Visualization of concepts

2003년 2학기 첨단강의실

"선형대수학 BL 첫 강의"

(개념의 시각화와 상호작용을 통한 수학강의 )

Sang-Gu Lee, http://matrix.skku.ac.kr/sglee/

2003. 9. 2. 성대 31257, 자연과학부 2층 첨단강의실

Contents

1. Introduction

2. 강좌 운영 개요 ; 개요설명, 예습, 질문, 답변, 토론, 과제, 프로젝트: 참여

3. 성대의 Vision과 노력

4. 우리 강의실

5. 새 Platform을 이용한 강의 (icampus, e-Pen Desk, 스피커, Video, 저장과 반복등)

6. Conclusion

1. Introduction

오늘 강의는 첨단강의실 첫 강의이자, 우리의 첫 번째 만남

2. 강좌 운영 개요 ; 개요설명, 예습, 질문, 답변, 토론, 과제, 프로젝트: 참여

나의강의실 >> 선형대수학(200508243) >> 수업계획서

강의명	선형대수학	과목번호	200508243
담당교수	이상구 (192013)	학점	3 학점
수강가능대상		수강가능인원	48 명
점수 비율	출석 : 10%, 중간고사 : 25%, 기말고사 : 30%, 상시시험 : 10%, 리포트 : 20%, 토론 : 0%, 기타 : 5%
강의교재	선형대수학과 응용 (이상구 외 ) / 경문사 (이 강좌는 새로 마련된 첨단강의실에서 진행되는 blended learning 모델로 주 대상은 아래한글로 수식을 타이프 하는것이 가능한 미적분학 1을 수강하여 C 이상을 취득한 학생으로 제한합니다. 그외는 담당교수의 허락을 득한 경우에 수강를 허용합니다. sglee@math.skku.ac.kr 또는 031-290-7025 로 문의)
참고문헌	1.선형대수학,금종해, 한샘 2.Lecture on Linear Algebra , Hong & Kwak , Birkhauser 3.Elementary Linear Algebra, Edwards & Penny, P - H 4.최근 5년간 출판된 영문의 "선형대수학과 ***" 라는 책은 모두 추천합니다.
강의개요
강의목표	본 강좌는 첨단 시설을 이용한 BL (50% 가상 수업)으로 보통의 강좌보다 130%의 진도를 다룰 게획입니다. "과제와 토론 및 다른 학생의 질문에 적극적으로 대응하며 선형대수학이 무었인지 꼭 알려는 학생만 신청해주시기 바랍니다." 목표는 선형대수학의 입문과정으로 모든 자연계 학생을 대상으로 연립일차방정식에서 행렬을 유도하며, 그 행렬의 성질과 행렬식, 행렬의 집합이 벡터 공간이라는 수학적 구조체를 이룸을 보이고, 그 예를 다룰 수 있도록 한다. 다루는 내용은 Gauss 소거법, 역행렬, 행렬식, 벡터와 벡터공간, 기저, 정 규직교화법,선형변환, 좌표와 기저변환, 고유치와 고유벡터,행렬의 대각화. 강의와 연습문제 풀이, 실습, 퀴즈, 중간고사와 종합기말고사를 통하여 목표된 내용의 숙지를 확인한다. (직접 면담과 질의 응답 시간이 있음)
강의계획	- 이번 학기는 일반 강의실과 icampus 에서 동시에 강의가 진행됩니다. (강의 운영과 과제 채점의 효율성을 위해 인원 수는 70명으로 제한 하려고 합니다.) 1. 연립일차방정식과 행렬 (1주차) 과제 : 선형대수학의 역사를 읽고 느낌(2%) 공지 : Q&A를 이용하여 강의내용이나 과제,시험등에 관한 질문, 출석은 그주에 그강의 봐야만 출석처리,모든과제는 hwp화일로 보내주시고 화일이름은 " 학번(이름). hwp" 로 통일해서 보내주십시오. 과제는 꼭 그기간에 과제함에 제출해야만 성적처리됩니다.과제성적 20%를 소홀해서는 안됩니다. 과제는 연습문제중에 정해주는 문제만을 풀어 hwp화일로 수식을 쳐서 올려주시고 수식을 못치는 학생을위하여 첫주엔 연습문제와 답을 hwp화일로 제공합니다. 2. 역행렬과 연립일차방정식 (2주차) 과제 : 행렬을 이용한 암호이론(2%) 3. 행렬식의 정의와 그 성질 (3주차) 과제 : 연습문제(2%) 공지 : 교수님과의 만남 공지 4. 공간벡터 (4주차) (교수님과의 만남 O.H.) 과제 : 연습문제(2%) 5. 직선과 평면의 방정식 (5주차) 과제 : 연습문제(2%) 공지: 9월 학생 성적공지, 중간고사에 관한 공지, 6. 벡터공간의 기본개념과 부분공간 (6주차) 과제 : 연습문제 + 6주3절 중간고사 예상문제 공부(2%) 공지 : 중간고사에 관한 공지 7. 해공간의 기저와 차원 및 행공간과 열공간 (7주차) 중간고사기간(25%) 공지 :중간고사답제공, 중간고사 성적공지 8. 단원 선형변환과 그 성질 (8주차) 과제 : 연습문제(2%) 공지 : 10월까지의 성적공지 9. 단원 선형변환의 행렬 (9주차) 과제 : 연습문제(2%) 10. 단원 행렬의 대각화와 대칭행렬의 대각화 (10주차) 과제 : 연습문제(2%) 11. 단원 복소수와 복소내적공간 (11주차) 과제 : 연습문제(2%) 12. 단원 Jordan 표준형 (12주차) 과제 : 연습문제(2%) 공지 : 11월까지의 성적공지 13. 단원 이차형식의 대각화 (13주차) 과제 : 연습문제(2%) 공지 : 기말고사에 관한 공지, 교수님과의 만남공지 14. 단원 수학적 모델 및 선형방정식과 근사곡선 (14주차) (교수님과의 만남 O.H.) 과제 : 연습문제(1%) 공지 : 기말고사에 관한 공지 15. 단원 기말고사 (15주차) 기말고사기간(25%) 공지 : 기말고사 답안제공, 성적공지, 학점공지 *주1회 OH : ( )요일 ( 시~ 시) 에서 On and Offline 으로 => 수학과 31251A 대수학연구실 (이시간을 이용하여 진도를 나가며 생긴 질문을 직접 만나서 할수있습니다.) * - 기말 고사는 처음 부터 배운데 까지의 범위로 In class "종합 시험"을 봅니다. 목표에 달성한 학생 만이 C 이상의 학점을 받습니다.
기타

3. 성대의 Vision과 노력

성균관대학교의 노력

(1) 성대의 교육에 대한 관심

<예> 국민일보 2002년 11월 24일자를 보면

[성균관대] “대학교육의 대표 브랜드 될 것”

[사회] 2002년 11월 24일 (일) 20:04

... 성균관대 황대준 입학관리처장은 24일 성대야말로 ‘대학교육의 대표 브랜드’가 될 것이라고 강조했다. .....

정승훈기자 shjung@kmib.co.kr

여기서 대학교육의 대표 브랜드’의 의미?

이를 위하여

◇ 성대는 졸업인증시스템 삼품제, 전공과 진로 선택의 도우미 로드맵(Road Map) 시스템

◇ 성대의 다양한 신입생 선발방법 = ... 등 다양한 특기자를 선발

◇성대의 2003학년도 입시= 원칙적으로 교차지원을 허용하지 않지만 ...

모든 계열에서 학교생활기록부를 40% ....입학안내 홈페이지(admission.skku.ac.kr) ...

정승훈기자 shjung@kmib.co.kr

-- 그러나 ... 한 강의실에 학력 수준이 다른 다양한 집단의 학생이 모이게 되었고, ...

(2) 대학교육개발센터의 설립, 2001년부터 년 1-2회씩 신임교수를 위한 workshop 개최

( 내용은 http://www.skku.ac.kr/~edc/ )

(3) 교육의 질 향상을 위한 다양한 성균관대학교의 노력

(예 : 교수법 개발과 교-강사 지원 )

- 이에 보태어 학술진흥재단의 대학교육과정 프로젝트 9개 과제 ...

(10여개의 학진교육과정연구, 강사료 국내 최고, 좋은교육=우수한연구, 첨단 강의실, 무선인터넷, 새 플랫폼)

4. 우리 강의실

자바와 플래쉬로 하는 선형대수학을 통한 자기 주도적 수업

대학이 학부제로 운영됨에 따라서 대학에서의 교육 환경과 교과과정 및 교육 방법에도 많은 변화가 있었다. 우리는 지난 반 세기 동안의 교육 환경의 변화를 우리 가의실에 적극적으로 반영한다.

“가르친다”(Teaching)는 개념이 아니라 “배운다”(Learning)라는 개념으로 교육 환경을 바꾸어 주고자 한다.

그림 5. [Java 도구(직접 하며 학습)]

그림 6. [Flash 도구(선형변환 Flash)-시각적 이해]

http://matrix.skku.ac.kr/sglee/LT/

그림 8. [학부생 강의를 위한 BBS]

http://matrix.skku.ac.kr/sglee/BBS4/

학생이 직접 교육 과정에 참여하여 “가르친다”(Teaching)라는 개념이 아니라 “배운다”(Learning)라는 개념으로 교육 환경을 바꾸어 주는 것을 목표로 한다. 멀티미디어를 이용한 교육은 직접경험에 준하는 경험을 제공할 수 있다. 수학적 개념의 직관적 이해는 수학연구에서 중요한 부분이다. 수학의 교육과 연구 방향은 계산력만이 아니라 이런 직관력을 계발하기 위한 기능도 수행해야한다고 생각한다. 이를 위하여 20세기 후반에 개발된 다양한 공학적 도구의 이용은 하나의 대안을 제시한다. 특히, 선형대수학은 유한차원의 장점을 이용하면 컴퓨터의 이용에 적절한 분야가 된다. 우리는 추상적인 벡터와 벡터공간의 성질을 시각화하여 이해하고 이를 새로운 결과를 예측하는데 활용해야한다.

우리는 직접 개발한 도구들을 일부 소개하겠다.

고교 현장에 이미 적용된 인터넷 그래프 자바계산기 이용법

(2002년 서울시 교육연구원프로젝트) http://matrix.skku.ac.kr/sglee/2002-K10/newft/index.html 또는 http://cauchy04.skku.ac.kr/newft/ 과
http://matrix.skku.ac.kr/sglee/tool/ 에서 계산기인 공학적 도구(1), (2)를 지나 공학적 도구 (3)를 클릭하면 다음과 같은 그림이 나타난다.

[예제] 을를 그린 후 값을 0에 가깝게 마우스로 점을 끌어보며 확인한다. (7차 수학교육과정 수학 Ⅱ 나. 해석 ⑴ 함수의 극한과 연속성)

활동목표 : 에 관한 함수의 극한을 값을 이동하여 구할 수 있다.

대학의 미적분학에의 적용 (극한, 다양한 함수의 개형)

<Visualization>

(1) 시각화를 통한 수학적 개념의 이해

기본적인 개념인 행렬의 곱셈과 선형성, 선형변환, 행렬식, 고유값, 고유벡터를 소개하고 그와 관련된 시각화가 가능하다, 동시에 를 이용하여 간단한 예도 보여준다.

§1.1 행렬의 곱셈

행렬의 곱셈의 중요한 개념 중에 하나는 교환법칙이 성립되지 않는 것이다. 이것을 시각적으로 확인해보고자 한다.

행렬의 곱셈에 대해 시각적으로 확인하기 위하여 선형변환을 이용할 것이다. 행렬의 곱셈이 교환법칙이 성립되지 않는 성질을 선형변환을 이용하여

는

와

다르다는 것은 알 수 있는데 그것을 시각적으로 알아볼 것이다.

예를 들어 일 때

를 단위 원(unit circle)의 각점에 곱하면 아래 그림과 같이 변하는 것을 볼 수 있다.

행렬 를 곱하는 것은 아래 그림과 같이 단위 원에 우선 행렬 를 곱하여 단위 원이 늘어나는 것을 확인할 수 있고 그것에 다시 행렬 를 곱하여 회전되는 것을 볼 수 있다. 즉, 어떤 벡터에 행렬 를 곱하면 축으로 3배, 축으로 1.5배 늘려주는 역할을 하는 것이다. 행렬 의 회전에 관한 부분은 “§1.5 단위 구체의 이미지인 타원체”에서 다시 설명이 가능하다.

행렬 를 곱하는 것은 위와는 반대로 단위 원에 우선 행렬를 곱하여 단위 원이 회전되는 것을 확인할 수 있고 회전된 것에 를 곱하면 회전된 것이 다시 늘어나는 것을 볼 수 있다.

행렬 를 곱한 것과 행렬 를 곱한 것을 하나의 그림으로 나타내면 아래와 같이 다르다는 것이 확실히 확인이 된다. 즉, 선형변환으로서 의 역할과 의 역할이 다르다는 것이다.

이는 단순히 의 의미 뿐만 아니라, 선형함수로서 같지 않다는 개념까지 분명하게 전달이 가능하다.

§1.2 정육면체와 그것의 이미지인 평행육면체

아래 그림들의 의미를 생각해보자

아래 그림은 직교행렬 의 의한 정육면체의 선형변환에 의한 이미지가 다시 정육면체가 됨을 확인해 준다.

(2) FLASH 이용한 시각화

이장에서는 위의 앞장들에서 보여준 시각화를 플래시로 제작한 것을 모아 놓은 것이다.

§2.1 평행육면체의 부피

아래에는 단위 정육면체의 각점에 행렬 를 곱하여 각각에 대응하는 점들을 3차원 상에 나타낸 것이다. 대응된 점들은 단위정육면체의 행렬에 의한 이미지인 평행육면체가 되고 그 행렬의 행렬식이 이미지인 평행육면체의 부피가 되는 것을 플래시로 제작한 것이다.

§2.2 실대칭행렬일 때 선형변환의 시각화 <직접 웹으로>

실대칭행렬은 으로 분해되고 여기서 는 행렬 의 단위 고유벡터 를 열로 하는 직교행렬이고, 는 대각성분이 각각 고유벡터 에 대응하는 행렬 의 고유값 인 대각행렬이다.

아래 그림은 실대칭행렬의 고유값 에 대응하는 단위 고유벡터는 을 축으로 단위 원에 표시한 것이다.

그리고 실대칭행렬를 곱한 것을 보여준다.

실대칭행렬 에서 직교행렬와 는 단위 원의 축으로 표시한 고유벡터를 타원에서도 그대로 보존시키고 오직 그 모양은 대각행렬 에 의해서 단위 원이 늘어나 원이 되는 것을 보여준다.

§2.3 선형변화에 대응하는 행렬

,,, 행렬 일 때 선형변환의 시각화로 아래의 플래시들은 다음 정리의 예를 보여준다.

정리: 이 선형변환이면 의 표준행렬 와 에 대하여 다음이 성립한다.

에서 행렬 가 각각 , ,, 일 때 점가 어떻게 움직이는 지를 플래시로 제작한 것이다.

§2.4 의 네점을 연결한 사각형의 선형변환의 시각화

이 플래시는 위의 의 네점을 연결한 사각형의 안의 점들에 , , , 을 곱하여 각각의 대응점을 나타낸 것이다.

이 플래시로 제작한 것은 각각의 개념들을 위에서 시각화한 것들을 이해를 더욱 쉽게 하기 위하여 움직이는 시각화로 훨씬 더 도움을 주기 위해서이다.

(3) 여러 가지 사례

<선형대수학 개념이해 보충자료 HTML > http://matrix.skku.ac.kr/sglee/LT/ 파일

선형변환 (Linear Transformations)
선형변환 개념의 시각적 이해를 위한 Flash tools, Animations, JAVA Applets 모음집입니다. 이제 웹문서로 보면서 마무리를 하겠습니다.
LINK http://matrix.skku.ac.kr/sglee/LT/index.htm

Examples :

"학진 "선형대수학 Multimedia Web Contents" KRF Project # 2000-048-D0001. http://matrix.skku.ac.kr/sglee/krf/ file
(0) Matrices of L.T. * Interactive JAVA Applets
(i) Macromedia Flash : SWF 1(LT), SWF 2(LT), SWF 3(LT), SWF 4(LT), SWF 5(LT), SWF 6(LT-Movie) with , Image(LT3D), SWF 7(Volume), SWF 8(Trace), SWF 9(Inverse), SWF 10(Transpose), SWF 11(Product), SWF 12(Det), SWF 13(Movie1)
(ii) JAVA Tool for LA : <Interactive JAVA Applets> I
(iii) JAVA Tool for LA (Complex): Det, Inverse, PseudoInverse, Solver
(iv) Intoductions (mpeg), Cover
(v) Book of Definitions and Theorems

etc

Matrix Theory Web Contents (제 1회 대한수학회 Homepage Festival 은상 수상작)

http://matrix.skku.ac.kr/MT-04/index.html

5. 새 Platform을 이용한 강의 (icampus, e-Pen Desk, 스피커, Video, 저장과 반복등)

(동영상 수업계획 설명)

새로운 시도이므로 직접 기능 확인 해보며 우리는 그 가능성을 극대화 시킨다.

특히 다양한 개선 과정이 전개 될 것이기 때문에 강요나 초기 단계의 과도한 기대는 오히려 발전에 걸림돌. 그러나 실제로 이런 개척적인 과정에 적극적으로 참여하게된 학생은 넒은 견문으로 비젼과 실제 경험을 갖춘 인재로 발전할 가능성이 높음.

그러나 본부의 입장에서는 시행 초기의 적응 과정에서 좀 더 여유를 가지고, 다양한 노력을 기울인 후, 가시적인 결과가 나온 후부터 그것을 Role Model 로 적용 범위를 넒혀가야 함.

6. Conclusion

Good luck and Thank you!

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