Week 10 : Chapter 7 차원과 부분공간 part 2

※ 공개된 자료(Published Data) :

앞에서 배운 정사영의 개념을 n-공간 으로 확장하고, 정사영을 이용하여

선형연립방정식의 최적해를 찾는 방법을 소개한다. 그리고정사영에 대응하는

표준행렬도 구한다. 주어진 기저로부터 정규직교기저를 찾는 Gram-Schmidt

정규직교화과정대하여 알아본다. 직교화과정의 지식은 고유값과고유벡터를

이용한 행렬의 대각화로 이어진다.

Section 7.5 정사영 정리

1장에서는 눈으로 확인이 가능한 벡터공간 $R^3$에서의 정사영(projection)을 정의하였다.
이제 정사영의 개념을 $R^n$으로 확장하고 선형변환으로서의 정사영에 대응하는 표준행렬을
생각한다. 이는 Gram-Schmidt 정규직교화 과정과 $QR$-분해의 이론적 기초가 된다.

*7.5절 동영상 강의: http://youtu.be/Rv1rd3u-oYg

 


Alston Scott Householder (1904~1993, American)

 

    $R^2$상의 정사영

정사영(orthogonal projection) 1

 

정사영(orthogonal projection)

표준행렬 1

    표준행렬 1

    표준행렬 2

정사영 2 (일반적인 부분공간)

표준행렬 2 (일반적인 부분공간)

    표준행렬 3

 

 

Section 7.6* 최소제곱해(least square solution)

$A\textbf{x}=\textbf{b}$가 해를 갖는 경우 해를 구하는 방법을 앞에서 학습하였다. 여기서는 정사영을
이용하여 해가 존재하지 않는 경우에도 가장 근사한 해를 찾는 방법을 소개한다.

*7.6절 동영상 문제풀이: http://www.youtube.com/watch?v=BC9qeR0JWis

 

 

Section 7.7 Gram-Schmidt의 정규직교화과정

$R^n$에 대한 모든 기저의 원소 개수는 항상 $n$개이지만, 기저의 모양은 다양하다.
이 절에서는 $R^n$의 모든 (nontrivial) 부분공간은 기저를 가진다는 것을 보이고,
이 기저로부터 정규직교기저를 찾는 방법에 대하여 알아본다.

*7.7절 동영상 강의: http://youtu.be/EBCi1nR7EuE

 

부분공간과 기저

 

직교집합(orthogonal set), 정규직교집합(orthonormal set)

    직교집합과 정규직교집합

직교성과 일차독립

 

직교기저(orthogonal basis), 정규직교기저(orthonormal basis)

    직교기저와 정규직교기저 1

직교기저와 정규직교기저

    직교기저와 정규직교기저 2

직교기저와 정사영

    직교기저와 정사영

 

Gram-Schmidt 정규직교화 과정

    Gram-Schmidt 정규직교화 과정 1

    Gram-Schmidt 정규직교화 과정 2

    Gram-Schmidt 정규직교화 과정 3

 

 

Section 7.8* QR-분해, Householder Transformations

$m \times k$행렬 $A$가 $k$개의 일차독립인 열들을 가지면, 여기에 Gram-Schmidt
정규직교화과정을 적용하여 얻은 정규직교벡터들을 열로 하는 행렬 $Q$를 만들어 행렬
$A=QR$ (여기서 $R$은 상삼각행렬)로 분해가 된다. $QR$-분해는 수치적으로 연립방정식을
풀거나 고유값 및 고유벡터를 구하는데 널리 이용된다. 이 절에서는 $QR$-분해를 간단히
소개한다.

*7.8절 동영상 강의: http://www.youtube.com/watch?v=crMXPi2lgGs

 

 

Section 7.9 좌표벡터

유한차원 벡터공간에서 기저의 개념은 좌표계의 개념과 밀접한 관계가 있다. 지금까지는
$R^n$에서 표준기저에 대한 좌표벡터만 다루어왔다. 이 절에서는 표준기저가 아닌 다른
기저에 대한 (주어진) 벡터의 좌표벡터 표현을 소개한다. 이어서 이 두 표현 사이를
연결시켜주는 행렬을 알아본다.

*7.9절 동영상 강의: http://youtu.be/tdd7gbtCCRg

 

벡터의 좌표

    벡터의 좌표 1

    벡터의 좌표 2

벡터의 좌표

기저의 변환과 전이행렬

    기저의 변환과 전이행렬 1

    기저의 변환과 전이행렬 2

전이행렬의 가역성

    전이행렬의 가역성

 

 

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