ATLAST 2.2; 15 -- ¾ó¸¶³ª ¸¹Àº singular matrix(ºñ°¡¿ªÇà·Ä)µéÀÌ Á¸ÀçÇϴ°¡? -- ÇØ´ä

randint[m_,n_,k_:9] :=
   Table[ Random[Integer,{-k,k}], {m},{n}]

(a) ´ÙÀ½ÀÇ Äڵ带 ÀÔ·ÂÇϸé 2.2; 15(a)¸¦ Ç® ¼ö ÀÖ´Ù.

´ÙÀ½ µÎ ÁÙÀ» ½ÇÇà½ÃÄÑ º¸°í Ã¥ÀÇ ³»¿ë¿¡ ÇØ´çÇϵµ·Ï ³»¿ëÀ» ä¿ö ³Ö¾î¶ó.
hundredDets[k_] := Table[ Det[randint[2,2,k]], {100}]
trial = hundredDets[5]
[Graphics:../Images/index_gr_76.gif]
Count[trial,0]À» ÀÌ¿ëÇÏ¿© 0ÀÇ °¹¼ö¸¦ ¼¼°í, ±× °á°ú¸¦ Ç¥¿¡ ä¿ö³Ö¾î¶ó.
Count[trial,0]
[Graphics:../Images/index_gr_77.gif]

ÀÌ°ÍÀº trialÀ̶õ list¿¡¼­ 0ÀÇ °¹¼ö¸¦ ¼¾ °ÍÀÌ´Ù; ¹®Á¦¿¡¼­ ¿ä±¸ÇÑ ÀÓÀÇ·Î »ý¼ºµÈ 100°³ÀÇ Çà·Ä¿¡¼­ singular matrixÀÇ °¹¼ö¸¦ ¼¾ °ÍÀÌ´Ù.

´ÙÀ½Àº Ã¥¿¡ ÀÖ´Â (a)¹®Á¦ÀÇ Ç¥¸¦ ä¿î °ÍÀÌ´Ù.
Table[
   Count[hundredDets[k],0],
{k,20}]
[Graphics:../Images/index_gr_78.gif]

(b) k°¡ Áõ°¡ÇÒ ¼ö·Ï singular matrixÀÇ ÆÛ¼¾Æ®´Â ¾î¶»°Ô º¯Çϴ°¡?

±× °ªÀº 0À¸·Î Á¢±ÙÇÑ´Ù.

(c) Ã¥¿¡ ³ª¿ÍÀÖ´Â ¼¼°¡Áö ¹®Á¦.

Çà·ÄÀÌ singularÀ϶§ ±× Çà·ÄÀÇ µÎ ¿­º¤ÅÍ°¡ ¾î¶»°Ô ±âÇÏÇÐÀûÀÎ °ü°è¸¦ °¡Áö°Ô µÇ´Â°¡? Çà·Ä½Ä(Determinant)¿Í ¿µ¿ª°ú ¿¬°èÇÏ¿© ¼³¸íÇ϶ó.

±×°ÍµéÀº ÆòÇàÀÌ µÈ´Ù./FONT>

[¿ªÀÚÁÖ] ¿ø·¡ÀÇ ³»¿ë¿¡´Â ¾î¶°ÇÑ ±×¸²À¸·Îµµ ¼³¸íÇÏ°í ÀÖÁö ¾Ê´Ù. µû¶ó¼­ ±× ³»¿ë¿¡ ´ëÇØ ´ÙÀ½°ú °°Àº ¹æ¹ýÀ¸·Î ±×¸®µµ·Ï ÇÑ´Ù.

[Graphics:../Images/index_gr_79.gif]
[Graphics:../Images/index_gr_80.gif]
[Graphics:../Images/index_gr_81.gif]
[Graphics:../Images/index_gr_82.gif]
[Graphics:../Images/index_gr_83.gif]
[Graphics:../Images/index_gr_84.gif]

[Graphics:../Images/index_gr_85.gif]

[Graphics:../Images/index_gr_86.gif]

ºñÀ²¸¸ Ʋ¸± »ÓÀÌÁö ÆòÇàÇÑ º¤ÅÍ°¡ ³ª¿Â´Ù.

[Áõ¸í] ÀÇ¿Ü·Î °£´ÜÇÏ´Ù.

[Graphics:../Images/index_gr_87.gif]
[Graphics:../Images/index_gr_88.gif]
[Graphics:../Images/index_gr_89.gif]
[Graphics:../Images/index_gr_90.gif]

ad-bc=0 À̶ó¸é ad=bc, [Graphics:../Images/index_gr_91.gif]. µû¶ó¼­ a:b=c:d. µû¶ó¼­ (a,b)=k(c,d)ÀÇ ÇüÅ°¡ µÈ´Ù.

(b)¿¡¼­ ³ªÅ¸³ª´Â ÆÐÅÏÀ» ±×·²µíÇÏ°Ô ¼³¸íÇÒ ¼ö ÀÖµµ·Ï À§ÀÇ ³»¿ëÀ» ÀÌ¿ëÇ϶ó.

k°¡ Áõ°¡Çϸé, ´õ ¸¹Àº lattice point(°ÝÀÚÁ¡)µéÀÌ »ý±â°í, ±×¸¸Å­ ÆòÇàÇÑ º¤ÅÍÀÇ °¹¼ö°¡ ÁÙ°Ô µÈ´Ù.

k=1ÀÏ °æ¿ì¿¡ ³ªÅ¸³ª´Â singular¹ß»ýÈ®·üÀ» ¸¸Á·½ÃÅ°µµ·Ï ±âÇÏÇÐÀûÀ¸·Î ¼³¸íÇ϶ó. ±×¸®°í singular matrixµéÀÌ ¹ß»ýÇÏÁö ¾ÊÀ» Ƚ¼öµµ »ý°¢ÇØ º¼ ¼ö ÀÖ´Ù. (¹°·Ð ÀÌ°ÍÀº È®·üÀº ±¸ÇÏ´Â ¹®Á¦ÀÌ´Ù.)

k=1ÀÏ °æ¿ì -1,0,1¿¡¼­ ¹ß»ýÇÒ ¼ö ÀÖ´Â ÀüüÀÇ °ÝÀÚÁ¡Àº 9°³°¡ Á¸ÀçÇÑ´Ù. ¸¸ÀÏ Ã¹¹ø° ¿­À» º¤ÅÍ·Î »ý°¢Çϸé, µÎ¹ø° ¿­ÀÌ ÆòÇàÀÏ °¡´É¼ºÀº 9¹øÁß ¼¼¹øÀÌ´Ù. Áï 33%ÀÇ SingularÈ®·üÀÌ ³ª¿Â´Ù. ½ÇÁ¦·Î ¸¸ÀÏ Ã¹¹ø° º¤ÅÍ°¡ (0,0)ÀÏ °æ¿ì det°¡ 0ÀÌ µÉ·Á¸é µÎ¹øÀç º¤ÅÍ°¡ ÆòÇàÇØ¾ß ÇÑ´Ù. µû¶ó¼­ È®·üÀº (1/9)+(8/9)(1/3)=11/27 Áï, 41%Á¤µµÀÌ´Ù.

(d) 3x3Çà·Ä¿¡ ´ëÇؼ­µµ µ¿ÀÏÇÑ ½ÇÇèÀ» ÇØ º¸ÀÚ. -- ´ÜÁö Ç¥¸¸ ÀÛ¼ºÇ϶ó.

hundredDets[k_] := Table[ Det[randint[3,3,k]], {100}]
Table[
   Count[hundredDets[k],0],
{k,20}]
[Graphics:../Images/index_gr_92.gif]

(e) k°¡ Áõ°¡ÇÒ ¼ö·Ï singular matrixÀÇ ÆÛ¼¾Æ®´Â ¹«¾úÀ» °¡¸£Å°´Â°¡? 2x2¿Í ºñ±³ÇÒ ¶§¿¡´Â ¾î¶²°¡?

¿©ÀüÈ÷ 0À¸·Î Á¢±ÙÇϸç, 2x2ÀÇ °æ¿ìº¸´Ù ´õ »¡¸® Á¢±ÙÇÑ´Ù.

(f) ÈùÆ® : ºÎÇÇ¿¡ ´ëÇØ »ý°¢Ç϶ó.

Çà·ÄÀÌ singularÀ϶§ ±× Çà·ÄÀÇ µÎ ¿­º¤ÅÍ°¡ ¾î¶»°Ô ±âÇÏÇÐÀûÀÎ °ü°è¸¦ °¡Áö°Ô µÇ´Â°¡?

±×µéÀº µ¿ÀÏÇÑ Æò¸é¿¡ ÀÖÀ¸¸ç ºÎÇÇ´Â 0ÀÌ µÈ´Ù.

[¿ªÀÚÁÖ] ÀÌ °æ¿ìµµ, ±×¸²À» ±×·Á º¸ÀÚ.

[Graphics:../Images/index_gr_93.gif]
[Graphics:../Images/index_gr_94.gif]
[Graphics:../Images/index_gr_95.gif]
[Graphics:../Images/index_gr_96.gif]
[Graphics:../Images/index_gr_97.gif]
[Graphics:../Images/index_gr_98.gif]

[Graphics:../Images/index_gr_99.gif]

[Graphics:../Images/index_gr_100.gif]
Çà·ÄÀÌ singular°¡ µÉ ¶§ ÀÌ°ÍÀº ¾î¶² °¡´É¼ºÀ» ¸»ÇÏ°í Àִ°¡?

Å« k¿¡ ´ëÇØ, 3°³ÀÇ ÀÓÀÇÀÇ º¤ÅÍ´Â ½Å±âÇÏ°Ôµµ µ¿ÀÏÇÑ Æò¸é»ó¿¡ ¿À°í µ¿ÀÏÇÑ ¼¼ º£°Å°¡ ÇÑ Æò¸é»ó¿¡ ¿À¸é, Çà·ÄÀº Singular°¡ µÈ´Ù.


Converted by Mathematica      March 1, 2000