3장

미적분학의 개념  by SGLee

 

1)  http://matrix.skku.ac.kr/sglee/macbook/formandfunction.htm     

2) http://cafe.daum.net/buddha01/MONm/2

3) http://prezi.com/bn9opx-flp2w/presentation/

4) http://prezi.com/gykkoixvtqhe/presentation/

1. 기 원

※ 미분의 의미

현재 학교에서 가르치는 것은 라이프니츠의 미적분이라 할 수 있다. 의 기호는 라이프니츠의 기호이다. 데카르트의 좌표를 이용해 가로를 거리라 하고, 세로를 시간이라 하자. 아래 그림에서 보면 1시간 동안 60를 이동하였기 때문에 평균속도를 라 할 수 있다. 하지만 속도는 계속 변화 하였다. 그렇다면 정확한 속도를 찾는 방법은 무엇일까?

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000f640012.bmp
원본 그림의 크기: 가로 1273pixel, 세로 718pixel

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000f640014.bmp
원본 그림의 크기: 가로 1273pixel, 세로 718pixel

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000f640015.bmp
원본 그림의 크기: 가로 1273pixel, 세로 718pixel

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000f640016.bmp
원본 그림의 크기: 가로 1273pixel, 세로 718pixel

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000f640017.bmp
원본 그림의 크기: 가로 1273pixel, 세로 718pixel

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000f640018.bmp
원본 그림의 크기: 가로 1273pixel, 세로 718pixel

정확한 속도를 구하기 위해 간격을 줄이면 된다. 간격을 줄일수록 정확한 값을 알 수 있게 된다. 순간 속도란 평균속도가 한 없이 가까워지는 어떤 지점을 의미한다. 이것이 라이프니츠가 생각한 미분의 개념이었다.

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000ddc0004.bmp
원본 그림의 크기: 가로 237pixel, 세로 255pixel그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000ddc0006.bmp
원본 그림의 크기: 가로 237pixel, 세로 255pixel그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000ddc0008.bmp
원본 그림의 크기: 가로 237pixel, 세로 242pixel

http://www.geogebratube.org/student/m70806

 

 그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000f940001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 343pixel, 세로 364pixel

http://www.geogebratube.org/student/m80386


즉, 가 점점 에 접근해 가면 두 점 에 의해 결정된 직선은 점 에서만 접한 접선의 기울기가 된다. 그리고 접선의 기울기를 구할 수 있으므로 에서의 접선의 방정식도 쉽게 구할 수 있다.


[Example] Find the equation of the tangent line to the curve at .


Sol) . So the slope of the tangent line is 20.

( passes through ).


[CAS]

f(x)=x^2*sqrt(x);

df(x)=diff(f(x),x);

y(x)=df(4)*(x-4)+32;

y(x)

20*x-48


p1=plot(f(x),x,0,10, color='blue');

p2=plot(y(x),x,0,10, color='red');

show(p1+p2,ymax=50,ymin=-10)


 http://math1.skku.ac.kr/pub/931

 

2. 적 분


어떤 작은 양의 부분들을 전부 합하여 측정된 전체 양에 근사시키는 여러 가지 서로 다른 과정들이 하나의 과정 즉, 적분(잘게 나눈 후 다시 합하는 기술)의 과정에 포함된다는 것은 놀랄 만한 일이다. 면적, 부피, 길이, 압력, 관성능률, 무게 등이 모두 다 그러한 합으로 구해질 수 있다. http://prezi.com/bn9opx-flp2w/presentation/

실생활 속의 수학세상

 

(1) 컴퓨터 단층 촬영(CT)와 적분

 컴퓨터 단층 촬영 장치인 CT는 몸속 장기의 단면을 무수히 잘게 나누어 계속 찍고 단면의 합으로 부피를 구하는 적분의 아이디어를 이용하여 그 사진들을 종합하여 장기의 전체적인 모양을 알아내어 여러 가지 병을 진단하는데 이용된다. 

 과학이 발달함에 따라 컴퓨터를 사용하여 병을 진단할 수 있는 여러 가지 방법이 개발되었다.

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000bb40003.bmp
원본 그림의 크기: 가로 206pixel, 세로 402pixel

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000bb40009.bmp
원본 그림의 크기: 가로 376pixel, 세로 476pixel

http://www.geogebratube.org/student/m67928


.

 그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000bb40008.bmp
원본 그림의 크기: 가로 436pixel, 세로 315pixel  



공학적 도구인 ‘Sage’를 활용해 실제로 기호 (3)을 확인할 수 있다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000fd00874.bmp
원본 그림의 크기: 가로 720pixel, 세로 494pixel

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000fd00001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 720pixel, 세로 494pixel

http://math1.skku.ac.kr/pub/798


[CAS] Find the Riemann sum by using Midpoint rule with given value of to approximate the integral.

,


Sol)

var('i');

f(x)=1/sqrt(1+4*x^2);

sum(0.2*f(0.2*i-0.1),i,1,10)

1.04754618408


http://math1.skku.ac.kr/pub/932


3. 도함수


그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000d5c0001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 436pixel, 세로 518pixel

라고 표기한다면, “순간적인” 면은 에서 까지의 무한소의 변화량인 에 의하여 공식화될 수도 있다. 가 함수 에 의하여 에 의존한다면, 무한소의 변화율은 혹은 (기호를 확장하여) 두 무한소들의 비인 가 된다.그리고 이 에서의 함수 의 기울기가 된다. http://prezi.com/gykkoixvtqhe/presentation/   

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000d5c0003.bmp
원본 그림의 크기: 가로 579pixel, 세로 502pixel

그러한 무한소들은 계산을 빨리 할 수 있게 해 준다. 예를 들어, 이면 순간변화율은



[CAS] 

var('x');

diff(x^2,x)

2*x

http://math1.skku.ac.kr/pub/930



4. 적분학의 기본정리


그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000001900001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 492pixel, 세로 430pixel

 = 그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000001900004.bmp
원본 그림의 크기: 가로 177pixel, 세로 149pixel =

http://www.geogebratube.org/student/m67933


정  리   함수 가 구간 위에서 연속인 도함수 를 가지면


이 성립한다.

우변의 식은 흔히 로 쓰이고, 함수 는 부정적분(indefinite integral)이라 불린다.

[Example] Evaluate the integral.

 


Sol)

                 

                 



[CAS]

var('t')

integral((1+4*cos(t)^2)/cos(t)^2,t,0,pi/4)

pi + 1

http://math1.skku.ac.kr/pub/941



[CAS]

var('t')

integral(sqrt(1-t^2),t,0,1)

1/4*pi

http://math1.skku.ac.kr/pub/940


 

5. 근사와 Taylor급수


그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000001900008.bmp
원본 그림의 크기: 가로 445pixel, 세로 248pixel

http://www.geogebratube.org/student/m92767

1)

(The End)

Image Map Image Map