카탈란 수의 다양한 의미 사이의 1-1 대응 관계
(Bijections between different meanings of Catalan numbers)


우리는 앞에서 카탈란 수에 대한 많은 해석 중에 6 가지의 해석을 소개하였다. 특정한 성질을 갖는 모양(configurations)은 단계적 과정(inductive steps)을 그림으로 보여줌으로써 카탈란 수에 대한 의미를 쉽게 이해할 수 있었다. 각 단계마다 가능한 모양의 개수가 같으므로, 서로 다른 성질을 갖는 모양들 간에는 1-1 대응관계에 있음을 알 수 있다. 이에 대한 확실한 이해를 애니메이션을 통하여 알아보자.

우리는 각 모양의 대응관계를 보다 쉽게 이해할 수 있도록 다음의 1-1 대응 하에서 대응되는 대상끼리는 같은 색을 칠하여 그림을 그렸다. 카탈란 수의 각각의 의미 사이에 그림 순서대로 1-1 대응을 정의할 수 있고, 그 대응규칙(함수)는 아래의 예를 설명하는 애니메이션으로 쉽게 이해할 수 있다.

위에서 각 집합의 원소의 개수가 카탈란 수이다.