Week 8 : Chapter 6 선형변환

※ 공개된 자료(Published Data) :

 

지금까지 우리는 행렬을 선형연립방정식과 그 해법을 구하는 단순한 도구로 생각해왔다.
이제부터는 행렬을 함수로 생각하여, 부분 공간 사이에 연산을 보존한다는 의미를 갖는 함수인
선형변환으로 생각하고자 한다. 실제로 임의의 선형변환은 정의역과 공역이 되는 벡터공간의
순서기저를 이용하여 대응하는 하나의 행렬로 유일하게 표현될 수 있다. 그리고 이 행렬과 관계된
기본적인 부분공간인 해공간(solution space)과 열공간(column space)은 이 선형변환의 핵(kernel)과
치역(range)이 되어 앞서 제시된 행렬에 관한 논의들이 선형변환으로 그대로 이어지게 된다.
마찬가지로 선형변환의 합성은 행렬의 곱에 해당된다.

이 장에서는 먼저 선형변환의 정의, 성질과 그 기하학적 의미에 대하여 알아보고 이런 선형변환이
컴퓨터 그래픽이나, 전자 신호의 전송에서 생기는 잡음의 필터링 등을 분석하는 데 어떻게 사용되는지
알아보도록 하자.

 

Section 6.1 함수(변환)로서의 행렬

행렬은 선형성이라는 성질을 갖는 특수한 함수이기도 하다. 이런 함수는 수학, 물리학,
공학적 제어이론, 이미지처리, 음향신호, 컴퓨터그래픽 등 과학 및 일상생활의 여러 분야에서
매우 중요한 역할을 한다.

*6.1절 동영상 강의: http://youtu.be/Yr23NRSpSoM

 


Robert Hooke FRS (1635~1703, England)

 

변환(transformation)

 

선형변환(linear transformation)

    선형변환 1

    선형변환 2

    선형변환 3

 

특수한 선형변환

    선형변환 4

    선형변환 5

선형변환의 성질 1

선형변환의 성질 2

선형변환의 성질 3

    선형변환 6

 

 

Section 6.2 선형변환의 기하학적 의미

이 절에서는 선형변환이 주는 기하적 의미를 학습한다. 주어진 이미지에 작은 변화들을
주어 만들어진 여러 개의 이미지들을 연속하여 보여주면 동영상이 만들어진다.
선형변환은 컴퓨터그래픽과 수치적 알고리즘에 응용되며 애니메이션과 같은 영역에
절대적으로 필요한 도구이다.

*6.2절 동영상 강의: http://youtu.be/12WP-cb6Ymc

 

    $R^2$에서 $R^2$로의 일반적인 선형변환

    회전, 대칭, 정사영

    대칭변환 1

    대칭변환 2

    정사영

 

isometry

isometry

 

직교행렬(orthogonal matrix)

    직교행렬 1

    직교행렬 2

직교행렬 1

직교행렬 2

 

 

Section 6.3 핵과 치역

선형변환의 이미지가 영벡터인 정의역($R^n$)의 부분집합이 부분공간이 됨을 보이고
이 부분공간이 갖는 성질을 알아본다. 또 모양은 다르지만 구조가 같은 부분공간들을
한 번에 설명할 수 있게 하는 선형사상을 소개한다.

*6.3절 동영상 강의: http://youtu.be/H-P4lDgruCc

 

핵(kernel)

    핵 1

 

단사(1-1, one-to-one, injective)

전사(onto, surjective)

단사

    단사 1

    단사 2

 

벡터공간과 핵

    핵 2

 

치역, 동형사상(isomorphism)

    치역 1

    동형사상

치역

    치역 2

행렬변환과 단사, 전사

    행렬변환

행렬변환의 단사-전사 조건

가역행렬의 동치정리(선형변환 조건 포함)

 

 

Section 6.4 선형변환의 합성과 가역성

이 절에서는 두 개 또는 그 이상의 선형변환들이 연속적으로 수행되는 합성변환
문제를 행렬의 곱과 연계하여 학습하고, 역함수와 행렬의 역행렬을 연계하여
선형연산자의 기하학적 성질을 학습한다.

*6.4절 동영상 강의: http://youtu.be/qfAmNsdlPxc

 

선형변환의 합성

선형변환의 합성과 단사-전사 조건

선형변환의 합성과 표준행렬

    선형변환의 합성 1

    선형변환의 합성 2

가역변환의 필요충분조건

가역변환의 선형성

 

 

Section 6.5* 컴퓨터 그래픽

컴퓨터 그래픽은 자동차 설계나 비행 시뮬레이션, 게임 산업에서 핵심적 역할을
하고 있다. 예를 들면 자동차 모형과 같은 3차원 물체의 주요 데이터(점의 좌표)는
행렬로 저장된다. 이 점의 위치를 변환시키면, 생성된 새 점들로부터 변환된 물체를
다시 그릴 수 있다. 만약 이 변환들이 선형변환이면 변환된 데이터들은 행렬들의
곱셈에 의해 쉽게 얻어진다. 이 절에서는 컴퓨터 그래픽에 사용되는 몇 가지 기하학적
변환을 살펴보자.

*6.5절 동영상 강의: http://youtu.be/VV5zzeYipZs

 

 

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