6주차. 도함수, 접선의 방정식, 미분 법칙 

 

학습목표 

이번 주차에서는 접선의 방정식, 도함수, 미분, 미분 법칙에 관하여 학습한다. 

핵심개념 

도함수, 접선의 방정식, 미분, 미분 법칙, 중간고사 복습  

(40분) https://youtu.be/269uVGhQg6s  

실습실 

http://matrix.skku.ac.kr/math4ai-intro/W7/ 

http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book1/Ch2/  

 

 

6.1. 접선의 방정식과 미분계수 

다음 질문을 생각해보자! 

 

                ‘점 에서 포물선 에 대한 접선의 방정식을 구하시오.’ 

 

함수 위의 점 에서 접선의 기울기가 임을 알면 다음 공식에 의해 접선의 방정식을 쉽게 구할 수 있다.  

 

                                     

 

우선, 포물선 위의 점 근처에서 한 점 를 선택하여 할선(secant line) 의 기울기를 계산하자. 

 

                          

 

이제 점 를 점 로 이동함에 따라 할선 는 접선에 가까워짐을 볼 수 있다. 따라서 접선의 기울기는 할선 의 기울기의 일 때의 극한으로 정의하는 것이 타당하다.  

 

     그림입니다.
원본 그림의 이름: sage18.png
원본 그림의 크기: 가로 497pixel, 세로 316pixel         그림입니다.
원본 그림의 이름: sage19.png
원본 그림의 크기: 가로 497pixel, 세로 316pixel 

 

즉, 이다. 따라서 포물선 위의 점 에서의 접선의 방정식은 다음과 같다. 

 

        => , 즉, . 

 

                      그림입니다.
원본 그림의 이름: sage20.png
원본 그림의 크기: 가로 493pixel, 세로 316pixel 

 

이제 접선의 기울기에 해당하는 극한을 다음과 같이 정의하자. 함수 의 정의역 내에 속하는 점 에 대하여, 극한값 

 

                           

 

이 존재하면 함수 에서 미분가능(differentiable)하다고 하고, 이 극한값을 에서의 함수 미분계수(differential coefficient)라 하며 로 나타낸다. 미분계수는 접선의 기울기를 나타내므로, 점 에서 함수 의 그래프에 접하는 접선의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.  

 

                                 

 

사각형입니다.  함수 에 대하여 미분계수 를 구하여라. 

풀이.  함수 에 대하여  

              

                  =1/4*sqrt(2) 

이다. 그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000034380009.bmp
원본 그림의 크기: 가로 472pixel, 세로 130pixel를 이용하여 미분계수를 계산하면 다음과 같다.  

 

 

사각형입니다.  함수 에서 미분가능한가? 

풀이.  에서 미분가능의 여부는 다음의 극한의 존재여부와 같다. 

                  

이 극한은 좌, 우극한이 달라서 존재하지 않는다. 따라서 미분가능하지 않다. 

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000034380009.bmp
원본 그림의 크기: 가로 472pixel, 세로 130pixel를 이용하여 계산하면 다음과 같다.  

 

 

사각형입니다.  곡선 위의 점 에서 접선의 방정식을 구하여라. 

풀이.  그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000034380009.bmp
원본 그림의 크기: 가로 472pixel, 세로 130pixel를 이용하여 미분계수를 계산하면 이므로 함수 의 그래프 위의 점 에서의 접선의 방정식은 즉, 이다.  

 

 

 참고   에서 미분가능이면 에서 연속이다. 그러나 역은 성립하지 않는다. 즉 에서 연속이라도 반드시 미분가능인 것은 아니다. [아래 그림 참조] 

 

            묶음 개체입니다. 

 

◩ 열린 문제 1   

다른 교재를 참고하여 다양한 함수의 한 점에서의 접선의 방정식을 구하시오. 

 

 

6.2. 도함수(derivative)와 고계 도함수 

가 어떤 구간의 각 점 에서 미분가능일 때, 는 이 구간에서 미분가능이라고 한다. 이 경우 각 점 에 그 점에서의 미분계수를 대응시킴으로써 정해지는 함수를 도함수(derivative)라 하고 다음 기호들로 나타낸다. 

 

                                   

 

함수 의 도함수를 구하는 것을 미분한다(differentiate)고 하고, 함수 의 도함수는 식 으로 구한다. 따라서 어떤 함수를 미분하여 얻은 그 함수가 도함수이고, 도함수에 변수의 값을 대입하면 그 점에서의 미분계수가 나오는 것이다. 

 

사각형입니다.  에 대하여 를 구하고, 의 그래프를 그려라. 

풀이.  그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000034380009.bmp
원본 그림의 크기: 가로 472pixel, 세로 130pixel를 이용하여 도함수 를 구하고, 의 그래프를 같이 그리면 다음과 같다.  

 

 

함수 의 도함수 가 다시 미분가능이면 그 도함수 2계 도함수(2nd derivative)라 하고 다음과 같은 기호로 나타낸다. 

 

                                 

 

미분계수의 응용인 속도와 가속도는 각각 거리를 나타내는 함수의 1계 도함수와 2계 도함수의 예이다. 같은 방법으로 3계 도함수, 4계 도함수, ... 를 정의할 수 있다. 2계 이상의 도함수를 고계 도함수라고 한다. 

 

사각형입니다.  의 2계 도함수를 구하여라.  

풀이. 이므로 가 된다.  그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000034380009.bmp
원본 그림의 크기: 가로 472pixel, 세로 130pixel를 이용하여 2계 도함수 를 구하면 다음과 같다.  

 

 

◩ 열린 문제 2   

다른 교재를 참고하여 다양한 함수의 도함수와 고계도함수를 구하시오. 

 

 

6.3. 미분 법칙 

이제 미분 법칙에 관하여 설명한다. 이는 모두 극한으로부터 증명가능하다. 상수 와 미분가능한 함수 , 에 대하여 다음이 성립한다. 

 

  ①  

  ②  

  ③  

  ④ , 단  

 

그리고 지금까지 학습한 함수들의 도함수는 다음과 같다. 위의 법칙과 아래 도함수들을 적절히 활용하면, 미분가능한 함수의 도함수를 대부분 계산할 수 있다.  

 

                                       

                                       

                                   

                               

                          

                       

                                 

                   

                       

                 

 

사각형입니다.   을 미분하라. 

풀이. 그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000034380009.bmp
원본 그림의 크기: 가로 472pixel, 세로 130pixel를 이용하여 계산하면 다음과 같다. 

 

 

사각형입니다.   를 미분하라. 

풀이. 그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000034380009.bmp
원본 그림의 크기: 가로 472pixel, 세로 130pixel를 이용하여 계산하면 다음과 같다. 

 

 

사각형입니다.   을 구하여라. 

풀이. 그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000034380009.bmp
원본 그림의 크기: 가로 472pixel, 세로 130pixel를 이용하여 계산하면 다음과 같다. 

 

 

◩ 열린 문제 3   

위에 소개된 공식 또는 다른 교재 및 웹사이트에 소개된 다양한 미분가능한 함수의 도함수와 고계도함수를 구하시오. 

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: 숙제.jpg
원본 그림의 크기: 가로 225pixel, 세로 225pixel
사진 찍은 날짜: 2020년 08월 26일 오후 10:34
프로그램 이름 : Adobe Photoshop CS6 (Windows) 

Week 6 과제 

위의 열린 문제를 풀어본 후, 본인이 요약/실습/질문/답변한 내용을 Q&A(문의게시판)에 공유하시오. 그리고 지난 6주간 QnA에서 협업으로 학습하고, 다른 학생이 <Final OK> 하여 결론을 얻은 내용들을 모아 제출한 1st PBL 보고서의 수정/보완본을 준비된 학생 순으로, 지정해준 시간내에서 발표하고 동료 평가하세요.   

 

[수정본 샘플] http://matrix.skku.ac.kr/2021-W-Final-PBL/  

[학생발표 (응즈웨이, Ng Zhi Wei)] https://youtu.be/a7U99mleObc    

 

   그림입니다.
원본 그림의 이름: 20200421_141812.jpg
원본 그림의 크기: 가로 4032pixel, 세로 3024pixel
사진 찍은 날짜: 2020년 04월 21일 오후 2:18
카메라 제조 업체 : samsung
카메라 모델 : SM-A505N
프로그램 이름 : A505NKSU3BTC6
F-스톱 : 1.7
노출 시간 : 1/1508초
IOS 감도 : 40
색 대표 : sRGB
노출 모드 : 자동
35mm 초점 거리 : 26
프로그램 노출 : 자동 제어 모드
측광 모드 : 가운데 중점 평균 측광
EXIF 버전 : 0220 그림입니다.
원본 그림의 이름: 20200403_185042.jpg
원본 그림의 크기: 가로 4032pixel, 세로 3024pixel
사진 찍은 날짜: 2020년 04월 03일 오후 6:50
카메라 제조 업체 : samsung
카메라 모델 : SM-A505N
프로그램 이름 : A505NKSU3BTC3
F-스톱 : 1.7
노출 시간 : 1/60초
IOS 감도 : 160
색 대표 : sRGB
노출 모드 : 자동
35mm 초점 거리 : 26
대비 : 일반
채도 : 일반
선명도 : 일반
프로그램 노출 : 자동 제어 모드
측광 모드 : 가운데 중점 평균 측광
EXIF 버전 : 0220 

          [책을 펼친 모양의 삼성학술정보관]                      [자연대 로비] 


Copyright @ 2022 SKKU Matrix Lab. All rights reserved.
Made by Manager: Prof. Sang-Gu Lee, Dr. Jae Hwa Lee, and Dr. Jooyeon Yoo


*This research was supported by the National Research Foundation of Korea (NRF) grant funded by the Korea government(MSIT) (No. 2021R1F1A1046714)
and by Korea Initiative for fostering University of Research and Innovation Program of the National Research Foundation (NRF) funded by the Korean government (MSIT) (No.2020M3H1A1077095).