Week 15 : Chapter 10 Jordan 표준형(with Sage)

※ 공개된 자료(Published Data) :

 

행렬의 대각화는 복잡한 행렬 계산 과정을 단순화하여 편리한 이론의 전개와 빠른 계산 방법을 제시해준다. 그리고
미분방정식을 풀거나 인구와 날씨 변화를 예측하는 문제와 같이 다양한 문제에 적용된다. 따라서 행렬의 대각화는
수학적 모델로 구성된 현실세계의 문제를 해결하는 데 매우 중요하다. 그러나 모든 행렬이 대각화가능하지는 않다.

이 장에서는 주어진 행렬에 대하여 닮음인 블록대각선행렬 Jordan 표준형을 찾는 방법과 일반화된 고유벡터에 대하여
응용과 함께 배운다.

 

Section 10.1 점도표를 이용한 Jordan 표준형 구하기

주어진 행렬이 대각화가능하다면 이 행렬과 관계된 대부분의 문제는 쉽게 다루어서 원하는 결론을 얻을 수 있다.
그러나 모든 행렬이 대각화가능한 것은 아니다. 이 절에서는 주어진 행렬과 닮음인 대각선행렬과 거의 유사한 행렬인
Jordan 표준형 행렬을 구하는 방법을 소개한다.

*10.1절 동영상 강의: http://youtu.be/NBLZPcWRHYI

 


Marie Ennemond Camille Jordan (1838~1922, France)

 

정사각행렬의 대각화 (복습)

 

Jordan 표준형

Jordan block의 성질

    Jordan 표준형 1

    Jordan 표준형 2

 

Jordan 표준형 구하는 방법

    점도표

점도표 1

점도표 2

    Jordan 표준형 3

    Jordan 표준형 4

 

 

Section 10.2* Jordan 표준형과 일반화된 고유벡터

10.1절에서 $P^{-1} A P = J_A$가 되는 $J_A$를 구하는 이론과 방법을 배웠다. 이 절에서는 $P^{-1} A P = J_A$를 만드는 $P$를
구하는 방법을 살펴보자. 이 과정에서 일반화된 고유벡터를 이용한다.

*10.2절 동영상 강의: http://www.youtube.com/watch?v=yJ7n0icjtNA

 

 

Section 10.3* Jordan 표준형과 컴퓨터 활용

실제로 크기가 10차인 행렬의 Jordan 표준형을 구하기 위한 점도표를 그릴 때, 10차인 특성다항식의 근인 10개의 고유값을
인수분해 또는 근의 공식으로는 찾는 것조차 불가능하다. 더구나 우리는 10차 정사각 행렬의 수많은 거듭제곱과 계수를
구하여야 한다. 계수를 구하기 위해서 수행해야 하는 Gauss 소거법 등의 이런 계산과정은 손으로 해결하는 것보다 HLINPRAC이나
MATHEMATICA 또는 MATLAB, 특히 최근에 웹상에서 자유롭게 사용할 수 있는 Sage 등의 기존의 수학 소프트웨어를 이용하는 것이 불가피하다.

*10.3절 동영상 강의: http://youtu.be/LxY6RcNTEE0

 

 

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