6.1 Introduction

 

우리는 앞에서 여러 가지 linear system에 해법을 배워왔다. linear system을 효과적인 방법으로 해결하기 위해서는 실제로 여러 가지 Solution이 쓰이며 이를 위하여 LU-Decomposition과 QR-Decomposition의 방법들을 이용할 수 있었다.

이번 장에서는 를 해결하는 linear system의 해결법을 연구해보고, 앞에서 이용했던 여러 가지 해결법을 바탕으로 어떠한 모델에 적용할 수 있는지 알아보고, 그에 대한 Application에 대해서 알아보자.

사실 위의 linear system을 풀기 위해서 이용되는 가장 중요한 정리로는 Cramer의 법칙이 있다. 이는 가장 정확한 값을 우리에게 제공해 줌으로서, 위의 linear system을 풀 수 있는 좋은 방안을 제공해 준다. 그러나 이 방법은 시간적으로나 앞세서 소개했던 Algorithm중에서 낭비가 심한 Algorithm일 수밖에 없다.

따라서 우리는 이러한 linear system의 해결의 방법에 대하여 저번 장에서 소개한 LU-Decomposition과 QR-Decomposition의 방법을 이용하여 위의 내용을 해결해 보도록 하자.

 

 6.2 Basic Result on the Existence, Uniqueness, and Invariant Solution

 

일반적으로 다음과 같은 nonhomogeneous system을 생각해 보자.

이러한 system은 의 형태로 쓸 수 있다. 이 경우, 우리는 이 해의 존재성을 다음과 같이 생각해 볼 수 있다.

• 유일한 해 가 존재한다 : 위의 linear system은 consistent하다.
• 유일한 해가 존재하지 않는다 : 위의 linear system은 inconsistent하다.

따라서 nonhomogeneous system에서 해가 존재할 조건을 들자면 다음과 같다.

Homogeneous System에서는 그 해를 가질 조건이 더 복잡하게 구성될 것이다.

통상적으로 를 푸는 과정에서 그 해인 값도 그 값이 유일하게 결정된다면 Gaussian Elimination에서 보여 주었던 Row Operation에 대해서도 도 유일한 해를 가지게 된다.

 

 6.3 Some Applications Giving Rise to Linear System Problems

 

이제 위의 내용을 실제로 어떠한 분야에 활용할 수 있는지를 고려해 보도록 하자.

6.3.1. An Electric Circuit Problem



문제 : 위와 같은 회로도가 있다. 위의 회로에 대하여 회로안에 흐르는 전류 전체를 측정하자.

이러한 문제의 경우, Kirchhoff의 법칙을 이용하여 모든 전류의 합은 항상 0이 되어야 한다는 법칙을 이용하여 몇 개의 식을 세워보면 된다. 단, 위의 회로는 상당히 복잡하므로, 부터 까지의 지점 대해서 각각의 식을 세워 보도록 하자. 예를 들어 지점의 흐르는 전류를 보도록 하자.



그리고 마찬가지로 에 대해서도 을 구할 수 있다. 그리고 와 에 대해서 생각해보면,

,

이므로 이 둘은 생각할 필요가 없다. 자 이제 위의 회로에서 크게 도는 과 작은 원들인 , 를 생각해보자. 큰 원의 경우에는 100V가 가운데 있으므로,

그리고 두 개의 작은 원은 다음과 같다.

,

위에 나온 식 중 와 의 경우 두 가지를 제외하면 우리는 위의 값들을 이용하여 새로운 선형연립방정식을 구성할 수 있다. 바로 그 linear system을 기술하면 다음과 같다.

위의 선형연립방정식을 푸는 방법은 우리가 이제까지 보아온 프로그램을 적극적으로 이용하면 된다. 예를 들어서 여기에서는 자바를 이용한 행렬계산기를 이용해 보도록 하겠다.

[연립방정식 풀이용 Applet : LinearSolver.html]

6.3.2. Analysis of a Processing Plant Consisting of Interconected Reactors

수학적 모델을 세우는데에 있어서 에너지보전법칙을 이용하면 위와 비슷한 구조의 식을 세울 수 있다. 특히 각 화학공장에 투입되는 자원과 그 산물의 양을 이용하여 에너지 보전법칙을 통하여 위의 문제와 비슷한 형식의 문제를 만들 수 있다.



위의 그림에서 일반적으로 각 블록에 투입된 양()과 나가는 양은 항상 같아야 한다. 예를 들어 의 관점에서 볼 때에는 입력은 이다. 여기서 나가는 나머지 관계를 생각하면, 에 의하여 , 그리고, 에서 나가는 , 을 이용하면 이다. 따라서 이로부터 식을 세우면,

이다. 이런 방법을 이용하여 각각의 factor를 중심으로 고려하여 생각해보면 아래와 같은 식들을 구할 수 있다.

• Factor 1 :
• Factor 2 :
• Factor 3 :
• Factor 4 :
• Factor 5 :
• Factor 6 :

이를 바탕으로 Linear System을 세워보면 다음과 같다.

6.3.3. Linear Systems Arising from Ordinary Differential Equations (Finite Difference Scheme)

이번에는 스프링에 관한 문제를 생각해보자.

위와 같이 생긴 스프링 구조물이 있다고 생각하자. 여기서 , , 의 위치를 표상할 수 있는 좌표계를 생각해 본다면 어떤 식을 세울 수 있을까? 이는 뉴턴의 제이법칙에 의하여 다음과 같은 식으로 정리할 수 있다.

• 
• 

위의 ODE를 풀면 다음과 같이 나온다.

• 
• 

따라서 이를 연립하여 행렬로 만들면 다음과 같이 된다.

위의 행렬중 를 stiffness matrix라고 한다.

6.3.4. Linear System Arising from Partial Differential Equations : A Case Study on Temperature Distribution

일반적으로 어떠한 평평한 철판을 통해서 열이 확산되어 가는 과정(열확산과정)을 설명하기 위해서는 나름대로의 Model을 세워 볼 필요가 있다. 특히 특정 위치에 온도를 알 수 있는 함수를 라고 하면 (는 위치, 는 시간) 특정지역에 열을 가하는 함수인 와의 관계를 다음과 같이 설명할 수 있다.

위의 식에서의 는 다차원을 의미하므로, 이것을 삼차원으로 낮추어서 시간을 무시하고 에 관하여 생각하면 다음과 같다.

이를 시간에 대하여 정리하면,

만일 Steady-State라면 시간에 구애받지 않고 확산되므로 이다. (Poisson's Equation)

또한 이를 2차원 평면으로 생각한다면, (Laplace Equation)이 되며 만일 Steady-State가 아닌 1차원 막대를 생각한다면, 가 될 것이다. 이러한 정리는 열확산의 문제에서 자주 쓰이는 편미분방정식들로, 실제 모델에 적용할 때에는 위 편미방의 Initial Condition과 Boundary Condition이 주어졌을 때, 실제로 어떤 형태로 확산되는 가를 알아볼 수 있다.

문제는 위의 경우를 그냥 풀 경우에는 매우 어려운 해석적인 방법을 이용하여야 한다. 이 방법은 실제로 해를 구하는데 있어서 많은 어려움을 가지고 있고, 또한 컴퓨터에 적용하기도 힘들다. 그래서 여기서는 finite difference 또는 finite difference scheme를 소개하고자 한다.

Finite Difference Scheme

Finite difference scheme(FDS)는 일반적으로 어떠한 변화상의 문제를 각 Discrete한 Node들로 나누어 해당 Node들에 근사하는 근사값을 찾아내는 방법이다. 일반적으로 예를 들어 임의의 판의 중앙에 열을 가했다고 하자. 그럴 경우, 일단 그 열판을 아래 그림과 같이 잘라낸다.

중앙에 사각형부분이 가열이 되는 부분이다. 이런 구조로 분해 한 뒤에 각 Node Point들에 접근하는 값을 계산하기 위하여 일단 Laplace Equation을 각 Node단위로 생각하도록 한다. 아래 그림과 같이 가로를 , 세로를 라고 하면,

각각에 점에 대하여 Taylor Series로 전개하여 접근시키면 아래와 같은 식을 유도할 수 있다.





따라서 위의 식을 정리하면 다음과 같다.



Steady-State이라고 했으므로 만일 의 형식이라면 로 유도할 수 있다. 이 식을 이용하여 실제로 열판에서의 열 확산을 쉽게 구할 수 있다.

Example 6.3.1

위와 같은 model에서 (0,1),(1,1),(2,1),(3,1),(4,1)지역에만 100도를 가열해 준다고 하자. 그러면 초기조건은 이고 나머지 부분은 모두 초기치는 0이 된다. 총 네 개의 점으로 이루어지므로 이에 따라서 식을 세우면, 따라서 이를 이용하여 행렬을 만들어 보면, 이 행렬을 풀면 더 손쉽게 현재의 상태의 변화를 추적할 수 있게 된다.

 6.3.5. Special Linear System Arising in Application

이제까지 다뤄온 문제들을 잘 살펴보면 그 행렬으 형태가 약간 특이서을 띄는 경우가 많이 있다. 그 형태는 대표적으로 다음과 같은 세가지 형식을 띄게 된다.

1) Tridiagonal System : 일반적으로 Steady-State상의 문제를 해석하다 보면 나타나는 경우로서, digonal entry를 중심으로 그 값들의 분포가 그 근처에 나타나는 형태이다.

2) Symmetric Diagonal and Digonal Dominant System : Symmetric Diagonal의 경우는 일반적으로 Steady-State상태에서 unsteady-state상태를 FDS로 표현했을 때 나타나며, 이런 경우 Diagonal Entry가 일반적으로 큰 값을 만들어낸다. 이에 이 행렬은 일반적으로 Positive Definite Matrix가 된다.

3) Block Tridiagonal System : 이 경우는 일반적으로 Mathematical model이 Poission Equation을 만족하는 경우 발생한다.

,

이 경우 위의 모델을 Finite Difference Scheme를 적용하여 해석하면 그 형태가 다음과 같은 형태로 나타난다.

(단 이때, ).

이렇게 Tridiagonal System들을 Block Matrix로 가지면서 그 구조도 Tridiagonal Structure를 가지는 경우를 Block Tridiagonal System이라 한다.

 6.3.6. Linear Systems Arising from Finite Element Method

다음과 같은 Boundary Value Problem을 생각해 보자.

, ,

이 경우 우리가 구하려고 하는 는 일반적으로 continuous한 함수이다. 따라서 이를 구하기 위하여 적분을 수행하게 된다. 그러나 그 형태는 우리가 손쉽게 구할 수 있는 형태는 아니다. 이는 아마도 다음과 같은 형태로 나타날 것이다.

, : Test Function(continuous function)

(식 1)

여기서 를 유한차원의 subspace들인 으로 나눈다. 그러면 에는 에 아주 가까운 piecewise continuous function들이 들어 있을 것이다. 우리는 이러한 함수들을 라 하고 이라고 하자.

그러면 이 함수들을 다음과 같이 정의할 수 있다.

1.

2. 는 piecewise continuous function이다.

따라서 우리는 위의 조건을 만족하면서 원래의 연속함수에 가까운 함수를 유도하기 위하여 다음과 같이 그 값을 정할 수 있다.



이 함수는 원래의 함수와 다음과 같은 관계를 가진다.



 이를 (식 1)에 대입하면 다음과 같이 나온다.

로 정리할 수 있으며, 이는 의 형태로 정리할 수 있다. 이를 위하여 의 일반항을 구하면,





라면, 준 식은 아래의 행렬로 정리된다.