* 행렬의 대각화를 이용한 미분방정식의 해
자연과학과 공학의 많은 문제들은 다음과 같은 일계 미분방정식들의 연립방정식을 푸는 수학적 문제로 바꿀 수 있다.
(1)
여기서, 이다.
방정식 (1)의 해는 축의 임의의 구간에서 정의된 모든 에 대하여 방정식 (1)을 만족하는 모든 미분가능한 함수들의 개의 순서조 () 이다.
이 절에서는 식 (1)의 계수행렬 가 대각화가능한 경우에 행렬의 대각화를 이용하여 연립방정식을 푸는 방법에 대하여 알아본다. 가 대각화가능하지 않은 경우는 Jordan표준형을 이용하여 해를 구할 수 있다. Jordan표준형은 8.4절에서 다룬다.
이라 하면이므로
(2)
로 쓸 수 있다. 식 (2)의 가장 단순한 형태는 가 대각행렬
인 경우이다. 이 경우 는 독립적인 개의 연립방정식들로, 다음과 같이 나타내어진다.
(3)
여기서 번째의 방정식인 의 일반해는 ( 는 임의 상수)이므로 방정식 (3)의 일반해는 다음과 같음을 알 수 있다.
(4)
【예제 1】 다음 초기조건 를 만족하는 연립미분방정식의 해를 구하여라.
풀 이 식 (4)로 부터 위의 연립 미분방정식의 일반해는
이고, 이므로 이다.
따라서 구하고자 하는 해는 다음과 같다.
¶
보다 일반적으로 가 대각행렬이 아닌경우 연립미분방정식
(5)
를 푸는 방법은 를 치환하여 계수행렬이 대각행렬인 새로운 연립미분방정식으로 변환시키는 것이다. 이 새로운 연립 방정식의 해는 식 (4)와 같이 쉽게 구할 수 있고, 이 치환 과정을 역으로 하면 원래 문제의 해를 쉽게 얻을 수 있다.
이제, 계수행렬 가 대각화가능할 때, 이러한 과정이 어떻게 이루어지는지 살펴보자. 정리 6.1에서 보았드시 가 대각화가능할 필요충분조건은 가 자신의 고유값 에 대응하는 개의 일차독립인 고유벡터 을 갖는것이다. 이 때
,
이라 하면 이므로 이고,로 치환하면 의 원소들은 상수이므로 이다. 따라서 식 (5)로부터
이고, 다음과 같이 계수행렬이 대각행렬인 새로운 연립미분방정식을 얻는다.
(6)
따라서 식 (6)의 일반해는 식(4)와 같이
이다. 그런데 이므로 원래의 미분방정식 의 일반해는
이다. 즉,
(7)
이상으로부터 다음 정리를 얻는다.
정리 6.8 대각화가능한 차의 정사각행렬 의 고유값 에 대응하는 일차독립인 고유벡터를 각각 이라고 하자. 그러면 의 해는 다음과 같다.
【예제 2】 초기조건 을 갖는 다음 연립미분방정식의 해를 구하라.
(8)
풀 이 계수행렬
의 고유값은 이고, 이에 대응하는 의 일차독립인 고유벡터로 각각
,
를 얻을 수 있다. 따라서 정리 6.8에 의하여 이 미분방정식의 일반해는
즉,
여기에 을 대입하여 를 구하면 이다. 따라서, 식 (8)의 해는 다음과 같다.
¶
【예제 3】 다음 연립미분방정식을 풀어라
(9)
풀 이 계수행렬
의 고유값은 이고, 이에 대응하는 의 일차독립인 고 유벡터로 각각
를 얻을 수 있다. 따라서 일반해는 다음과 같다.
일반적으로, 상수계수를 갖는 계 선형미분방정식
(10)
에서
로 치환하면, 선형미분방정식 (10)을 연립미분방정식 로 변환할 수 있다. 여기서, 계수행렬 와 벡터 는 다음과 같다.
,
【참 고】위의 행렬 를 다항식 의 동반행렬 (Companion matrix) 이라 한다. 행렬 의 특성 방정식은 바로
이다. 또, 위의 다항식 같이 최고차항의 계수가 1인 다항식을 모닉(monic)다항식이라고 한다.
【예제 4】 다음 미분방정식을 풀어라
(11)
풀 이 계수행렬
의 고유값은 이므로 는 대각화가능하고, 이러한 고유값에 대응하는 의 일차독립인 고유벡터로 각각
를 얻을 수 있다. 따라서 에 대하여 의 일반해는 정리 6.8에 의하여
이고, 식 (11)의 일반해는 이므로 다음과 같다.
¶
연습문제
[1-4] 다음 미분방정식을 풀어라.
1. 2.
3. 4.
[5-8] 아래 초기조건에 대하여 다음 초기값 문제를 풀어라.
5. 6.
7. 8.
[9-12] 다음 미분방정식을 풀어라.
9.
10.
11.
12.
13. 미분방정식 의 모든 해는 임을 보여라.
[힌트: 를 해라 하고 가 상수임을 밝혀라.]
14. 주어진 모닉(monic)다항식의 동반행렬의 특성방정식은 원래의 다항식임을 보여라.
답 안
1
또는
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
따라서
14. 이고 이므로 이다.
그러나 이다.