행렬함수(Function of Matrices)

                                                                이상구 교수

 

 

 

함수  와  같이 변수 대신에 행렬 를 변수로 하는 함수 는 생각할 수 없을까? 

이번에는 행렬을 다항식에서의 변수처럼 취급하여 행렬 함수를 정의하고 급수(matrix series)를 정의하고

(1) Cayley-Hamilton 정리를 증명하며,

(2) 이 결과를 이용하는 다양한 예를 통하여 행렬의 강력한 의미를 되새기도록 해보자.

  (아래 자료는 기존의 강의 자료를 누구나 이해 할 수 있게 다시 정리한 것입니다.)

 

 

1. Introduction


   정사각행렬의 거듭제곱(power)은 행렬과 닮음인 대각선 행렬을 이용하여 쉽게 얻을 수 있다는 것을 본 적이 있다.  행렬의 거듭 제곱은 행렬 함수(matrix function)의 연구에 각별하게 이용된다.  한 예로 행렬의 거듭제곱(positive power)을 이용하여 다음의 멱급수(power series)를 생각해 보자.

    과                    (1)

  이 식이 어떻게 성립하는지(well-defined)는 다음 절에서 다룰 것이다. 행렬이 대각화 가능 행렬이라면 이 과정은 아주 쉽게 전개된다. 그런데 모든 행렬이 대각화 가능하지는 않다. 따라서 거듭 제곱을 이용하는데 좀 더 일반적인 방법이 요구된다. 우선 다음 절에서 배울 Cayley-Hamilton 정리(C.H.T)에서 행렬의 거듭 제곱과 다항식과의 관계를 볼 수 있다.

 

 

2.  Cayley - Hamilton 정리


“ n차의 정사각 행렬 에 대하여 라는 Cayley - Hamilton 정리를 풀어쓰면 “모든 정사각행렬은 각자의 특성 방정식을 만족한다”는 의미이다. 다시 말하면

                     

 

(2)

가  n차의 정사각 행렬 의 특성 방정식이라고 하면

                                        

                                       where  는 order가 n인 영행렬를 만족한다는 것이다.

우리는 이 정리의 기원을 다음 분석을 통해 살펴 볼 수 있다.

(3)

 로부터 다음을 얻는다.

(4)

(5)

만약 의 고유벡터라고 하고 를 그에 대응하는 의 고유값이라고 하면

                                      그리고

(6)

                                     

(7)

따라서 식 (6)에 의해

                                     

(8)

이고  (8) 의 우변의 각 항을 (7)에 의해 바꾸면

                                     

                                                  =   이다.         (여기서 zero vector 이다)

(9)

(10)

만약 가 n 개의 서로 다른 고유값을 가지면  n 개의 일차독립인 고유벡터 이 존재한다. 이 벡터들로 만들어진 가역행렬을

                                      라 하면                             

(11)

그러면 (10) 은 다음과 같이 표현될 수 있다

                                     

(12)

왜냐하면 각각의 는 일차독립이고 가 존재하므로

(13)

또는 이다.

(14)

이것이 Cayley-Hamilton 정리의 특수한 경우에 대한 증명이다.

  즉, 위의 증명은 가 서로 다른 고유값을 가지는 경우의 증명일 뿐이다. 이제  Cayley-Hamilton 정리가 order 가 n인 모든 행렬 에 의해서도 성립하는 것을 보일 것이다, 우선 [즉, 의 각 성분의 cofactor들로 이루어진 행렬의 전치행렬],  는 차수가  n 인 다항식이고 하나의 행과 열을 빼고 (n-1)x(n-1) 행렬의 행렬식을 성분으로 하는 행렬 의 성분이 각각 차수가 n-1 인 다항식으로 표현되므로, 전체 행렬은 계수들을 행렬의 성분으로 하는 차수가 n-1 인 행렬다항식로 나타 낼 수 있을 것이다.  따라서

                                       =

(15)

where 의 성분에 의해 결정되는 order 가 n 인 행렬이다.

행렬의 성질   = 에  대신 를 대치하면

                                         = =

(16)

그리고

(17)

따라서                          

                                    

                                    

                                                     ˙

                                                     ˙

                                                     ˙

                                  

(18)

첫 번째 방정식에 을 곱하고 두 번째 방정식에 을 곱하고 이 과정을 반복한다.  마지막 방정식에 항등행렬 를 곱하면 다음을 얻는다.

                                                         

(19)

또는                                                                  

(20)

                                         

이것으로 일반적인 Cayley Hamilton 정리는 증명 된 것이다. 다음 예를 통하여 Cayley Hamilton 정리가 어떻게 이용되는 지를 확인해 보자.

 

 

 Example 1

다음과 같은 행렬에서             

(21)

 

 

특성 방정식은 다음과 같다.      

(22)


Cayley Hamilton 정리에 의하여 는 다음을 만족한다.

     여기서 은 2차 영행렬 

(23)

이것으로 우리는 을 쉽게 계산 할 수 있다.

 

(24)

을 계산하면

                                      

                                      =

(25)

 

(26)

마찬가지로 

 

                                 

                                 

                                

(27)

(28)

(29)

 

(30)

또한 는 가역(non-singular)행렬 이기 때문에 을 곱하면 (23)은 아래 같이 쓰여진다.

                                           

(31)

이것은 다시

(32)

 

(33)

이것은 역행렬을 구하는데 아주 유용하며 그것의 고차 negative power 에도 적용된다.

                  

                                       =

                                     

                                      

                                      =

(34)

                                  

(35)

모든 의 정수의 거듭제곱은  의 일차 결합과  로 표시 될 수 있다.

즉                                                                      

                                              : numerical 상수

(36)

이 결과는 order 가 2인 모든 행렬에도 성립하고 3절에서 를 구하는 방법을 보게 될 것이다.

 

 

 Example 2

아래의 행렬은


                                                                           (37)


다음과 같은 특성 방정식을 갖는다.

                                                               (38)


Cayley-Hamilton 정리에 의해


                                                         (39)

마찬가지로 을 구해보면


                                             (40)


                                         (41)


                          =                                       (42)


                           =          (43)


                        


또한 A 가 가역행렬이기 때문에 을 계산하면


                             에서                            (44)


                                                                  (45)


                                                                         (46)

따라서 더 높은 의 정수 거듭제곱을  구하면 다음과 같은 식이 된다.


                                                                       (47)

여기서    이고 는 numerical 상수

 

 

3.  행렬의 거듭제곱(Power of matrices )


앞의 두 예는 첫 번째                         (A: 2by2 는 행렬)     (48)      

                   두 번째                 (A: 3by3 행렬)     (49)

을 보여줬다.


Cayley-Hamilton 정리를 이용하면 order 가  n 인 모든 행렬 의 어떤 거듭제곱 도 쉽게 다음과 같이 표현 할 수 있음을 찾게 된다.


즉,                                                  (50)


예 2에서 보여주었듯이 상수 를 구하려면 Cayley-Hamilton 정리를 반복해서 이용하는 것이 요구된다. 우리는 여기서 이 상수를 구하는 두 개의 과정 (서로 다른 고유값을 갖는 경우와 중근을 갖는 경우의 해법)을 줄 것이다. 우선은 쉽게 2차 행렬의 경우만 다루고 크기가 n 인 행렬의 경우 해법은 이 장의 문제 4, 5에서 부분적으로 다루기로 하자.  2차 행렬의 특성 방정식 는 이차형식(quadratic form)이다. 그러므로 만약 을  로 나누면 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

                                                                            (51)

   여기서   : (quotient)  다항식, : 차수가 1 이하인 나머지(remainder) 다항식 차수가 1 이하인 나머지(remainder) 다항식을   로 두면 = 0 이고 (51) 과 (52)를 사용하면

                                                                                      (53)

                                         

라고 가정하면 (53)의 두 방정식의 값이 유일하게 결정된다. 행렬 에 대한 (51) 의 유사한 결과로


                                                                       (54)


이 성립하는데 Cayley-Hamilton 정리에 의해 이다. 따라서


                                                                       (55)


이고, 이것은 (48) 의 결과와 같다. 여기서 값이 연립방정식 (53)의 해가 되는 것이다.

 

 Example 3

다음과 같은 행렬 에서  을 계산하면


그리고 의 고유값()을 계산하고 (53)을 이용해서 를 구하면

                    

                                                                        (58)

                                   

                                                             (59)

따라서

                                                                                     (60)

                                              (61)

같은 방법으로

                                  라 하면

는 (63)의 해이다.

                                                                                          (63)

                                                     

(63)을 풀면 이다.                                            (64)

그러므로

                          (65)

마지막 예 경우 의 고유값은 서로 달랐다. 이것은 두 개의 고유값을 가진 행렬에 대해 이 (53)의 상수 의 유일한 값들이 어떻게 결정되는지 물어보는 것은 당연하다.


이 방정식 = 의 중근이라 가정하면

                                                            (66)

(51)을 에 관해 미분하면

                                   (67)

을 얻는다. 라 놓으면 (16)을 사용해서 다음을 얻는다.

                                                                               (68)

방정식을 합쳐보면

                                                                                       (69)

                                

의 값이 유일하게 결정하고 두 개의 방정식이 같으면 (53)으로 대치할 수 있다.

 

 

 Example 4

다음 행렬을 보자.

               

(70)

여기서    (중근) 이다 .  그러므로

              

                where 는 (72)의 해이다.

(71)

              

             

이것을 풀어보면             = ,       

(72)

(73)

 그러므로

              

              

그리고             

              

 

 

(74)

 

 

(75)

 

 

(76)

order가 n 인 행렬에 대한 분석은 이미 언급된 2차 행렬을 통하여 조금씩 얻어진다. 더 자세한 내용은 마지막 문제 7, 8에서 찾을 수 있다.

 

 

4. 행렬 멱 급수 (Matrix power series)


1절에서 행렬 함수 중 멱급수(power series)는 나중에 고려된다고 지적했었다. 여기서는 가능하면 증명은 없이 결과만 간단히 소개하도록 하겠다.

만약 가 복소수라고 가정하면 다음 급수

(여기서 은 실수 계수)

의 합으로 절대 수렴 (absolute convergence)  할 것이다. (절대수렴)

 

만약

                                  (D'Alembert's ratio test )

(77)

 그리고 또한                                

                                

(78)

(79)

라고  가정한다면 수렴하게 될 것이다.

가 복소수이기 때문에 (78) 은 원점을 중심으로 하고 지름을 로 하는 원으로 정의된다.  급수는 이 원 내부의 모든 z 의 대해서는 수렴하고 원 밖의 점에서는  수렴하지 않는다. 예를 들어 다음 급수

                                 

(80)


는 지름이 인 원을 수렴 원으로 갖는다.

                                

(81)

그리고  이 (81)인 경우에는 급수는 언제나 절대 수렴한다. (80)에서 의 멱급수라는 것을 쉽게 알 수 있다. 반면에 다음 급수

                                

                                                        

(82)

 

(83)

는  일 때 절대 수렴한다. 이러한 값에 대해서 급수는 의 함수로 표현된다. 멱급수 는 다음과 같다.

                               

(84)

이런 행렬 분석에 따라 기본적으로 다음의 정리 하나를 증명 없이 진술 할 수 있다. 행렬 의 모든 고유값이 멱급수의 수렴 원  안에 있다면 행렬 멱급수

 


는 행렬 함수 에 절대 수렴한다. 그러나 만일 의 고유값 하나가 수렴 원 밖에 있다면 (85) 는 발산한다. 예를 들면,  function     이   모든 에 대해 수렴하기 때문에  행렬 함수 (86), (87), (88) 은

                                

(86)

                                                               

(87)

                               

(88)


이고 모든 행렬 함수에 대해 성립한다. 마찬가지로

                              

(89)


또한       이므로

                               그리고

                              

(90)

(91)

 

의 역행렬은 존재하고 는 가역행렬이다.

주의 할 점은 이지만 일반적으로  가 되지는 않는다. 이것은 (86) 에 의해

                              이지만

(92)

                               이기 때문이다.

(93)

 그런데 가 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않으므로, 

                               term of higher order

(94)

이다. 결과적으로 만약 가 교환법칙이 성립하면 그 때에만 가 성립한다는 말이다. 즉, 두 행렬의 곱의 교환법칙이 성립할 때 두 행렬 function의 곱을 다룰 수 있다.   예를 들어 가  곱의 교환 법칙이 성립할 때는

                              가 성립한다

(96)

 


이제 행렬 함수가 Cayley-Hamilton 정리에 의해 어떻게 단순화되는지 알아보자.

 

 

 Example 5

 가 매개변수라 하고

           인    를 계산하면

(97)

                              

                                     

(98)

의 특성 방정식

         

(99)

따라서 Cayley-Hamilton 정리에 의해

         

(100)

(100) 에 의해

         

(101)

(101) 과 (98)을 사용하면

            

              

               

(102)   

 

(103)

(104)

그러므로

               

(105)

 

 

 Example 6

  일 때 ( 는  매개변수 )     를 계산하여라

(106)

Cayley-Hamilton 정리에 의하여

                   

(107)

그러므로

                   

(108)

따라서

                   

(109)

을 계산해서 (109)에 대입하면 다음을 구할 수 있다.

                                           

(110)

                        

(111)

 

 Example 7

 에 대하여 을 계산하여라.       

(112)

 

예제 4에서 봤듯이

                                 

(113)

따라서

                               

(114)

따라서 (114)를 사용하면

                                   

(115)

                                     = 

(116)

                                      =

(117)

 

 

 

 Example 8

우리는 앞의 장에서 다음 급수 이 function 로 수렴하는 사실을  알고 있다.( ) 그러므로 행렬 멱급수

                   

(118)

는 moduli 〈 1 인 의 고유값을 줄 수 있다.

행렬         

(119)

는 고유값이 이고 다음을 만족한다.

                    

(120)

또한 두 고유값이 같기 때문에 (69)를 사용해서 상수 를 구할 수 있다. = 이기 때문에

                   

                    따라서   

                    

(121)

(122)

(120) 과 (121)을 사용하면

                  

(123)

따라서 (118)을 사용하면

                  

(124)

(124)를 간단히 하면 (125)를 얻을 수 있다.

                 이고

(125)

                

                

(126)

(127)

 

 

위에서 행렬 멱급수가 Cayley-Hamilton 정리를 이용해서 어떻게 계산되는지를 소개했다. 그러나 행렬 멱급수를 계산하는 위에서 보여준 방법은 대각화 가능한 행렬에 대해서만 존재한다. (모든 행렬에 적용되는 일반적인 해법은 위의 해법과 유사하게  Jordan Canonical Form을 이용하여 얻을 수 있다.)

                               

(128)

                                 where   는 대각행렬인데 그것의 각각의 원소들은 갖고의 고유벡터로 만든 행렬이다. 그러면

 

                              

                              

(129)

따라서  해석함수(analytic function) 에 대해서 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

                                 where 는 A의 고유값

(129)

(130) 에 의해 우리는 대각화 가능한 행렬 를 구할 수 있다.

                              

(130)

 

 

 

5.  결론


이제 우리는 행렬을 일반적인 문자처럼 취급하여 대수적인 계산을 쉽게 적용할 수 있게 되었다. 그러나 이장에서 사용되는 행렬들이 대부분 크기가 같은 행렬들만 사용하였다. (그 이유는 바로 행렬의 덧셈과 곱셈을 크기가 같은 행렬에서만 연산이 가능하기 때문이었다.) 또한 행렬 사이의 가환성이 얼마나 중요한 조건인지도 알게 되었다. 결과적으로 우리는 행렬을 변수로 하는 행렬함수의 정의와 그 다양한 이용을 보았으며 Jordan Canonical Form를 왜 학습해야하는지도 알게 되었다.

 

 


(성균관대 선형대수학 연구실)

이상구교수의 읽고 보는 수학 자료실 (http://matrix.skku.ac.kr/sglee)

         ⓒ 2003 Prof. S.G.Lee, Dept. of Math of SungKyunKwan University