Week 9 : Chapter 7 차원과 부분공간 part 1

※ 공개된 자료(Published Data) :

 

$n$차원 공간의 차원의 개념과 구조는 우리에게 익숙한, 기하학적 아이디어를 이용한 시각화와
데이터의 효과적인 분석을 통하여 데이터 구조에 대한 빠른 이해를 가능하게 해 준다. 궁극적으로
선형대수학의 모든 응용은 어떤 식으로든지 차원과 부분공간의 아이디어를 이용한다.

이 장에서는 먼저 기저와 차원을 정의하고 그 성질에 대하여 연구한다. 그리고 행렬의 기본공간인
열공간, 행공간, 영공간에 대해서 학습하고 차원정리를 유도한다. 또 정사영을 표현하기 위하여 공간의
정규직교기저를 구하는데 이를 위하여 Gram-Schmidt 정규직교화 과정, QR분해 등을 학습한다.
이는 최소제곱해를 구하는 데 이용된다.

 

Section 7.1 기저와 차원의 성질

표준기저는 배웠고, 이제 차원의 개념을 설명할 것이다. 우리는 공간에 시간의 축을 하나
보태어 4차원이라는 개념을 배웠다. 그렇다면 수학적으로 벡터공간의 차원은 어떤 의미를
갖는가? 이 절에서는 $R^n$을 생성하는 일차독립 집합으로부터 기저와 차원을 정의하고,
그 성질을 학습한다.

*7.1절 동영상 강의: http://youtu.be/172stJmormk

 


John von Neumann (1903~1957, Hungarian-born American)

 

기저(basis)

    기저 1

    기저 2

    $R^n$상의 벡터들의 일차독립성을 보이기

일차독립 1

    일차독립

    기저 3

기저와 일차독립

기저 1

 

차원(dimension)

기저 2

    기저 4

기저 3

    기저 5

 

 

Section 7.2 행렬이 갖는 기본공간들

하나의 $m \times n$행렬은 행공간, 열공간, 영공간, 고유공간 등 네 가지의 중요한
부분공간을 갖는다. 이 부분공간들은 행렬 $A$와 관련된 다양한 대수적, 기하학적 성질,
선형연립방정식의 해공간들을 규명하는 도구가 된다. 이 절에서는 영공간의 기저를 찾는
방법과 행공간, 열공간 사이의 관계에 대하여 알아본다.

*7.2절 동영상 강의: http://youtu.be/8P7cd-Eh328

 

고유공간(eigenspace), 영공간(null space)

해공간의 기저와 차원

 

영공간의 차원(nullity)

    영공간의 차원 1

    영공간의 차원 2

 

행공간(row space), 열공간(column space)

행공간과 열공간

    행공간과 열공간 1

    행공간과 열공간 2

 

계수(rank)

주어진 행렬의 기본공간들 사이의 관계

 

 

Section 7.3 차원정리(Rank-Nullity 정리)

우리는 행렬 $A$의 영공간, 행공간, 열공간 등에 대하여 알아보았다. 이 공간들의
차원과 행렬 $A$의 크기와의 관계에 대하여 알아본다.

*7.3절 동영상 강의:
http://youtu.be/bM-Pze0suqo
http://youtu.be/f3P4gfDVd8M

 

차원정리(rank-nullity theorem)

    차원정리 1

    차원정리 2

연립방정식이 해를 가질 조건

    연립방정식이 해를 가질 조건

 

초평면(hyperplane)

초평면

 

 

Section 7.4 Rank 정리

모든 행렬 $A$의 행계수와 열계수는 언제나 같으므로 7.3절에서 이를 행렬 $A$의
계수(rank)로 정의하였다. 이제 계수와 부분공간의 차원 사이의 관계를 알아보자.

*7.4절 동영상 강의:
http://youtu.be/8P7cd-Eh328
http://youtu.be/bM-Pze0suqo
http://youtu.be/f3P4gfDVd8M

 

차원의 기본정리

rank 관련 정리 1

rank 정리

rank 관련 정리 2

    rank 정리

부분공간 관련 정리

rank 관련 정리 3

rank 관련 정리 4

rank 관련 정리 5

가역행렬의 동치정리 (rank 포함)

 

 

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