Rank 와 nullity
( 시각화 참고 자료는 http://matrix.skku.ac.kr/sglee/LT/index.htm )
성대 이상구 교수 (TA : )
(Reciew) Rank 와 Nullity
Thm (1st Fundamental Theorem)
(Row space 와 Col space 의 차원이 같다.)
증명
Let dim R(A) =: r 그리고 U :=RREF(A)
그러면 r 은 U의 nonzero row (또는 col) vectors의 개수 이고 Ux=0 또는 Ax=0 안의 basic variables의 개수 이다.
이 r 개의 nonzero leading 1 에 대응하는 A 의 column 들이 C(A) 의 일차 독립인 벡터임을 보이면 
임이 보여지고, 전치행렬에 이 결과를 적용하여
을 얻으면
자연스럽게 dim R(A) = r = dim C(A) 이 된다
따라서 r 
dim C(A) 즉, 아래만 보이면 된다.
[Show r 개의 nonzero leading 1 에 대응하는 A 의 column 들이 C(A) 의 일차 독립 (LI) 벡터]
A^ 가 U 안의 r 개의 nonzero leading 1 에 대응하는 A 의 col 들로 이루어진 A 의 mxr submatrix 라 하자.
U^를 U 의 r 개의 leading 1을 포함하는 col. 들로 이루어진 submatrix 라 하자. 그러면 clearly U^ 은 RREF(A^ )
=> A^ x = 0 iff U^ x = 0
그러나 U^ x = 0 는 trivial solution 만 갖는다 (because U^ 의 col 들은 LI)
=> A^ x = 0 는 only trivial solution 만 갖는다. (즉, x=0 )
=> A^ 의 r 개의 col 들이 L.I.
[Show Span =C(A) ] No need to show ☐
Def 3.8
행렬 A 의 rank : dim R(A) = dim C(A)
Coro 
rank(A) 
min {m,n}
Pf) dim R(A) 
m , dim C(A) 
n and
dim R(A) = dim C(A) = rank(A)
Coro
dim R(A) + dim N(A) = rank (A) + nullity (A) = n = # of A의 col's
(즉, basic 변수의 개수 + free 변수의 개수 = domain 의 차원)
위 식에 A 대신 A^T 를 넣으면 아래를 얻는다.
dim C(A) + dim N(A^T) = rank (A) + nullity (A^T) = m = # of A의 row's
Coro. For any n*n matrix A,
A 가 invertible iff rank A = n
Theorem
(1)
N(AB) 
N(B)
(2) N
((AB)^T ) 
N (A^T
)
(3) C(AB) 
C(A)
(4) R(AB) 
R(B)
Pf (1) 
=> Bx=0 이면 ABx=A0=0
따라서 x in N(AB).
DO (2, 3, 4)
Coro
rank(AB) <= min {rank A , rank B }
Theorem
Let 
with rank(A)=r
(1) 
(submatrix) of A , rank C 
r
(2) A has at least one r*r submatrix of rank r
Pf) (1)
(submatrix) , R(C) 
R(A) 이므로
=> rank(C)=dim R(C) 
dim R(A) =rank(A) = r
(2) 
r개의 L.I row's of A (i.e R(A)의 기저)
r개의 L.I col's of A (i.e C(A)의 기저)
이것들로부터 대응하는 r*r submatirx를 찾으면 이것이 rank r인 부분행렬이 된다.
부분공간에 대한 기저
Coro U, W : 부분공간 of v.s. V
dim (U+W) + dim (U
W) = dim U + dim W
Pf) Let U
W의 기저는 
U의 기저는 
W의 기저는 
[Show 
가 U+W의 기저...]
Invertibility
Theorem (존재성의 정리)
Let 
TFAE
(1) 
b
, Ax=b has at least one solution x
(2) C(A) = 
(3) rank(A) = m (따라서 m
n)
(4)
A의 right inverse B 
such
that AB = 
Pf)
(1)=>(2) clearly C(A) 
[show 
]
pf) 
, 
-> Ax=b
=> b= 
(2)=>(1) trivial
(2)=>(3) m = dim C(A) = rank A = dim R(A) 
min {m,n}
rank A =m
(3)=>(2) C(A) 
인데 차원이 m이므로 
(1)=>(4) 
such
that 
Let B 
=> AB = 
(4)=>(1) BA
이면 x=BAx =Bb가 solution
Thm (유일성) Let 
TFAE
(1) For each 
, Ax=b has at most one solution x
(2) A의 col vectors가 L.I
(3) dim C(A) = rank(A) =n (따라서 
)
(4) R(A) =
(5) N(A) = {0}
(6) 
의 left inverse C such
that 
Pf)
(3) <=> (4) dim R(A) = rank(A) = dim C(A) =n iff R(A)=R^n
(2) => (6)
Suppose A 의 col. 이 L.I. => rank A = n.
이것에 (m-n 개의 LI 인 벡터를 더해서) R^m 에 대한 기저로 extend 한다.
이 벡터들을 가지고 mxm 행렬 S를 만든다.
그러면 행렬 S 는 rank m을 갖고 그러므로 invertible 이다.
C 가 S^-1 로 부터 마지막 m-n row 들을 없애버려서 얻은 nXm 행렬이라 하자. S 의 앞의 n col. 은 A를 만드므로 CA =I_n 이다.
(6) => (1)
If Ax=b 가 해가 없으면 done
If Ax=b 가 두개의 해 x, y를 가지면 x=CAx=cb=CAy=y
따라서 기껏해야 하나의 해만 갖는다.
Remark (1) 
이면 A는 left와 right inverse를 동시에 못 갖는다
(2) Full rank갖는 경우 right inverse of 
구하는법
A의 right inverse = 
of rank m
A의 left inverse = 
of rank n
(3) m=n인 경우 위에서 
Main Theorem Let 
TFAE
(1) A가 invertivle
(2) det A 
0
(3) A ~ 
(row equivalent)
(4) A는 Elementary matricces의 product
(5) PA=LDU with all 
0
(6) Ax=b has a solution 
(7) N(A)={0}
(8) A의 col's가 가 L.I
(9) C(A) =
(10) A has a left inverse
(11) rank A = n
(12) A의 row's가 L.I
(13) R(A)=
(14) A has a right inverse
(15)* L.T A : 
via A(x)=Ax 가 단사
(16)* 위의 L.T가 전사
(17)* 0은 A의 고유값이 아니다,
<application> : interpolation
(
) (
) 
(
)을 지나는 다항식 찾기
P(x) = 
P(
)= 
=> 
= 
=> det A = 
0
=> 유일해 (
) 존재
예 (0,3) (1,0) (-1,2) (3,6)을 지나는
의 다항식 P(x)=
을 구하라.
= 
p(x)=
<application> : The Wronskian
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ⓒ 2003 Prof. S.G.Lee, Dept. of Math of SungKyunKwan University