¼±Çüº¯È¯À̶õ?

( ½Ã°¢È­ Âü°í ÀÚ·á´Â http://matrix.skku.ac.kr/sglee/LT/index.htm )

¼º´ë ÀÌ»ó±¸ ±³¼ö    (TA : Á¤Áø, ±è´ö¼±¼±»ý)

                                          

4Àå   ¼±Çüº¯È¯ (L.T)

(4.3, 4.5, 4.8 ÀýÀº ¼±ÅÃÀÔ´Ï´Ù.)

Goal : ¼±Çüº¯È¯ÀÇ MatrixÀ» ±¸ÇÏ´Â °Í,  ±âÀú º¯È¯ÇÏ´Â °Í  (Matrices of L.T's, Change of basis)

 img-1.gif

    img-2.gif

      img-3.gif

   ÇÔ ¼ö (transformation, mapping)´Â ¶ó°í Ç¥ÇöÇÑ´Ù.  ±×¸®°í Àº ½Ç¼öüÀÌ´Ù

 

º¤ÅͰø°£  ¿Í À§ÀÇ ÇÔ¼ö°¡ ¾Æ·¡ÀÇ µÎ Á¶°ÇÀ» ¸¸Á·ÇÏ¸é ¼±Çüº¯È¯(L.T.)À̶ó ÇÑ´Ù.

       1) for all ,

       2) for all and (¿©±â¼­ Àº ½Ç¼öÀÇ ÁýÇÕ)

  Áï, À̰ÍÀ» ÇÑ Á¶°ÇÀ¸·Î Ç¥ÇöÇÏ¸é   for all   and   

 

Áï, ¼±Çüº¯È¯ÀÇ ±âÇÏÇÐÀû Àǹ̴ º¤ÅͰø°£¿¡¼­ ¡° ¿¡¼­ ¹æÇâÀ¸·ÎÀÇ line À» ¿¡¼­ ¹æÇâÀ¸·ÎÀÇ lineÀ¸·Î º¸³»´Â ÇÔ¼ö¡± ¶ó´Â °ÍÀÌ´Ù.

 

º¤ÅͰø°£  V ¿Í W À§ÀÇ ÇÔ¼ö°¡ ¼±Çüº¯È¯À̶ó°í ÇÏÀÚ. ±×·¯¸é,

          :  À̰ÍÀº ÀÇ   Subspace ÀÌ´Ù. 

         : À̰ÍÀº ÀÇ Subspace ÀÌ´Ù.

¶ó°í Á¤ÀÇÇÑ´Ù.                    (¿Í °¡ °¢°¢ ¿Í ÀÇ subspaceÀÓÀº µÚ¿¡¼­ Áõ¸íÇÑ´Ù.)

 

  ¼±Çüº¯È¯(L.T)ÀÇ ¼ºÁú

          1)

          2)

[º¤ÅͰø°£°ú ¼±Çüº¯È¯(Linear Tranformation)°úÀÇ °ü°è]

 

  Thm 4.3

          Let , : vector spaces  ÀÌ°í  ÀÇ basis¸¦ ¶ó Çϸé.   Then  ¢£  (possibly repeated) 

         ¢¤!     L.T.     such that  ¢£

 

Note

 

[ÀÓÀÇÀÇ ordered basis¸¦ standard basis·Î transferÇØ ÁÖ´Â Natural isomorphismÀÇ °³È²]

 

 

LT ÀÇ ¿¹

    Identity transformation : by for all in

    Zero transformation : by for all in

    Rotation on

    Projection  on  x Ãà  : 

    Reflection  about  x Ãà  : 

    Trace of  by  (Àº ½Ç¼ö°ªÀ» ¼ººÐÀ¸·Î °¡Áö´Â Â÷¿ø Çà·ÄµéÀÇ vector space)

    ¹ÌºÐ ÇÔ¼ö  by (Àº ÃÖ°íÂ÷Ç×ÀÇ degree¸¦ À¸·Î °¡Áö´Â PolynomialµéÀÇ vector space)

    ÀûºÐ ÇÔ¼ö by

 

Prob 4. 1 (±³Àç p. 123)

    ¿¡¼­ ¿¡ ´ëÇÑ  reflectionÀÇ Çà·ÄÀ» ãÀ¸½Ã¿À

     

Prob 4. 2  (±³Àç p. 123)

    ÀÏ ¶§ °¡ ¿¡ ´ëÇÑ subspaceÀÓÀ» º¸ÀÌ°í ¿¡ ´ëÇÑ basis¸¦ ±¸ÇϽÿÀ.

     

Exercise À§ÀÇ Á¤ÀÇ Áß ¿Í ¿¡ ´ëÇÑ Á¤ÀǸ¦ »ó±âÇØ º¸ÀÚ.

Recall     

º¤ÅͰø°£  V ¿Í W À§ÀÇ ÇÔ¼ö°¡ ¼±Çüº¯È¯À̶ó°í ÇÏÀÚ. ±×·¯¸é,

          :   Subspace of  V

         :  Subspace of  W

¶ó°í Á¤ÀÇÇÑ´Ù.

    ÀÌÁ¦ À§ÀÇ ¿Í °¡ ¿Í ÀÇ subspaceÀÓÀ» Áõ¸íÇ϶ó.

 

Prob 4. 3 (±³Àç p. 124)

    ¢£ ÀÏ ¶§, .

     

Prob 4. 4 (±³Àç p. 124)

    ÀÎ ¼±Çüº¯È¯ Áß, , À» ¸¸Á·ÇÏ´Â ¼±Çüº¯È¯ÀÌ Á¸ÀçÇϴ°¡?

    ¸¸ÀÏ ±×·¸´Ù¸é À̶ó ÇÒ ¶§, À̸¦ ÀÌ¿ëÇÏ¿©, ÀÇ ±¸Ã¼ÀûÀÎ ½ÄÀ» ãÀ» ¼ö Àִ°¡?

 

Prob 4. 5  (±³Àç p. 124)

    Let L.T ¶ó Çϰí, ¸¦ ÀÇ ºÎºÐÁýÇÕÀ̶ó°í ÇÏ°í °¢°¢ÀÇ ¿ø¼Ò°¡ ¼±Çüµ¶¸³(L.I.)À̶ó°í ÇÏÀÚ.

    ¸¸ÀÏ °¡ for ¸¦ ¸¸Á·ÇÑ´Ù¸é, °¡ linearly independent(L.I.)¶ó´Â °ÍÀ» Áõ¸íÇ϶ó.

    (Áï , L.I.  setÀÇ inverse  image ´Â L.I.  ÀÌ´Ù. )

 

4.2   Invertible L.T.

 

  Def. 4.3.

    L.T.  T: V  -> W °¡ ¾Æ·¡ÀÇ µÎ Á¶°ÇÀ» ¸¸Á·Çϸé, isomorphismÀÌ µÈ´Ù.

    1)   °¡ 1-1 (injective)

    2)    °¡ onto (surjective) (Áï, °¡¿ª)

 

  Lemma 4.6

    6) °¡   invertible  L.T.       µµ invertible  L.T.

 

Prob 4. 6 (±³Àç p.129)

    Suppose , °¡ L.T and °¡ well-defined¶ó°í ÇÏÀÚ. ¾Æ·¡ÀÇ ¹®Á¦¸¦ Áõ¸íÇ϶ó.

      1) °¡ 1-1  °¡ 1-1

      2) °¡ onto °¡ onto

      3) ¿Í °¡ °¢°¢ iso. => ST µµ iso.

      4) If ¿Í °¡ °¢°¢ Å©±âÀ̰í rank°¡ ÀΠ Çà·ÄÀÌ¸é  => ABµµ Å©±âÀ̰í rank°¡ ÀΠ Çà·Ä

 

  Thm 4.7 (±³Àç p.129)

    (°°Àº ü(field) »óÀÇ) µÎ V.S. ¿Í °¡ iso.

 

Prob 4. 7

    L.T. 

    (1) °¡ 1-1 iff

    (2) If , then °¡ 1-1 °¡ onto

 

Note

 

  Cor 4. 8

    (ü(Field)  »óÀÇ) ¾î¶² Â÷¿ø V.S. µµ  °ú  isomorphicÀÌ´Ù.

 

Prob 4. 8

    Find the Matrix of reflection about line

    in

    e.g.

     

Prob.4. 9

    Find the coordinate vector of

    w.r.t the given ordered basis for

    (1) 

    (2)

 

   ¿¹ 4.11

    Let L.T. by ¢£

    ±³Àç p.70 ÀÇ remark(2) ¸¦ º¸¸é ÀÌ L.I. vectors À̸é ÀÌ µéÀº ¡°parallelepiped" (ÆòÇà´Ù¸éü?)¸¦ ÀÌ·é´Ù.

    ÀÌ A´Â À§ÀÇ  parallelepiped¸¦ ·Î ÀÌ·ç¾îÁø »õ·Î¿î parallelepiped P(C) ·Î º¸³½´Ù.

    Let then

 

Prob 4. 10

    L.T.   by

    °¡ unit curve¶ó Çϸé image parallellepied    ÀÇ ºÎÇÇ´Â?

    (Á÷Á¢ »ý°¢ÇØ º¸½Ã¿À!)

 

4.3 ÀÀ¿ë Computer graphics (skip)

 

computer screen »óÀÇ ±×¸²ÀÇ animation°ú graphical display.

L A ¸¦

Ãà¼Ò, È®´ë, ȸÀü, reflection

Ãà , ,

(skip)

 

Prob 4.11

          Find the matrix for the rotation about the line determinded by by .

 

4.4  Matrices of L.T's

 

Goal : Show ¢£ L.T.  ,¢¤! matrix s.t. for all

 

Let  L.T.  with ordered basis .

 

    Let

    [Show ¢£]

 

À§ÀÇ matrix ¸¦ ¡° ÀÇ matrix representation(Çà·Ä Ç¥Çö) w.r.t basis and      

  (¶Ç´Â ÀÇ associated Çà·Ä  w.r.t basis and )"À̶ó Çϰí

¶ó ¾´´Ù.

Áï, Çà·ÄÇ¥ÇöÀº    ¹æ¹ýÀ¸·Î ±¸ÇÏ¸é ½±´Ù.

 

Note

 

Note

 

   ¿¹ 4.14 (±³Àç : p.138)

    Let by  with the basis and  for and

    Find 

 

    ¿¹ 4.15  

    Let by  w.r.t. standard basis  and resp.

    Find 

 

 Example 4 .16 (±³Àç p.138)

    Let with , ¿¡ ´ëÇØ standard basis  ÀÏ ¶§  Find

 

¹® 4.12 (±³Àç p.139)

    Let  (standard basis)ÀÏ ¶§ ¾Æ·¡ L.T. ÀÇ matrix representation À» ±¸Ç϶ó.

    À϶§ ´Â?

    (1)

    (2)

 

Prob 4 .13   

    Let  by

    Let , be the standard basis for and , resp.

    Find

 

Prob 4 .14

    Let  °¡ Ç×µî »ç»óÀ̰í , , , ÀÏ ¶§ ´Â ±âÀúÀÌ°í ¿Í (resp.) ´Â ÀÇ two basisÀÌ´Ù.

    ÀÌ ¶§  ¿Í  ¸¦ ±¸ÇÏ¿©¶ó.

 

4 .5   LT  ÀÇ º¤ÅͰø°£

 

Note

 

p. 143 ÀÇ ¹®Á¦ 4. 17 À» Do!!

 

4 .6    Change of basis

    

¥á, ¥â°¡ ÀÇ µÎ different basis¶ó ÇÏÀÚ.

ÇнÀ¸ñÇ¥ : »çÀÌÀÇ °ü°è

 

 carp_cool_4.gif    ¿¹)

    then

    Áï, ÃàÀ̵¿À¸·Î x'y'-ÁÂÇ¥Ãà¿¡¼­ standard ellipse¸¦ ¸¸µé ¼ö ÀÖ¾ú´Ù.

 

Def. 

    In General ,

    Let      and   be two ordered  basis for V

    Let 

       ¢£  = 1, 2,  ... , n  À̹ǷÎ

    ¢£ for some

    ±×·¯¸é 

    À̰ÍÀº    °ú µ¿Ä¡À̰í À̸ç

    Âü°í  = ÀÌ´Ù.

    ( ie. ´Â vector ÀÇ Ç¥ÇöÀ» ¥â-coordinates¿¡¼­ ¥á-coordinates·Î ¹Ù²Ù¾îÁØ´Ù. )

    ÀÌ ¸¦ ¥â ¿¡¼­ ¥á·ÎÀÇ transition matrix  (or coordinate change matrix) ¶ó ÇÑ´Ù.

 

Note

 

Prob 4 .18 (±³Àç p.146)

    Find   ( = )  for when basis 

 

4.7 Similarity

 

    Cor. 4 .14

    Let  L.T   T:  ->   

    Let    : transition matrix from ordered basis ¥á and ¥â ( ie.  )

      (1) ´Â invertible  and 

      (2) ¢£ ,

      (3)

 

(skip)   Thm 4.13   Let L.T  T :  (³»¿ë ÷°¡ ÇÊ¿ä.)

 

Def 4 .6 

    Let A, B ¡ô

    A is similar to B  if

    ¢¤ nonsingular          

 

Prob  

    ,

    if is similar to   then is similar to

 

   ¿¹ 4 .20 (±³Àç p. 149)

    Let L.T  T:  --->     by

    Let    : standard basis for .

    : another basis for

    ±×·¯¸é = ÀÌ´Ù

    Find

 

Thm 4 .15  (±³Àç P.150)

    Suppose  °¡ ordered basis ¿¡ °üÇÏ¿© v.s V »ó¿¡¼­ÀÇ L.T T¸¦ represent ÇÑ´Ù.

    If     , then ¢¤ a basis ¥â for V  ¡õ   and

 

¿¹ 4 .21  ( read )

    Let  D: diff. operator on .

    Find w.r.t. 

Sol) 

 

    Let L.T    --->     by 

    ¥á´Â standard basis

    .

    Find   and 

    Show  they are similar .    

Sol)     

 

Problem.4.1

    Find the matrix reflection about the line y=x in the plane R^2

Sol) T: R^ ¡æR^

 

Problem 4.3 solved by ±èÁö³ª Revised by sglee              <2003. 4. 8>

    Show that, for any matrices A and B in (R), tr(AB)=tr(BA)

Sol) Example 4.4¿¡¼­

 

Problem 4.4  4¿ù 5ÀÏ                       solved by ÀÌ½Â¿ë  OK

    Is there a linear transformation such that and If yes, can you find an expression of for in

Sol) ¸¸¾à¿¡ °¡ a linear transformation À̶ó¸é,

bar01_dot1x1_black.gif

À̻󱸱³¼öÀÇ ÀÐ°í º¸´Â ¼öÇÐ ÀÚ·á½Ç  (http://matrix.skku.ac.kr/sglee)         

¨Ï 2003 Prof. S.G.Lee, Dept. of Math of SungKyunKwan University