square65_blue.gif 6.1 Introduction

     

    우리는 앞에서 여러 가지 linear system에 해법을 배워왔다. linear system을 효과적인 방법으로 해결하기 위해서는 실제로 여러 가지 Solution이 쓰이며 이를 위하여 LU-Decomposition과 QR-Decomposition의 방법들을 이용할 수 있었다.

    이번 장에서는 를 해결하는 linear system의 해결법을 연구해보고, 앞에서 이용했던 여러 가지 해결법을 바탕으로 어떠한 모델에 적용할 수 있는지 알아보고, 그에 대한 Application에 대해서 알아보자.

    사실 위의 linear system을 풀기 위해서 이용되는 가장 중요한 정리로는 Cramer의 법칙이 있다. 이는 가장 정확한 값을 우리에게 제공해 줌으로서, 위의 linear system을 풀 수 있는 좋은 방안을 제공해 준다. 그러나 이 방법은 시간적으로나 앞세서 소개했던 Algorithm중에서 낭비가 심한 Algorithm일 수밖에 없다.

    따라서 우리는 이러한 linear system의 해결의 방법에 대하여 저번 장에서 소개한 LU-Decomposition과 QR-Decomposition의 방법을 이용하여 위의 내용을 해결해 보도록 하자.

     

bar01_dot1x1_black.gif

square65_green.gif 6.2 Basic Result on the Existence, Uniqueness, and Invariant Solution

     

    일반적으로 다음과 같은 nonhomogeneous system을 생각해 보자.

    이러한 system은 의 형태로 쓸 수 있다. 이 경우, 우리는 이 해의 존재성을 다음과 같이 생각해 볼 수 있다.

    • 유일한 해 가 존재한다 : 위의 linear system은 consistent하다.
    • 유일한 해가 존재하지 않는다 : 위의 linear system은 inconsistent하다.

    따라서 nonhomogeneous system에서 해가 존재할 조건을 들자면 다음과 같다.

dia_brown.gif Theorem 6.2.1

  1. 가 consistent하다는 것은 란 의미이다.
  2. 행렬의 column vector가 모두 linearly independent하다면 이에 대응하는 linear system은 unique한 solution을 가지며, 그렇지 않고 linearly dependent하다면 무한히 많은 해를 가지게 될 것이다.

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dia_brown.gif Notes

일반적으로 homogeneous system(위에서 이다.)에서는 이라면 항상 해가 된다. 이 해를 trivial solution이라고 한다.

    Homogeneous System에서는 그 해를 가질 조건이 더 복잡하게 구성될 것이다.

dia_brown.gif Theorem 6.2.2

  1. 이 nontrivial solution을 가질 필요충분조건은 의 column이 linearly independent이기 때문이다. 또한 이 nontrivial solution을 가진다는 이야기는 동시에 수많은 해를 가진다는 이야기와 같다.
  2. 만일 가 정사각행렬이고, nontrivial solution을 가진다면 는 singular matrix가 된다.

    통상적으로 를 푸는 과정에서 그 해인 값도 그 값이 유일하게 결정된다면 Gaussian Elimination에서 보여 주었던 Row Operation에 대해서도 도 유일한 해를 가지게 된다.

     

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square65_orange.gif 6.3 Some Applications Giving Rise to Linear System Problems

     

    이제 위의 내용을 실제로 어떠한 분야에 활용할 수 있는지를 고려해 보도록 하자.

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    6.3.1. An Electric Circuit Problem

    문제 : 위와 같은 회로도가 있다. 위의 회로에 대하여 회로안에 흐르는 전류 전체를 측정하자.

    이러한 문제의 경우, Kirchhoff의 법칙을 이용하여 모든 전류의 합은 항상 0이 되어야 한다는 법칙을 이용하여 몇 개의 식을 세워보면 된다. 단, 위의 회로는 상당히 복잡하므로, 부터 까지의 지점 대해서 각각의 식을 세워 보도록 하자. 예를 들어 지점의 흐르는 전류를 보도록 하자.

    그리고 마찬가지로 에 대해서도 을 구할 수 있다. 그리고 에 대해서 생각해보면,

    ,

    이므로 이 둘은 생각할 필요가 없다. 자 이제 위의 회로에서 크게 도는 과 작은 원들인 , 를 생각해보자. 큰 원의 경우에는 100V가 가운데 있으므로,

    그리고 두 개의 작은 원은 다음과 같다.

,

    위에 나온 식 중 의 경우 두 가지를 제외하면 우리는 위의 값들을 이용하여 새로운 선형연립방정식을 구성할 수 있다. 바로 그 linear system을 기술하면 다음과 같다.

    위의 선형연립방정식을 푸는 방법은 우리가 이제까지 보아온 프로그램을 적극적으로 이용하면 된다. 예를 들어서 여기에서는 자바를 이용한 행렬계산기를 이용해 보도록 하겠다.

[연립방정식 풀이용 Applet : LinearSolver.html]

    6.3.2. Analysis of a Processing Plant Consisting of Interconected Reactors

    수학적 모델을 세우는데에 있어서 에너지보전법칙을 이용하면 위와 비슷한 구조의 식을 세울 수 있다. 특히 각 화학공장에 투입되는 자원과 그 산물의 양을 이용하여 에너지 보전법칙을 통하여 위의 문제와 비슷한 형식의 문제를 만들 수 있다.

    위의 그림에서 일반적으로 각 블록에 투입된 양()과 나가는 양은 항상 같아야 한다. 예를 들어 의 관점에서 볼 때에는 입력은 이다. 여기서 나가는 나머지 관계를 생각하면, 에 의하여 , 그리고, 에서 나가는 , 을 이용하면 이다. 따라서 이로부터 식을 세우면,

    이다. 이런 방법을 이용하여 각각의 factor를 중심으로 고려하여 생각해보면 아래와 같은 식들을 구할 수 있다.

    • Factor 1 :
    • Factor 2 :
    • Factor 3 :
    • Factor 4 :
    • Factor 5 :
    • Factor 6 :

    이를 바탕으로 Linear System을 세워보면 다음과 같다.

    6.3.3. Linear Systems Arising from Ordinary Differential Equations (Finite Difference Scheme)

    이번에는 스프링에 관한 문제를 생각해보자.

    위와 같이 생긴 스프링 구조물이 있다고 생각하자. 여기서 , , 의 위치를 표상할 수 있는 좌표계를 생각해 본다면 어떤 식을 세울 수 있을까? 이는 뉴턴의 제이법칙에 의하여 다음과 같은 식으로 정리할 수 있다.

    위의 ODE를 풀면 다음과 같이 나온다.

    따라서 이를 연립하여 행렬로 만들면 다음과 같이 된다.

    위의 행렬중 를 stiffness matrix라고 한다.

dia_brown.gif Notes

Steady-State : 일반적으로 위의 문제를 생각하는데 있어서 스프링의 관성력 저체가 스스로 가지는 고유관성치인 를 모든 스프링의 구간에서 일정하게 가진다고 생각을 한다. 즉 일반적으로 그 매질이 대표하는 성격을 거의 모든 구역에서 동일하게 가질 경우를 Steady State라고 하고, 일반적으로 Steady-State하지 않은 경우 Steady-State한 구역으로 유한번 나눌 수 있다고 모델에서는 적용하곤 한다.

    6.3.4. Linear System Arising from Partial Differential Equations : A Case Study on Temperature Distribution

    일반적으로 어떠한 평평한 철판을 통해서 열이 확산되어 가는 과정(열확산과정)을 설명하기 위해서는 나름대로의 Model을 세워 볼 필요가 있다. 특히 특정 위치에 온도를 알 수 있는 함수를 라고 하면 (는 위치, 는 시간) 특정지역에 열을 가하는 함수인 와의 관계를 다음과 같이 설명할 수 있다.

    위의 식에서의 는 다차원을 의미하므로, 이것을 삼차원으로 낮추어서 시간을 무시하고 에 관하여 생각하면 다음과 같다.

    이를 시간에 대하여 정리하면,

    만일 Steady-State라면 시간에 구애받지 않고 확산되므로 이다. (Poisson's Equation)

    또한 이를 2차원 평면으로 생각한다면, (Laplace Equation)이 되며 만일 Steady-State가 아닌 1차원 막대를 생각한다면, 가 될 것이다. 이러한 정리는 열확산의 문제에서 자주 쓰이는 편미분방정식들로, 실제 모델에 적용할 때에는 위 편미방의 Initial Condition과 Boundary Condition이 주어졌을 때, 실제로 어떤 형태로 확산되는 가를 알아볼 수 있다.

    문제는 위의 경우를 그냥 풀 경우에는 매우 어려운 해석적인 방법을 이용하여야 한다. 이 방법은 실제로 해를 구하는데 있어서 많은 어려움을 가지고 있고, 또한 컴퓨터에 적용하기도 힘들다. 그래서 여기서는 finite difference 또는 finite difference scheme를 소개하고자 한다.

    dia_bluve.gif Finite Difference Scheme

    Finite difference scheme(FDS)는 일반적으로 어떠한 변화상의 문제를 각 Discrete한 Node들로 나누어 해당 Node들에 근사하는 근사값을 찾아내는 방법이다. 일반적으로 예를 들어 임의의 판의 중앙에 열을 가했다고 하자. 그럴 경우, 일단 그 열판을 아래 그림과 같이 잘라낸다.

    중앙에 사각형부분이 가열이 되는 부분이다. 이런 구조로 분해 한 뒤에 각 Node Point들에 접근하는 값을 계산하기 위하여 일단 Laplace Equation을 각 Node단위로 생각하도록 한다. 아래 그림과 같이 가로를 , 세로를 라고 하면,

    각각에 점에 대하여 Taylor Series로 전개하여 접근시키면 아래와 같은 식을 유도할 수 있다.

    따라서 위의 식을 정리하면 다음과 같다.

    Steady-State이라고 했으므로 만일 의 형식이라면 로 유도할 수 있다. 이 식을 이용하여 실제로 열판에서의 열 확산을 쉽게 구할 수 있다.

    dia_bluve.gif Example 6.3.1

    위와 같은 model에서 (0,1),(1,1),(2,1),(3,1),(4,1)지역에만 100도를 가열해 준다고 하자. 그러면 초기조건은 이고 나머지 부분은 모두 초기치는 0이 된다. 총 네 개의 점으로 이루어지므로 이에 따라서 식을 세우면,

    따라서 이를 이용하여 행렬을 만들어 보면,

    이 행렬을 풀면 더 손쉽게 현재의 상태의 변화를 추적할 수 있게 된다.

     6.3.5. Special Linear System Arising in Application

    이제까지 다뤄온 문제들을 잘 살펴보면 그 행렬으 형태가 약간 특이서을 띄는 경우가 많이 있다. 그 형태는 대표적으로 다음과 같은 세가지 형식을 띄게 된다.

    1) Tridiagonal System : 일반적으로 Steady-State상의 문제를 해석하다 보면 나타나는 경우로서, digonal entry를 중심으로 그 값들의 분포가 그 근처에 나타나는 형태이다.

    2) Symmetric Diagonal and Digonal Dominant System : Symmetric Diagonal의 경우는 일반적으로 Steady-State상태에서 unsteady-state상태를 FDS로 표현했을 때 나타나며, 이런 경우 Diagonal Entry가 일반적으로 큰 값을 만들어낸다. 이에 이 행렬은 일반적으로 Positive Definite Matrix가 된다.

    3) Block Tridiagonal System : 이 경우는 일반적으로 Mathematical model이 Poission Equation을 만족하는 경우 발생한다.

,

    이 경우 위의 모델을 Finite Difference Scheme를 적용하여 해석하면 그 형태가 다음과 같은 형태로 나타난다.

(단 이때, ).

    이렇게 Tridiagonal System들을 Block Matrix로 가지면서 그 구조도 Tridiagonal Structure를 가지는 경우를 Block Tridiagonal System이라 한다.

     6.3.6. Linear Systems Arising from Finite Element Method

    다음과 같은 Boundary Value Problem을 생각해 보자.

, ,

    이 경우 우리가 구하려고 하는 는 일반적으로 continuous한 함수이다. 따라서 이를 구하기 위하여 적분을 수행하게 된다. 그러나 그 형태는 우리가 손쉽게 구할 수 있는 형태는 아니다. 이는 아마도 다음과 같은 형태로 나타날 것이다.

, : Test Function(continuous function)

(식 1)

    여기서 를 유한차원의 subspace들인 으로 나눈다. 그러면 에는 에 아주 가까운 piecewise continuous function들이 들어 있을 것이다. 우리는 이러한 함수들을 라 하고 이라고 하자.

    그러면 이 함수들을 다음과 같이 정의할 수 있다.

    1.

    2. 는 piecewise continuous function이다.

    따라서 우리는 위의 조건을 만족하면서 원래의 연속함수에 가까운 함수를 유도하기 위하여 다음과 같이 그 값을 정할 수 있다.

    이 함수는 원래의 함수와 다음과 같은 관계를 가진다.

     이를 (식 1)에 대입하면 다음과 같이 나온다.

    로 정리할 수 있으며, 이는 의 형태로 정리할 수 있다. 이를 위하여 의 일반항을 구하면,

    라면, 준 식은 아래의 행렬로 정리된다.

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