쌍곡선함수의 정의에 대해 실습하고 얻은 결과를 공유하세요.
[참고: https://hekbms.tistory.com/410 ]
위의 열린 문제를 풀어본 후, 본인이 요약/실습/질문/답변한 내용을 Q&A(문의게시판)에 공유하시오. 그리고 지난 4주간 QnA에서 학습한 내용을 모아서, 각각의 문제에 대한 정확한 질문과 얻은 결론, 그리고 토론에 참여한 사람들의 이름을 모아 1st PBL 보고서를 제출하시오.
[보고서 양식 (다운로드)] http://matrix.skku.ac.kr/PBL/PBL-Report-Form-Korean.hwp
[Summit One Vanderbilt 전망대, NYC]
Copyright @ 2022 SKKU Matrix Lab. All rights reserved.
Made by Manager: Prof. Sang-Gu Lee, Dr. Jae Hwa Lee, and Dr. Jooyeon Yoo
*This research was supported by the National Research Foundation of Korea (NRF) grant funded by the Korea government(MSIT) (No. 2021R1F1A1046714)
and by Korea Initiative for fostering University of Research and Innovation Program of the National Research Foundation (NRF) funded by the Korean government (MSIT) (No.2020M3H1A1077095).
