선형변환이란?

( 시각화 참고 자료는 http://matrix.skku.ac.kr/sglee/LT/index.htm )

성대 이상구 교수    (TA : 정진, 김덕선선생)

                                          

4장   선형변환 (L.T)

(4.3, 4.5, 4.8 절은 선택입니다.)

Goal : 선형변환의 Matrix을 구하는 것,  기저 변환하는 것  (Matrices of L.T's, Change of basis)

 img-1.gif

    img-2.gif

      img-3.gif

   함 수 (transformation, mapping)는 라고 표현한다.  그리고 은 실수체이다

 

벡터공간  위의 함수가 아래의 두 조건을 만족하면 선형변환(L.T.)이라 한다.

       1) for all ,

       2) for all and (여기서 은 실수의 집합)

  즉, 이것을 한 조건으로 표현하면   for all   and   

 

즉, 선형변환의 기하학적 의미는 벡터공간에서 “ 에서 방향으로의 line 을 에서 방향으로의 line으로 보내는 함수” 라는 것이다.

 

벡터공간  V 와 W 위의 함수가 선형변환이라고 하자. 그러면,

          :  이것은 의   Subspace 이다. 

         : 이것은 의 Subspace 이다.

라고 정의한다.                    (가 각각 의 subspace임은 뒤에서 증명한다.)

 

  선형변환(L.T)의 성질

          1)

          2)

[벡터공간과 선형변환(Linear Tranformation)과의 관계]

 

  Thm 4.3

          Let , : vector spaces  이고  의 basis를 라 하면.   Then  ∀  (possibly repeated) 

         ∃!     L.T.     such that 

 

Note

 

[임의의 ordered basis를 standard basis로 transfer해 주는 Natural isomorphism의 개황]

 

 

LT 의 예

    Identity transformation : by for all in

    Zero transformation : by for all in

    Rotation on

    Projection  on  x 축  : 

    Reflection  about  x 축  : 

    Trace of  by  (은 실수값을 성분으로 가지는 차원 행렬들의 vector space)

    미분 함수  by (은 최고차항의 degree를 으로 가지는 Polynomial들의 vector space)

    적분 함수 by

 

Prob 4. 1 (교재 p. 123)

    에서 에 대한  reflection의 행렬을 찾으시오

     

Prob 4. 2  (교재 p. 123)

    일 때 에 대한 subspace임을 보이고 에 대한 basis를 구하시오.

     

Exercise 위의 정의 중 에 대한 정의를 상기해 보자.

Recall     

벡터공간  V 와 W 위의 함수가 선형변환이라고 하자. 그러면,

          :   Subspace of  V

         :  Subspace of  W

라고 정의한다.

    이제 위의 의 subspace임을 증명하라.

 

Prob 4. 3 (교재 p. 124)

    일 때, .

     

Prob 4. 4 (교재 p. 124)

    인 선형변환 중, , 을 만족하는 선형변환이 존재하는가?

    만일 그렇다면 이라 할 때, 이를 이용하여, 의 구체적인 식을 찾을 수 있는가?

 

Prob 4. 5  (교재 p. 124)

    Let L.T 라 하고, 의 부분집합이라고 하고 각각의 원소가 선형독립(L.I.)이라고 하자.

    만일 for 를 만족한다면, 가 linearly independent(L.I.)라는 것을 증명하라.

    (즉 , L.I.  set의 inverse  image 는 L.I.  이다. )

 

4.2   Invertible L.T.

 

  Def. 4.3.

    L.T.  T: V  -> W 가 아래의 두 조건을 만족하면, isomorphism이 된다.

    1)   가 1-1 (injective)

    2)    가 onto (surjective) (즉, 가역)

 

  Lemma 4.6

    6) 가   invertible  L.T.       도 invertible  L.T.

 

Prob 4. 6 (교재 p.129)

    Suppose , 가 L.T and 가 well-defined라고 하자. 아래의 문제를 증명하라.

      1) 가 1-1  가 1-1

      2) 가 onto 가 onto

      3) 가 각각 iso. => ST 도 iso.

      4) If 가 각각 크기이고 rank가 인  행렬이면  => AB도 크기이고 rank가 인  행렬

 

  Thm 4.7 (교재 p.129)

    (같은 체(field) 상의) 두 V.S. 가 iso.

 

Prob 4. 7

    L.T. 

    (1) 가 1-1 iff

    (2) If , then 가 1-1 가 onto

 

Note

 

  Cor 4. 8

    (체(Field)  상의) 어떤 차원 V.S.  과  isomorphic이다.

 

Prob 4. 8

    Find the Matrix of reflection about line

    in

    e.g.

     

Prob.4. 9

    Find the coordinate vector of

    w.r.t the given ordered basis for

    (1) 

    (2)

 

   예 4.11

    Let L.T. by

    교재 p.70 의 remark(2) 를 보면 이 L.I. vectors 이면 이 들은 “parallelepiped" (평행다면체?)를 이룬다.

    이 A는 위의  parallelepiped를 로 이루어진 새로운 parallelepiped P(C) 로 보낸다.

    Let then

 

Prob 4. 10

    L.T.   by

    가 unit curve라 하면 image parallellepied    의 부피는?

    (직접 생각해 보시오!)

 

4.3 응용 Computer graphics (skip)

 

computer screen 상의 그림의 animation과 graphical display.

L A 를

축소, 확대, 회전, reflection

, ,

(skip)

 

Prob 4.11

          Find the matrix for the rotation about the line determinded by by .

 

4.4  Matrices of L.T's

 

Goal : Show ∀ L.T.  ,∃! matrix s.t. for all

 

Let  L.T.  with ordered basis .

 

    Let

    [Show ]

 

위의 matrix 를 “ 의 matrix representation(행렬 표현) w.r.t basis and      

  (또는 의 associated 행렬  w.r.t basis and )"이라 하고

라 쓴다.

즉, 행렬표현은    방법으로 구하면 쉽다.

 

Note

 

Note

 

   예 4.14 (교재 : p.138)

    Let by  with the basis and  for and

    Find 

 

    예 4.15  

    Let by  w.r.t. standard basis  and resp.

    Find 

 

 Example 4 .16 (교재 p.138)

    Let with , 에 대해 standard basis  일 때  Find

 

문 4.12 (교재 p.139)

    Let  (standard basis)일 때 아래 L.T. 의 matrix representation 을 구하라.

    일때 는?

    (1)

    (2)

 

Prob 4 .13   

    Let  by

    Let , be the standard basis for and , resp.

    Find

 

Prob 4 .14

    Let  가 항등 사상이고 , , , 일 때 는 기저이고 (resp.) 는 의 two basis이다.

    이 때  와  를 구하여라.

 

4 .5   LT  의 벡터공간

 

Note

 

p. 143 의 문제 4. 17 을 Do!!

 

4 .6    Change of basis

    

α, β가 의 두 different basis라 하자.

학습목표 : 사이의 관계

 

 carp_cool_4.gif    예)

    then

    즉, 축이동으로 x'y'-좌표축에서 standard ellipse를 만들 수 있었다.

 

Def. 

    In General ,

    Let      and   be two ordered  basis for V

    Let 

       ∀  = 1, 2,  ... , n  이므로

    for some

    그러면 

    이것은    과 동치이고 이며

    참고  = 이다.

    ( ie. 는 vector 의 표현을 β-coordinates에서 α-coordinates로 바꾸어준다. )

    를 β 에서 α로의 transition matrix  (or coordinate change matrix) 라 한다.

 

Note

 

Prob 4 .18 (교재 p.146)

    Find   ( = )  for when basis 

 

4.7 Similarity

 

    Cor. 4 .14

    Let  L.T   T:  ->   

    Let    : transition matrix from ordered basis α and β ( ie.  )

      (1) 는 invertible  and 

      (2) ∀ ,

      (3)

 

(skip)   Thm 4.13   Let L.T  T :  (내용 첨가 필요.)

 

Def 4 .6 

    Let A, B ∈

    A is similar to B  if

    ∃ nonsingular          

 

Prob  

    ,

    if is similar to   then is similar to

 

   예 4 .20 (교재 p. 149)

    Let L.T  T:  --->     by

    Let    : standard basis for .

    : another basis for

    그러면 = 이다

    Find

 

Thm 4 .15  (교재 P.150)

    Suppose  가 ordered basis 에 관하여 v.s V 상에서의 L.T T를 represent 한다.

    If     , then ∃ a basis β for V  ∋   and

 

예 4 .21  ( read )

    Let  D: diff. operator on .

    Find w.r.t. 

Sol) 

 

    Let L.T    --->     by 

    α는 standard basis

    .

    Find   and 

    Show  they are similar .    

Sol)     

 

Problem.4.1

    Find the matrix reflection about the line y=x in the plane R^2

Sol) T: R^ →R^

 

Problem 4.3 solved by 김지나 Revised by sglee              <2003. 4. 8>

    Show that, for any matrices A and B in (R), tr(AB)=tr(BA)

Sol) Example 4.4에서

 

Problem 4.4  4월 5일                       solved by 이승용  OK

    Is there a linear transformation such that and If yes, can you find an expression of for in

Sol) 만약에 가 a linear transformation 이라면,

bar01_dot1x1_black.gif

이상구교수의 읽고 보는 수학 자료실  (http://matrix.skku.ac.kr/sglee)         

ⓒ 2003 Prof. S.G.Lee, Dept. of Math of SungKyunKwan University