Rank 와 nullity  

( 시각화 참고 자료는 http://matrix.skku.ac.kr/sglee/LT/index.htm )

성대 이상구 교수    (TA :                  )

                                          

(Reciew)  Rank 와 Nullity  

 

Thm  (1st Fundamental Theorem)


 

 

  (Row space 와 Col space 의 차원이 같다.)


증명

   Let dim R(A) =: r 그리고 U :=RREF(A)

그러면 r 은  U의 nonzero row (또는 col)  vectors의 개수 이고 Ux=0  또는 Ax=0 안의 basic variables의 개수 이다.

r 개의 nonzero leading 1 에 대응하는 A 의 column 들이 C(A) 의 일차 독립인 벡터임을 보이면  임이 보여지고,  전치행렬에 이 결과를 적용하여

   을 얻으면

자연스럽게 dim R(A) = r = dim C(A) 이 된다


따라서 r dim C(A) 즉, 아래만 보이면 된다. 

 

[Show  r 개의 nonzero leading 1 에 대응하는 A 의 column 들이 C(A) 의 일차 독립 (LI) 벡터]

 

A^ 가 U 안의 r 개의 nonzero leading 1 에 대응하는 A 의 col 들로 이루어진 A 의 mxr submatrix 라 하자.

  U^를 U 의 r 개의 leading 1을 포함하는 col. 들로 이루어진 submatrix 라 하자.  그러면   clearly U^ 은 RREF(A^ )

=> A^ x = 0  iff U^ x = 0

그러나 U^ x = 0 는 trivial solution 만 갖는다 (because  U^ 의 col 들은 LI) 

=> A^ x = 0 는 only trivial solution 만 갖는다. (즉, x=0 )

=> A^ 의 r 개의 col 들이 L.I.


[Show Span =C(A) ]  No need to show    ☐

 

Def 3.8

 

  행렬  A 의 rank  :  dim R(A) = dim C(A)


Coro 

   rank(A) min {m,n}  

Pf) dim R(A) m , dim C(A) n  and

     dim R(A) = dim C(A) = rank(A)

  


Coro 

  dim R(A) + dim N(A) = rank (A) + nullity (A) = n = # of A의 col's

 


(즉, basic 변수의 개수 + free 변수의 개수 = domain 의 차원)

위 식에 A 대신 A^T 를 넣으면 아래를 얻는다.

 

  dim C(A) + dim N(A^T) = rank (A) + nullity (A^T) = m = # of A의 row's

 


Coro.  For any n*n matrix A,

                 A 가 invertible iff rank A = n



Theorem

 

(1) N(AB)    N(B)

(2)  N ((AB)^T )    N (A^T )

(3) C(AB)    C(A)

(4) R(AB)    R(B)


Pf  (1) => Bx=0 이면 ABx=A0=0

따라서 x in N(AB).

 

DO (2, 3, 4)


Coro

rank(AB)   <=  min {rank A , rank B }


Theorem

Let with rank(A)=r

      (1) (submatrix) of A , rank C r

      (2) A has at least one r*r submatrix of rank r

 

  Pf)  (1)(submatrix) , R(C) R(A) 이므로

              => rank(C)=dim R(C) dim R(A) =rank(A) = r

       (2) r개의 L.I row's of A    (i.e R(A)의 기저)

           r개의 L.I col's of A    (i.e C(A)의 기저)

      이것들로부터 대응하는 r*r submatirx를 찾으면 이것이 rank r인 부분행렬이 된다.




부분공간에 대한 기저




Coro    U, W : 부분공간 of v.s.  V

      dim (U+W) + dim (U W) = dim U + dim W


Pf) Let  U W의 기저는

            U의 기저는

            W의 기저는

      [Show 가 U+W의 기저...]


Invertibility

 

Theorem    (존재성의 정리)

     Let     TFAE

  (1) b , Ax=b has at least one solution x

  (2) C(A) =

  (3) rank(A) = m (따라서 m n)

  (4) A의 right inverse B   such that AB =


Pf)

(1)=>(2) clearly C(A)   [show ]

     pf) , -> Ax=b

  => b=         


(2)=>(1) trivial

(2)=>(3) m = dim C(A) = rank A = dim R(A) min {m,n}

                                rank A =m

(3)=>(2)  C(A) 인데 차원이 m이므로

(1)=>(4)     such that

         Let B => AB =

(4)=>(1) BA 이면 x=BAx =Bb가 solution



Thm (유일성) Let   TFAE

(1)  For each , Ax=b has at most one solution x 

(2)  A의 col vectors가  L.I

(3) dim C(A) = rank(A) =n (따라서 )

(4) R(A) =

(5) N(A) = {0}

(6) 의 left inverse C   such that

Pf)

(3) <=> (4) dim R(A) = rank(A) = dim C(A) =n  iff  R(A)=R^n


(2) => (6)  


Suppose A 의 col. 이 L.I. => rank A = n.

이것에 (m-n 개의 LI 인 벡터를 더해서) R^m 에 대한 기저로 extend 한다.

이 벡터들을 가지고 mxm 행렬 S를 만든다.

  그러면 행렬 S 는 rank m을 갖고 그러므로 invertible 이다.

C 가 S^-1 로 부터 마지막 m-n row 들을 없애버려서 얻은 nXm 행렬이라 하자. S 의 앞의 n col. 은  A를 만드므로 CA =I_n 이다.  

(6) => (1)

If Ax=b 가 해가 없으면 done

If Ax=b 가 두개의 해 x, y를 가지면 x=CAx=cb=CAy=y

  따라서 기껏해야 하나의 해만 갖는다.



Remark (1) 이면 A는 left와 right inverse를 동시에 못 갖는다

       (2) Full rank갖는 경우 right inverse of 구하는법

            A의 right inverse =

               of rank m 

            A의 left inverse = 

                of rank n

       (3) m=n인 경우  위에서


Main Theorem   Let TFAE 

 

(1) A가 invertivle

(2) det A 0

(3) A ~  (row equivalent)

(4) A는 Elementary matricces의 product

(5) PA=LDU with all 0

(6) Ax=b has a solution

(7) N(A)={0}

(8) A의 col's가 가 L.I

(9) C(A) =

(10) A has a left inverse

(11) rank A = n

(12) A의 row's가 L.I

(13) R(A)=

(14) A has a right inverse

(15)* L.T A : via A(x)=Ax 가 단사

(16)* 위의 L.T가 전사

(17)* 0은 A의 고유값이 아니다,




<application> : interpolation


()  () ()을 지나는 다항식 찾기

P(x) =

P()=          


=> =


=> det A =       0

          


=> 유일해 () 존재


예    (0,3) (1,0) (-1,2) (3,6)을 지나는

     의 다항식 P(x)=을 구하라.

        =

    p(x)=



<application> : The Wronskian



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이상구교수의 읽고 보는 수학 자료실  (http://matrix.skku.ac.kr/sglee)         

ⓒ 2003 Prof. S.G.Lee, Dept. of Math of SungKyunKwan University