Fibonacci 수와 자연              

우리는 Fibonacci 가 누구이고, 피보나치 수란 어떤 것이면 피보나치수가 거대한 대자연에서 어떻게 나타나는지 알아볼 것이다.                              

가계도나 나선형의 잎과 씨에서 이 Fibonacci 수가 다양한 형태로 나타나는 이유를 알아본다.

그리고 나서, 성장하는 식물의 애니메이션을 통해 황금 분할이 자연계에서 어떻게 나타는지를 조사한다.

 

차례

..그리고 듀드니의 소..

     Fibonacci 수와 꿀벌의 가계도        

 Fibonacci 수와 황금 비율 

 Fibonacci 수와 소라 나선
 Fibonacci 수와 가지를 갖는 식물

꽃잎

             씨머리

             솔방울

             잎의 배열

              Fibonacci 손가락

              음악에서 Fibonacci 수열은 어떻게 쓰여지는가?

Coxeter on Phyllotaxis 의 인용

금융시장에서의 Fibonacci Numbers (Elliott Wave Principle)

          참조  
           
 

 Phyllotaxis와 Fibonacci 수와 자연에 관련된 링크

 

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ..More..

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피보나치는 누구인가?

 

Fibonacci의 토끼

일년에 몇 쌍의 토끼가 생겨날 것인가?

  1. 첫번째 달의 마지막에, 그들은 짝짓기를 한다. 그러나 들판에는 여전히 한 쌍 뿐이다.
  2. 두 번째 달의 마지막에 암컷은 한 쌍을 낳는다. 따라서 들판에는 두 쌍의 토끼가 있게 된다.
  3. 세 번째 달의 마지막에는, 처음의 토끼 한 쌍이 두 번째 다른 한 쌍의 토끼를 낳았기 때문에 들판에는 세 쌍의 토끼가 있게 된다.
  4. 네 번째 달의 마지막에는, 처음의 암컷과 두 달 전에 태어난 암컷이 각각 새로운 한 쌍의 토끼를 낳아 결국 다섯 쌍의 토끼가 있게 된다.

 



들판에 있는 토끼의 숫자는 매월 첫 날에 각각 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ,34, …

어떻게 이 순서가 만들어지고 연속되는지 이해 하는가? 만약 못한다면, 해답을 참조하라.

첫번째 100 Fibonacci 수와 질문에 대한 답이 여기에 있다.

왜 이 해답이 이 토끼 문제의 해답인지 아는가?  모르겠다면, 여기를 봐라.

또 다른 토끼의 가계도 :

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ..More..

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토끼의 가계도는 너무나 비현실적이지 않은가?

형제끼리 짝짓기를 한다는 것은 유전적으로 문제가 있을 수 있다. 각 쌍의 암컷 토끼가 어떤 수컷과도 짝을 지을 수 있어서 다른 한 쌍을 낳는다고 해야지만 이 문제가 해결될 것이다.

다른 문제 역시 자연의 섭리에 맞지 않는다. 어떻게 항상 꼭 한 마리의 수컷과 한 마리의 암컷만을 낳을 수 있는가?

듀드니의 소

 

영국인 Henry E Dudeney(1857-1930)은 퍼즐에 관한 훌륭한 책을 몇 권 집필했다. 그 중 어느 한 권의 책에서 그는 Fibonacci의 토끼에 소를 적용해서, 우리가 위에서 살펴본 방법으로 가계도를 좀더 현실적으로 만들었다. 그는 정말로 흥미 있는 것은 오로지 암컷이라는 점에 주목 하면서 문제에서 벗어났다. 수로 말이다!

그는 그의 저서 [536퍼즐과 흥미로운 문제들(1967, Souvenir press)]중 문제 175번에서 달을 年으로 바꾸고 토끼를 황소와 암소로 바꾸었다

소가 죽지않는다고 가정하고, 암소가 두 살 때 첫번째 암 송아지를 낳고 후에 매년 한마리씩의 암소를 낳는다면 12년 후에 몇 마리의 암 송아지가 생겨날 것인가?

그러면, 이 문제는 좀 더 단순해지면서 현실적으로 된다.

그러나 Fibonacci도 수학자들이 보통 처음에 하는 것처럼, 문제를 단순화하고 무엇이 나타나는 가를 보았다. 따라서 그의 이름을 가지는 시리즈들 중에는 우리가 나중에 보면 알듯이 흥미진진하고 실질적인 가치를 가지는 시리즈들이 매우 많다.

자, Fibonacci의 시리즈에 의해서 정확하게 모델링된 실제 생명의 현상을 살펴보자.

바로 꿀벌의 가계도이다.

Fibonacci 수와 꿀벌의 가계도

지구상에는 30,000 종이 넘는 벌의 종류가 있으며 대부분의 벌들은 독자적으로 살아간다. 그 중에 우리가 가장 잘 알고 있는 것이 꿀벌이다. 이들은 대개 벌통이라고 불리 우는 군거지에서 살며, 독특한 가계도를 가지고 있다. 여기에서 우리는 꿀벌에 관한 평범하지 않은 많은 사실과 어떻게 Fibonacci의 수가 꿀벌의 조상을 세는지를 볼 것이다. (앞으로 말하는 “벌” 은 “꿀벌” 을 의미한다. )  
첫 번째로 꿀벌에 관한 독특한 사실 : 그들 모두가 父와 母 둘 다 갖고 있지 않다.
bee icon 꿀벌의 군거지에는 여왕이라고 불리 우는 한 마리의 특별한 암벌이 있다.

bee icon 그리고, 여왕벌과는 다른 또 다른 암벌이 있는데, 이들은 일벌이라 불리며 알을 낳지 않는다.
마지막으로 일은 하지 않는 수벌이 있다.

bee icon 수벌은 수정되지 않은 여왕벌의 알에서 태어나기 때문에 아버지가 없다.
Bee Tree Key 

그러나, 모든 암벌은 여왕벌이 수벌과 교미 했을 때 태어나기 때문에  父母 즉, 아버지와 어머니를 모두 갖는다. 암벌들의 대부분은 일벌로서 생을 마감하고, 몇 마리만이 로얄 젤리라고 불리는 특별한 물질을 섭취하여 여왕별로 자란다. 그리고나서 이들은, 벌들이 무리를 형성하여 벌통을 떠나서 새로운 벌통 집을 만들 때, 새로운 여왕벌로서 군거를 시작한다.
, 암벌은 父母를 가지고, 수벌은 母만을 가지는 것이다.참고로 말하면, 여기서 우리는 기존의 가계도와는 다르게 부모가 자식의 위에 나타나는 가계도를 따라가 보려한다. 가장 최근의 세대가 밑에 있고 위로 올라갈수록 더 늙은 세대가 있게 된다.  이러한 계도는 도표의 맨 위가 아닌 맨 아래에서 조상들을 볼 수 있다. 우리가  토끼 가계도를 그릴 때 한 것처럼 조상을 중심으로 자손들을 나열하는 것과는 반대의 방법인 것이다.

Bee Tree수벌의 가계도를 보자.

그는 母만을 갖는다.

그는 그의 母가 父母를 갖기 때문에 祖父母를 가지고 있다..

그는 3명의 高祖父母를 갖고있다: 그의 祖母는 父母를 갖고있으나 그의 祖父는 오로지 母만을 갖기 때문이다.

얼마나 많은 高高祖父母를 그가 가지고 있나?

여기서 우리는 다시 한번 Fibonacci 수를 볼 수 있다:

                                       great-     great,great   gt,gt,gt
                           grand-      grand-     grand         grand
Number of       parents:   parents:    parents:   parents:      parents:
of a MALE bee:    1           2           3          5             8
of a FEMALE bee:  2           3           5          8            13
  

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ..More..

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조금 더 생각해 보기

자신의 가족의 가계도를 만들어 봐라. 부모와 조부모나 다른 나이 많은 친척들에게 묻는다면 몰랐던 가족의 특정한 부분을 말해 줄 것이다. 많은 가족을 찾다 보면 꽤 재미있을 것이다. 친척들의 오래된 사진들을 가계도에 붙여 보아라(친척들이 사진을 보관하길 원한다면 복사해서 붙여라). 그리고 원한다면 그들의 출생 연도와 장소, 사망한 날, 또는 결혼일 등을 적어 보아라.

兄弟와 姉妹의 이름은 당신과 같이 父母의 이름을 따른다. 異腹兄弟, 姉妹는 무엇인가?

四寸을 兄弟나 姉妹, 父母, 子息 보다 단순한 말로 설명해 보라.

조카딸과 조카아들에게도 똑같이 적용해 보아라. 6寸 兄弟는 무엇인가? 妹夫나 妻男, 시누이, 올케, 妻兄, 丈母, 시어머니등은 무엇을 의미하는가? 祖- 나 高- 는 당신 父母의 친척을 의미한다. 그러므로 祖父는 당신 부모의 부이다.그리고 대고모는 당신 부모의 고모의 이름인 것이다.

‘나 ’가 맨 아래에 있고, ‘아빠 ’, ‘엄마 ’ 가 그 위에 있는 가계도를 그려 보아라. ‘형제’, ‘자매 ’, ‘삼촌 ’, ‘조카 ’, 그 밖에도 당신이 아는 많은 친척들에 대해서도  표시해 봐라. 당신이 형제나 자매, 조카가 없다는 것은 문제가 되지 않는다. 왜냐하면 가계도는 단지 그들과의 관계를 나타낼 뿐이기 때문이다.

[만약 외국어를 잘 하는 친구가 있다면, 외국어로는 친척관계를 나타낼 때 어떤 말을 사용하는지 물어 봐라]

아내의 부모의 형제를 나타내는 말은 무엇인가?

당신 부모의 자매를 나타내기 위해 다른 호칭을 사용하는가?

하나는 혈연이고 다른 하나는 결혼으로 맺어졌기 때문에 法에서는 이 둘을 구분한다. 어느 관계가 혈연이고, 어느 관계가 결혼으로 맺어진 것인가?

사람은 몇 명의 부모를 가지고 있는가?

가계도에 몇 명의 조부모를 위한 자리를 만들어야 하는가?

, 그들 각각은 부모를 갖고있다. 몇 명의 증조모가 가계부에 있게 되는가?

..그리고 고조부모가 몇 명이나 있는가?

이 일련의 숫자들의 패턴은 무엇인가?

만약 부모의 한 세대를 올라간다면, 그리고 두 세대 조부모를 올라간다면, 가계도의 다섯 세대를 올라간다면 기재를 몇 개나 해야 하는가? 그리고 10세대의 경우는?

인간의 가계도는 Fibonaccoi수와는 다른 수열이다.  이 수열을 무엇이라 하는가?

     위 질문에 대한 답에 대해서, Dee Duckshun은 말한다.

더 먼 가계도로 올라갈수록 거기에 들어가는 사람들은 늘어난다. 계속 그려나간다면 이 가계도는 현재 지구에 살고 있는 모든 사람의 가계도일 것이다. 그리고 그것은 과거로 갈수록간 더 많은 사람들이 있다는 것을 말한다. 그러므로 미래로 갈수록 지구의 인구는 줄어 든다는 것이 논리적인 결론이다!

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ..More..

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Fibonacci 수와 황금 비율

Fibonacci 수열에서 연속되는 두 수의 비율을 알아보면 (각각의 수를 앞의 수로  나누면,  다음과 같은 결과를 볼 수 있다.

1/1 = 1,   2/1 = 2,   3/2 = 1·5,   5/3 = 1·666...,   8/5 = 1·6,   13/8 = 1·625,   21/13 = 1·61538...

이 결과를 그래프로 나타내면 어떻게 되는지를 보면 더 쉽게 이해가 갈 것이다.

fibratio.gif

이 비율은 특정한 값으로 다가간다. 우리는 이것을 황금 비율, 또는 황금 수 라고 부른다. 이것은 대락 1.61804의 값을 나타낸다. 다음 페이지에서 더 정확한 값을 볼 수 있을 것이다.

 다른 방법으로 비율을 취한다면 무엇이 발생하는가? 예를 들어 각각의 수를 앞의 수가 아닌 뒤의 수로 나눈다면: 1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, ..?

계산기를 사용해라. 그리고 이들 비율을 그래프를 그려보고그 위의 그래프와 비슷한 현상이 나타나는지 살펴보아라.
 새로운 시리즈의 한계 값을 발견하면 이 비율의 기본적인 성질을 찾아낼 수 있을 것이다.

1.618034황금 비율황금 분할이나 황금 평균 또는 단순히 황금 수로 불리기도 한다. 이것은 종종 그리스어인 Phi 로 쓰여진다. 우리가 소문자 “p” 로 쓰는, phi 는 Phi의 십진법, 즉 0.618034 와 근접한 기준이다.

Fibonacci 직사각형과 소라 나선

옆의 그림과 같이 크기가 1인 두개의 사각형을 나란히 그린 후 이 두 사 각형 위에 크기가 2(=1+1)인 사각형을 그려보자. 그러면Fibonacci 수열 1,1,2,3,5,8,13,21,..를 발견할 수 있다.

새로운 정사각형을 계속 그려나가 보자. 크기가 1인 정사각형과 2인 정사각형의 변에 이어서 한 변의 길이가 3인 정사각형을 그리고 다시 같은 방법으로 한 변의 길이가 5인 정사각형을 그리면 된다. 계속해서 한 변의 길이가 8,13,21인 정사각형을 그릴 수 있을 것이다. 각각의 새로운 정사각형은 근접한 정사각형의 두개의 변의 합의 길이를 갖는다.  그리고 각각의 정사각형의 변의 길이를 나열하면 바로 연 Fibonacci 수열이 된다. 우리는 이것을 Fibonacci 정사각형이라 부를 것이다.
fibspiral2.GIFShell옆의 그림은 각각의 정사각형마다 4분의1 원을 그린 후, 그 4분의1 원들을 이어주게 되면 하나의 나선을 그릴 수 있다는 것을 보여준다. 이것이 바로Fibonacci 나선이다. 이러한 나선은  달팽이 집이나 조개에서 나타난다. 반면에 Fibonacci 사각형 나선은 Phi(1.618..)의 요인에 의해 4분의 1 차례로 증가한다.(예로 곡면을 도는 4분의 1차례의 점은 1.618.. 곱하기 중심으로부터의 거리, 그리고 이것은 곡선 위의 모든 점에 적용된다), 해양의 나선은 점이 중앙으로부터 1.618..의 요인을 지나기 전에 회전한다.

소라를 클릭하면 확대된다.

이 나선들의 모양은 Equiangular 나 또는 Logarithmic spirals 로 불린다. 이 용어를 클릭하면 컴퓨터를 이용해 그린 조개의 곡선과 그림에 대해 보다 많은 정보를 알 수 있다.

Reference

The Curves of Life Theodore A Cook, Dover books, 1979, ISBN 0 486 23701 X.
A Dover reprint of a classic 1914 book.

 

Fibonacci 수와 가지를 갖는 식물

sneezewort.GIF

우리는 특별하게 식물의 생장점에서 Fibonacci 수를 볼 수 있다. 식물이 가지를 낼 때 그 가지는 다른 가지를 지탱하기 위해 두 달을 자라야만 한다고 가정 하자. 만일 식물이 가지를 매달 생장점 뒤에 낸다면 위의 그림과 같이 나타낼 수 있다.

이 그림과 매우 비슷하게 자라는 식물은 “sneezewort”이다: Achillea ptarmica.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ..More..

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꽃잎

Fibonacci 수열이 나타나는 꽃잎을 갖는 식물은 무수히 많다:

백합과 붓꽃은 3개, 미나리아재비는 5개, 참제비고깔은 8개, 금잔화는 13개 애스터는 21개, 그리고 데이지는34개나 55개 혹은 89개의 꽃잎을 갖고 있다.

다음의 링크들은 다양한 꽃과 식물의 목록이다:

네델란드 Flowerweb의 검색 가능한 찾아보기 Flowerbase

Helsinki Internet Directory for Botany에는 모든 양상의 식물학에 대한 풍부한 정보와 전세계의 식물에 관한 사이트를 연결한 거대한 Images섹션이 있다.

황금 분할과 Fibonacci 수가 어디에서 나타나는지 찾아 보아라.

미국 농산부의Plants Database는 1000개가 넘는 이미지와 식물 정보 그리고 검색 가능한 데이터 베이스를 갖고 있다.

3개의 꽃잎: 백합, 붓꽃

종종 백합은 각각 3개의 잎으로 구성된 2개의 세트로 총 6개의 꽃잎을 갖기도 한다.

5개의 꽃잎: 미나리아재비, 야생 장미, 참제비고깔속, 매발톱꽃(aquilegia)

초라한 미나리아재비는 다중꽃잎의 형태로 번식한다.

8 개의 꽃잎: 참제비고깔

13개의 꽃잎: ragwort, 금잔화, cineraria

21개의 꽃잎: aster, black-eyed susan, chicory

34개의 꽃잎: plantain, pyrethrum

55, 89 개의 꽃잎: plantain, pyrethrum the asteraceae family

미나리아재비와 같은 몇 개의 종은 정확한 Fibonacci 수의 꽃잎을 갖고 있다. 그러나 다른 종들은 Fibonacci 수와 비슷한 꽃잎의 수를 갖고 있다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ..More..

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씨머리

seedhead1.GIF우리는 꽃 머리의 씨의 배열에서도  Fibonacci 수는 볼 수 있다. 옆의 그림을 확대시키면 큰 해바라기나 데이지를 볼 수 있다. 중앙에는 검은 점이 있다.

씨들이 나선을 형성하며 오른쪽이나 왼쪽으로 회전하는 것을 볼 수 있다. 이 나선들을 오른쪽 가장자리에서 세보면 34개가 된다. 다른 쪽으로는 몇 개가 있는가? 이 두 수는 Fibonacci 수열의 한 부분임을 알 수 있다.

위와 같은 사실은 보통 식물의 씨 머리에서 나타난다. 그 이유는 씨 머리의 크기와 무관하게, 중앙에 몰리지도 않고 구석에 퍼지지도 않게 씨들이 통일된 방식으로 배열되기 때문인 것으로 짐작된다.

두 방향에서 중앙으로 접근한 나선을 세어 본다면, 그 수는  Fibonacci 수가 될 것 이다. 나선들은 눈이 따라가는 패턴이다. “curvier” 나선은 중앙에서 보이고, Flatter 나선은(“curvier” 나선보다 더 많은 양) 중심에서 벗어날수록 나타난다.

다음의 그림은 500, 1000 그리고 1500 씨들의 그림이다. 클릭하면 좀 더 확대해서 볼 수 있다.

.

120개의 씨들이 중앙의 생장점으로부터 나타나는 퀵타임 애니메이션을 보려면 오른쪽의 링크를 클릭해라. 각각의 새 씨들은 마지막 것으로부터 정확하게phi(0.618)로 돌아 나타난다. (매 턴 마다 Phi(1.618)로 동등하다.) 크기와 무관하게 씨는 항상 일정하게 배열된다는 것을 말한다. 그리고 모든 단계에서 Fibonacci 나선을 볼 수 있다. http://www.ee.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/seeds120.qt

점들에 의해 보여진 패턴은 점이 가지나 꽃잎으로 자라난다 하더라도 나타난다. 각각의 점은 중앙 가지로부터 직선으로 곧바로 나간다.

이러한 과정의 모습은 “생장의 끝부분”이 나선형태로 씨를 만든다는 것을 보여준다. 활동적인 부분은 오로지 “생장의 끝부분”이며 씨들은 만들어진 이후로 점점 커진다.

 [이 애니메이션은 단풍나무에 의해 만들어졌다. 만약 N 이라는 씨가 하나의 틀 안에 있다고 하자. 새로운 씨는 중앙 점으로부터 가장 가까운 곳이자 가장 마지막에 나타났던 씨에서 0.618 각도의 전환점에 나타날 것이다. i 프레임인 씨는 정중앙으로부터의 원래 각도를 유지하나  root 2 만큼 이동할 것 이다.

씨머리에서 나선 또는 꽃잎의 수가 Fibonacci 수열과 가깝게 나타나는 것이지  항상 발견되지는 않는다는 것을 기억하라.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ..More..

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솔방울

pineconePinecone+spirals 

솔방울은 Fibonacci 나선을 명백히 나타낸다. 여기에는 솔방울을 밑(사진의 질이 안 좋음을 양해해라)에서 본 그림과 나선으로 표시한 그림이 있다: 한 방향으로는 빨강색 다른 한 방향으로는 녹색으로 나선이 그려져 있다. [클릭하면 그림이 확대된다.]

 

해야 할 일

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ..More..

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잎의 배열

fibflr1blk.gif마찬가지로, 많은 식물은 줄기 주변의 잎의 배열에서 Fibonacci 수를 보여준다. 이것은 위의 잎이 아래 잎을 가리지 않게 하기 위해 배열되어 각각의 잎이 적당량의 햇빛을 공유하고 뿌리로 빗물이 흘러 가도록 하기위한 것 이다. 옆의 컴퓨터 엑스레이 사진은 나의 동생Brian에 의해 고안된 것이고, 여기에  다른것도 있다. 많은 수의 잎 을 갖고 있는 이 식물은 아프리카의 바이올릿 유형의 식물로부터 얻은 것이다.

Leaves per turn

매회마다의 잎

Fibonacci 수열은 줄기 주변에서 잎의 수를 셀 때 그리고 처음의 잎을 볼 때까지 잎을 셀 때 볼 수 있다.

다른 방향으로 센다면 잎의 수는 같지만 Fibonacci 수열과는 좀 다른 수열을 얻을 것이다.

각 방향의 수의 나열과 잎의 수는 Fibonacci 수열의 연속되는 세 수이다!

예르 들면, 위 그림에 있는  이 식물에서처럼, 다음 위의 잎을 만나기까지 5개의 잎을 지나며 시계방향 3회전을 하고 시계반대 방향으로는 2회전을 한다. 2, 3, 5 가 Fibonacci 수임을 주목하라. 그림 아래의 식물은 8개의 잎을 지나면서 5회전을 또는 시계반대 방향으로 3회전을 한다. 이번에도 역시 3, 5, 8은 Fibonacci 수이다. 따라서 위의 식물은 매 잎 마다 3/5 시계방향의 회전(또는 2/5 시계 반대 방향), 아래 식물은 5/8 시계 방향의 회전(또는 3/8시계 반대 방향)이라고 말할 수 있다.

보통 식물의 잎의 배열

위의 그림은 컴퓨터에 의해 만들어 졌지만, 실제 식물에서도 같은 현상을 볼 수 잇다. 어떤 이는 90%의 식물이 Fibonacci 수와 관련된다고 추정한다.

Fibonacci 수를 가지는 나무는 다음과 같다:

1/2 느릅나무, 참피나무, 라임, 풀
1/3 너도밤나무, 헤이즐, 풀, 블랙베리
2/5 오크, 체리, 사과, 호랑가시나무, 자두, 개쑥갓
3/8 포를러, 장미, 배, 버드나무
5/13 버드나무, 아몬드

n은 지나는 잎의 수이고  t는 회전수이다.

선인장의 가시는 우리가 이미 확인했듯이 솔방울, 꽃잎과 같은 나선형태를 눈에 띄게 보여준다. Charles Dills는 그의 홈페이지에 Fibonacci 수와 관련된 많은 그림을 갖고 있다.

 

식물과 과일로 할 일

처음에는 보아라:

그리고 작은 꽃을 잘라서 다음을 해 보아라:

바나나의 경우는? 몇 개의 면이 있는지 세어 보라- 3개 아니면 5개? 벗겼을 때 반으로 잘라보라(마치 반으로 쪼개는 것 처럼). Fibonacci 수다!

사과는? 줄기를 가르는 것 말고(꽃에서 한 것 처럼) 옆으로 잘라보라. 역시 Fibonacci 수 이다!

샤론을 해보아라(오렌지 색의 토마토 같은)

또 다른 무엇의 과일이나 야채에서 Fibonacci 수를 볼 수 있나? 나에게 이들을 여기나 당신의 웹 페이지에 링크 해 달라

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ..More..

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Fibonacci 손가락?

당신의 손을 보라:

당신은

두손과

단순한 우연일까?

그리고, 손가락 뼈의 길이(악간 굽혔을 때 가장 잘 보임)를 재보면 가장 긴 뼈와 중간 뼈의 비율이 Phi로 보이지 않은가?
 

중간 뼈와 새끼 손가락의 비율은 어떤가? 
 Phi로 보이는 또 다른 비율을 찾아낼 수 있나? --- 또는 그 비슷한 비율인가?

친구들의 손가락을 재어 보고 통계를 내어 보라. 그리고 나에게 결과를 보내 달라.

 

Coxeter의 Phyllotaxis부터의 인용

Fibonacci 수나 황금 분할이 자연계의 많은 부분에서 일어난다 하더라도, 그것들이 모두가 아니다. Coxeter은 그의 기하학의 소개에서 다음의 중요한 사실을 말한다.

어떤 식물은 [Fibonacci 수]에 속하지 않고 [루카스 수]나 더 변칙적인 수에 속한다.

3,1,4,5,9,... or 5,2,7,9,16,...

그러므로 우리는 phyllotaxis 는 일반 법칙이 아니라 단지 매력적인 경향이라는 것을 받아 들여아 한다.

루카스 수는 Fibonacci 수와 동일한 방법에 의해 (앞의 두 수를 더해서) 형성된다. 그러나 0, 1[Fibonacci 수]에서 시작하는게 아니라 2, 1[루카스 수]에서 시작한다.

재미있는 사실은 모든 일련의 수는 다음 수를 얻기 위해서는 앞의 두 수를 더하면 된다는 점과 (0보다 큰) 2단위의 어떤 수로 시작 해도 연속되는 단위는 Phi가 된다는 점이다.

그러므로 Phi는 Fibonacci 수열 보다 보편적이 상수인 것이다.

 

Fibonacci 와 황금분할의 참조

Key

 

   Book: 은 한 권의 책을 의미한다.

   Book:은 잡지의 기사나 과학 저널을 의미 한다.

여기에서 보게 되는 비슷한 내용의 훌륭한 책들은 Trudi Garland and Mark Wahl에 의해 발간 됐다:

  Mark Wahi 의 수학의 신기한 여행,1989 은 선생님들을 위한 가이드 뿐만 아니라 수학적인 조사, 도해, 속임수, 사실들에 대해서 매우 많은 물건을 이용한 해설로 가득 차 있다. 당신의 연구에 큰 원천이 될 것이다.

Trudi Garland의 저서:

매우 훌륭한 책 - 모든 면에 적당하며 수업에 필요한 좀 더 많은 자료를 원하는 교사에게 적합.

Trudy는 캘리포니아에서 교사로 재직하고 있고 여기에 그녀의 책에 대한 정보가 있다.
She also has published several posters, including one on the golden section suitable for a classroom or your study room wall.
You should also look at her other Fibonacci book too:

그녀는 황금 분할을 포함해서 몇몇의 포스터를 교실에 붙일 수 있도록 적당한 크기로 출판하기도 했다.
 

Fibonacci의 재미 : 호기심 자극하는 숫자의 매력적인 활동 교사용 책.  그림을 클릭하면 지금  구입할 수 있다.

Yanega, D. (1996) 꿀벌의 성비와 성할당 (Hymenoptera: Halictidae) Kansas Entomology회의 저널 69번, 98-115 페이지.

꿀벌의 가계도의 불균형 때문에, 수벌과 암벌의 비율은 1대 1이 아니다. 이것은 캘리포니아 대학 곤충학 연구 박물관의Doug Yanega에 의해 주목 되었다. 그는 꿀벌 사회의 암수 비율이 황금비 Phi=1.618033.. 이라는 것을 정확히 추출 해냈다.

피보나치 수열과 음악

 피보나치 수열을 응용한 음악가는 바르톡을 들 수 있다. 악곡의 형식에 있어서 바르톡의 수법은 황금 분할의 법칙과 밀접한 관계를 가지고 있는데 바르톡의 음악에 있어서 황금 분할은 적어도 고전에 있어서의 2+2, 4+4, 8+8,...이라는 대칭적인 악절구조와 똑같은 중요선을 가진 형식원리이다. 많은 그이 작품에서 그 예를 볼 수 있지만 대표작 [Music for Strings, Percussionand Celesta]의 1악장을 적용시켜 보면,

? 89 ?

? 55 │ 34 ?

? 34 │ 21 │ 13 │ 21 ?

? 21 │ 13 │ 21 │ 13 │ 13 │ 8 ?

PP ──────────────── fff ────────── ppp

?─┼──┼───┼──21──┼─────┼────────── ?

 

1 5 8 13 34 55 89

1 2 3 4 경 약 클 종

성 성 성 성 과 음 라

시 시 시 시 구 기 이

작 작 작 작 제 막 지

거 스

4개의 성부가 시작 되는 1, 5, 8, 13 마디는 서로 피보나치 수열에 의한 황금 지수가 되고 그 합인 21과 경과구 13과의 합인 황금 지수 34에서 약읍기를 제거 하고 황금 지수인 55마디에 클라이막스를 두었는데 pp로시작한 악곡을 이곳에서 fff로 고조되고 점차 가라앉는 형태로 되어34마디 뒤에 ppp로 악곡은 종지 된다.

설명을 자세히 들어도 이해하기 힘든 내용이지만 어떻게 성부가 진행되고 어떤 법칙에 의해 악곡이 만들어졌는지를 알면 현대음악을 대하는데, 조금이나마 도움이 될것이다.

바르톡의 [Music for Strings, Percussion and Celesta]을 직접 들어보면서이 내용을 접한다면 아마 더 이해하기 쉬울 거라고 생각한다.

 

Phyllotaxis , Fibonacci 수와 관련된 자연의 또 다른 World Wide Web

Alan Turing

컴퓨터와 인공지능에 그의 생각을 구체화할 전기 저장 프로그램 컴퓨터가 충분히 발달하기 전부터 관심이 가졌던 현대 전산계의 한 아버지 중에 한 사람. 그의 관심사 중 하나는 Morphogenesis였다(Collected Works를 참고). 이는 성장 중인 동물과 식물의 모습에 관한 연구이다.Andrew Hodges에 의한 Alan Turing: The Enigma은 “이니그마” 라고 불리는 기계를 사용해서 전시에 독일 암호를 푼 그의 업적 뿐만 아니라 재미있고 읽을 만한 그의 인생과 컴퓨터 작업들을 담고 있다. 이 책은 불행히도 절판 되었으나, 아마존에서 찾으면 합법적으로 열람 할 수 있다.

The most irrational number

미국 수학회의 웹사이트 중 하나인 수학에서 새로운 것, monthly columns. 이것은 황금 분할과 Fibonacci 나선에 관한 자료이다.

Phyllotaxis

스미스 대학의 생물학과 학생을 위한 식물 형성 패턴의 수학적 연구의 상호적인 사이트. 이 사이트는 Fibonacci 나선과  식물의 다양한 그림을 갖고 있다.

 

금융시장에서의 Fibonacci Numbers (Elliott Wave Principle)

 

 R.N.Elliott 는 1946년 '자연의 법칙-우주의 신비(Nature's Law-The Secret of the Universe)'라는 이론을 발표하였다.

 

엘리어트는, 우리가 그 이유를 정확히는 알 수 없으나, 우리를 둘러싼 우주 또는 삼라만상을 움직이는 어떤 법칙이 존재하고 있음을 경험으로 알 수 있다고 하였다. 해가 지고 해가 뜨며, 봄이 오고 여름이 오고 가을과 겨울이 연이어 나타나고, 밤과 낮의 변화, 춥고 더운 계절의 변화가 질서 있게 나타나는 것은 이러한 삼라만상을 움직이는 법칙이 없고서야 불가능한 일인 것이다. 그리고 우리들의 주된 관심사가 되는 주식 시장에서의 주가도 인간에 의하여 움직여지고 또한 삼라만상을 구성하는 일부분이 되므로, 당연히 우주 또는 삼라만상을 지배하는 법칙이 주식 시장에도 적용될 것임은 틀림없는 사실이다. 엘리어트는 단순히 경험적 직관적으로 주식 시장의 움직임을 지배하는 법칙을 발견한 것이 아니라, 과거 75년 동안의 방대한 주가 움직임을 월간, 주간, 일간, 시간, 심지어는 30분 단위까지의 세밀한 자료들로 모아서 오랜 시간 연구 검토한 끝에 주식 시장의 주가 움직임에 대한 법칙을 발견해 낸 것이다. 이 연구에서 그는 주식시장은 자연의 법칙에 따라 상승 5파, 하락 3파의 사이클에 따라 가격이 변화한다고 주장하였다. 이후 Prechter를 비롯하여 여러 분석가들이 연구를 계속하고 있다. 엘리어트 파동이론은 오늘날 중요한 기술적 분석기법으로 자리잡으면서 수많은 사람들이 따르고 있다.

 

 1). 엘리어트 파동이론의 기본개념

 

 엘리어트 파동이론은 패턴(pattern), 비율(ratio), 시간(time)의 세가지 요소를 포함하고 있다. 패턴은 상승5파와 하락 3파의 가장 중요한 요소이고 다음으로 Fibonacci 수열을 이용해 조정의 폭과 목표가격을 예측하는데 필요한 비율분석, 시간은 패턴이나 비율보다 중요성이 떨어지지만 패턴분석과 비율분석이 정확한 지를 확인하는데 사용된다. 엘리어트 파동이론은 상승장에서와 하락장에서 모두 적용된다. 본 연구에서는 상승장을 주로 예시를 들고 부수적으로 하락장의 예시도 갖추었다.

 

본 이론의 파동 특성은 'Fractal'이라는 성질이다. 이는 시장의 구조가 단기 뿐 아니라 장기적으로도 동일한 패턴으로 구성된다는 것이다. 즉, 파동의 수가 늘어나는 것 뿐이다. 이같은 성질로 장기적인 차트에서도 파동을 셈해 나갈 수 있다.

 

  그림1 >.기본 파동형태

 

 1>. 상승5파

 

5번의 상승파동은 시장의 가격움직임과 동일한 방향으로 형성되는 파동으로 5개의 파동중 1번, 3번, 5번파동은 충격파(impulse waves)가 되고 2번, 4번파동은 조정파(corrective waves)라 한다. 시장의 흐름과 동일한 방향의 충격파동인 1, 3, 5번파동은 반드시 5개의 소파동으로 이루어져야 하고 2,4번 파동은 반대방향의 조정파동이므로 3개의 소파동으로 이루어져야 한다.

 

   그림 2>. 파동구성의 기본법칙

 

 

 1>>. 1번 파동

 

①특징

 

새로운 추세의 반전을 의미하며, 바로 전단계인 c 파동이 5개의 소파동인 하락충격파를 끝마친후 5개의 소파동으로 구성된 상승충격파로 형성한다. 1번 파동은 하락충격파인 c 파동의 반등쯤으로 인식되기가 쉽고 1번 파동으로 인식하는 것이 쉽지않다.

 

첫째, 절대법칙에 위배되지 않을 것.

 

둘째, 앞의 c파동이 5개의 소파동으로 구성되고 1번 파동이 5개의 소파동으로 구성되어 있어야 한다.

 

셋째,시장 특성 분석법에서 사용하는 여러 지표들(RSI, stochastics, MACD 등)을 살펴보면 c파동이 완성되어 갈 무렵에는 시장이 과다하게 약세(oversold)라는 것을 알아 낼 수 있다. 또한 a파동의 바닥과 c 파동의 바닥을 연결하는 선이 RSI 같은 시장지표들과는 서로 다른 움직임을 보이는 괴리현상(divergence)을 나타내는 때가 많으므로 추세가 전환되고 있음을 확인하기기 용이해진다.

 

 

2>>. 2번 파동

 

①특징

 

1번 파동의 조정파동으로 1번 파동과는 반대방향이다. 보통 1번 파동을 피보나치 숫자인 38.2%만큼 되돌리거나 61.8% 정도 되돌린다. 그러므로 실제 거래시 2번 파동이 1번 파동을 100%되돌리거나 그 이상이다면 파동계산이 잘 못되었음을 알고 즉시 손절매 하는편이 낫다.

 

 

3>>. 3번 파동

 

①특징

 

파동중 가장 강력한(긴) 파동일 경우가 많다. 상승장이라면 거래량이 폭증하고 지수의 가파른 상승이 나타난다. 이때 보통 일반투자자는 일단 무조건 사놓고 보자는 경향을 보인다. 물론 하락장이라면 가격 낙폭이 가장 커 깡통계좌가 속출하는 시기이기도 하다.

 

이때는 어제의 최고가(최저가)와 오늘의 최저가(최고가)가 차이가 너무 커 차트상에 빈 공간인 갭이 나타나는 경우가 흔하다.

 

이 파동은 가장 강력하기 때문에 충격파동(1,3,5번)중 가장 짧은 파동이 절대로 될 수 없다.

 

  그림3> . 갭이 있는 3번 파동 (3번 파동은 갭이 자주발생함)

 

 

4>>. 4번 파동

 

①특징

 

충격파동인 3번 파동에 대한 조정파동으로서 거래량도 줄고 일정한 조정을 나타낸다. 가장 큰 특징은 4번 파동의 바닥과 1번 파동의 꼭지점이 겹치지 않는 특징이 있으며 (절대법칙)보통 다음의 성질을 보인다.

 

첫째, 3번 파동을 38.2%만큼 되돌리는 경우가 많다.

 

둘째, 4번 파동의 마지막은 앞서 진행된 3번 파동을 한 등급 낮은 파동으로 세분해 보았을 때, 그 중의 네 번째 파동의 최저점과 일치하는 경우가 많다. (4번 소파동의 법칙)

 

셋째, 종종 2번 파동의 길이와 같게 형성되기도 한다.

 

 

5>>. 5번 파동.

 

①특징.

 

상승 추세의 마지막 단계로 지표가 과열된 상태이다. 모든 일반투자자들이 공격적으로 매수세에 가담하여 사기만 하면 이익을 볼 수 있다는 분위기가 널리 확산된다. 보통 1번 파동의 길이와 같거나 1번 파동의 61.8%만큼 형성되는 경우가 많다. 5번 파동의 막바지에서는 주가는 상승하지만 거래량은 줄어드는등 조만간 조정이 나타날 것을 예고한다.

 

  그림4> . 5번 파동(하락형)

 

 

 아울러 5번 파동에서는 경우에 따라 세 개씩 작은 파동으로 형성된 다섯 개의 파동으로 이루어진 삼각 쐐기형(diagonal triangle)을 형성 하기도 한다. 5번 파동 이후는 급등/급락을 예고하는 것으로 받아들이면된다.

 

  그림5> . 삼각 쐐기형(wedge) 5번 파동

 

6>>. 미달형(failure)과 파동의 연장(extension)

 

①미달형.

 

미달형은 5번 파동이 3번 파동의 꼭지점을 넘지 못하거나 평균적인 채널기법으로 보아 예상 목표치에 미달하는 형태로 발생빈도는 낮다. 5번 파동역시 충격파동이므로 5개의 소파동으로 이루어져야 함은 당연하다.

 

  그림6> . 미달형(failure)

 

 

②파동의 연장(extension)

 

엘리어트 파동이론에서는 1번, 3번, 5번 파동중 하나의 파동은 연장이 나타날 수 있다. 우선 1번 파동에서 연장이 발생할 확률은 매우 낮다. 발생했다면 다시 한번 파동을 점검 해보는 것이 필요하다. 3번 파동에서 연장이 빈번하다. 왜냐하면 상승(하락)이 가장 강력한 시기이고 거래량도 가장 많은 시기이기 때문이다. 3번 파동이 연장되면 보통 1번과 5번 파동의 길이는 같은 경우가 많다.

 

5번 파동이 연장되면 삼각 쐐기형(diagonal triangle) 형태가 나타나서 엘리어트 파동이론의 절대법칙의 예외적인 상황인 4번 파동의 저점이 1번 파동과 겹치는 현상이 나타나기도 한다. (예외에 너무 매달리지 말 것을 권유한다.)

 

  그림 7>. 파동의 연장.

 

 

③2중 되돌림(double retracement)

 

5번 파동이 연장될 때만 나타나는 특수한 형태로 1번 파동이 연장되거나 3번 파동이 연장될 때에는 발생하지 않으며 다음의 성질이 있다.

 

첫째, 5번 파동이 연장되야 2중 되돌림(불규칙꼭지점)이 발생한다.

 

둘째, 5번 파동에서 (5)번째의 소파동이 끝나면 3개의 파동으로 구성되는 a 파동이 하락 국면을 선도하게 된다. 이때 보통 a 파동의 저점은 5번 파동의 (2)번 소파동의 수준과 일치한다.

 

셋째, a 파동이 완성되고 곧 이어 나타나는 b 파동은 급격한 상승세를 나타내게 되는데, 이 상승 파동은 5번 파동의 꼭지점을 넘어서까지 상승해 새로운 꼭지점(new high)를 형성한다.

 

넷째, b 파동이 완성되면 c 파동은 강하고 급격하게 발생한다.

 

 

2>. 하락 3파

 

상승 5파가 마감된 후 하락 3파가 추세를 전환한다. 보통 조정(correction)으로 나타난다.

 

  그림8> 하락 3파와 파동의 세분. (조정파동중 간단한 지그재그형)

  

 

①A 파동

 

5번 파동이 끝나면 조정파동으로 5개 혹은 3개의 소파동으로 구성된 A 파동의 조정이 나타난다. A 파동은 진행속도가 빠른 경우가 많아 일반 투자자는 앞의 상승파동이 모두 21개의 소파동으로 끝났다면 A 파동이 확실하므로 즉시 대비해야한다.

 

②B 파동

 

A 파동에 의해서 주가가 어느정도 하락했다고 생각되면, 과거 1번 파동부터 이어지던 상승 추세를 잊지 못하는 투자자들은 다시 주가를 끌어 올리기 시작한다. 이 파동이 B파동으로 해석된다. B 파동은 A 파동으로 시작되는 새로운 하락 추세에 반발하여 나타나는 일시적인 상승 추세로서, 주식 시장에서의 거래량은 그리 활발하지 못하다. 그러므로 이때에는 아직 5번 파동때 매도시점을 놓친 투자자는 주식을 처분할 수 있는 절호의 기회이기도 하다. B 파동은 A 파동이 있음을 알았다면 A 파동의 61.8%(38.2%)의 크기를 보이므로 파동수준을 쉽게 예측 할 수 있다.

 

③C 파동

 

C 파동은 반드시 5개의 소파동으로 구성되며 매우 강력한 파동으로 A 파동보다 1.618배 정도 큰 경우가 많다. 이때는 3번 파동때 처럼 갭이 자주 발생할 정도로 강한 파동이다.

 

④조정파동(Correctives Waves)의 형태

 

형태가 완성이 불분명하고, 예외가 있으므로 파악이 어려운 경우가 많다. 보통 지그재그(zigzag), 플랫(flat), 삼각형(triangle), 이중혼합(double three), 삼중혼합(triple three)의 형태로 나뉜다.

 

 

  그림9>. 조정파동의 형태

 

ⓐ지그재그(zigzag, 5/3/5패턴)와 더블 지그재그(double zigzag, x파의 삽입)

 

지그재그 조정은 위 그림과 같이 5/3/5의 강력한 조정파동으로 B 파동은 A 파동의 61.8%이하의 크기로 나타나고 C 파동은 충격파동이므로 강력해 A 파동의 저점 밑으로 뚫고 내려간다. 일반적인 지그재그 형태에서는 A 파동의 길이와 C 파동의 길이가 비슷한 경우가 많아 C 파동의 크기를 예측할 수 있다. 또한 흔치 않는 경우로 지그재그 조정이 두 번 발생하는 경우가 있는데 중간에 X파가 삽입된 형태로 나타난다.

 

 

  그림10> . 더블 지그재그의 예(니케이지수)

ⓑ플랫(flat, 3/3/5패턴)

 

 

그림 11>.간단한 플랫의 예. 하락장의 조정인 플랫형인데 그림 5/3/5는 틀렸음 3/3/5가맞음.

 

지그재그 조정이 5/3/5의 형태를 보이는 것과는 달리, 플랫형은 3/3/5의 형태를 보인다. 보통 플랫조정이 보이면 시장의 상승추세에 미비한 조정을 보여 약한 조정을 보인다.

 

플랫은 다음의 특징을 가진다.

 

첫째, 지그재그 조정은 b 파동이 a 파동의 61.8%정도에 그치는데 반해 플랫은 b 파동의 꼭지점이 a 파동의 시작점과 거의 100% 수준까지 형성된다.

 

둘째, 2번 파동과 4번 파동의 소파동에서 발생빈도가 높으며, 5번 파동이 완성된 후의 abc파동에서는 잘 나타나지 않는다.

 

셋째,플랫을 세분해 보면 a 파동은 조그만 지그재그의 형태를 나타내고 b 파동도 다시 조그마한 지그재그의 꼴로 진행되며, 마지막 c 파동은 정상적인 5개의 파동을 가진 충격 파동의 모양을 띠고 있다. 따라서, 플랫의 첫 번째 파동이 조그마한 지그재그의 모양으로 진행되는 까닭에 종종 짧은 지그재그가 하나의 완전한 조정 파동이라고 혼돈하기 쉽다. 그러므로 이때에는 현재의 조정 파동(2번,4번)이 완전한 형태로서 지그재그로 끝나버릴지 아니면 현재의 지그재그 모양의 일부분인지 구별하기위해, 파동형성 시간을 비교해야 한다. 보통 충격 파동(1번,3번)보다 긴 경우가 많고 최소한 충격파의 61.8% 이상이다. 따라서 지그재그 형태의 조정파동이 생각보다 훨씬 짧게 끝났다면 그 파동은 완전한 형태의 지그재그 보다는 플랫형의 처음 a 파동일 확률이 매우 높다.

 

다섯째, 플랫의 마지막 파동인 c 파동이 a 파동보다 더 길어지는 경우 플랫의 확장이 일어난다.

 

이때는 혼란스러울 수 있다. 확장플랫(expanded flat)의 판명의 근거는 상승장일 경우 b 파동의 꼭지점이 a 파동의 시작점과 거의 비슷한데서 찾을 수 있다. 불규칙 조정이라면 b 파동이 a 파동의 시작점을 돌파하므로, 확장플랫은 비록 c 파동이 a 파동보다 길지라도 플랫형태이다.

 

 

  그림 12>. 하락장에서의 확장플랫.

 

ⓒ삼각형(triangle)=horizontal triangle.

 

삼각형 형태의 조정파동을 갖는 패턴은 전통적인 차트분석 이론가 거의 비슷하나, 엘리어트는삼각형 조정(triangle)의 패턴인식기준으로 반드시 5개의 파동을 가지고 있어야 하며, 각각 3개의 소파동으로 구성되어야 한다고 정의하였다. 삼각형 조정은 형태에 따라 상승형(ascending), 하락형(descending), 축소형(contracting), 확대형(expanding)으로 크게 나눌 수 있다.

  

삼각형 조정은 보통 상승 4번 파동에서 발견되며, 하락파동인 b파동에서 발견되는 경우도 가끔있다.

 

삼각형조정의 특징은 다음과 같다.

 

첫째, 4번 파동으로 나타나는 조정 파동이긴 하지만, 전형적인 조정 파동과 달리 5개의 파동으로 구성된다.(abcde)

 

둘째, 보통 파동을 세분해보면 5개의 소파동과 3개의 소파동이 번갈아 가며 나타나는데 삼각형은 5개의 소파동 모두 3개의 소파동으만 세분된다.

 

셋째, 엘리어트의 절대 불가침의 법칙에 어긋나는 유일한 파동이다. 즉, 삼각형에서는 4번 파동의 바닥이 1번 파동의 꼭지점보다도 아래쪽에 형성된다.

 

넷째, 5번 파동에서 나타나는 삼각 쐐기형(wedge)는 지지선과 저항선이 같은 방향으로 형성되지만 4번 파동에서의 삼각형은 주로 지지선과 저항선중 하나는 수평에 근접한 형태를 보인다.

 

삼각형은 모양을 살펴보면 추세가 계속 진행된다면 어느 지점으로 모이거나 혹은 확대되는 추세를 보이므로 상승이나 하락형임을 쉽게 파악할 수 있다.

 

 

④혼합형(Combination)

 

엘리어트는 혼합형을 이중 3파(double three) 또는 삼중 3파(triple three)라고 이름 붙이고 있다. 이중 3파는 플랫과 지그재그의 결합이고 삼중 3파는 플랫, 지그재그, 불규칙조정이 결합된 것이다. 이러한 조정형태에서는 각 파동사이에 X파동이 삽입되어 조정이 일어난다.

 

 

  그림 13>. X파가 삽입된 이중 3파(double threes).

 

  그림 14> . 간략한 혼합형의 예.

 

2) 피보나치 수열과 엘리어트 파동이론

 

피보나치는 '산술교본(Liber Abaci, Book of calculation)'에서 여러 가지 수학적인 문제를 연구하였다. 그중에서 피라미드 축조과정에 사용된 일정한 수의 원칙을 발견하고 이 숫자들은 자연과 우주의 질서를 설명한다고 설명하였다. 그러한 수자들의 배열이 바로 피보나치 수열이다. 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,.....의미없이 보이는 이 수자들이 자연의 질서를 지배하는 수자이다.

 

피보나치 수열의 특징은 다음과 같다.

 

첫째, 이어지는 두 숫자를 더하면 그 다음 숫자가 된다.

 

둘째, 어느 숫자이건 하나 건너 숫자로 나누면 그 몫은 2가 되고, 나머지 값은 나눈 숫자의 바로 직전 숫자가 된다. 예를 들어 21을 8로 나누면 몫은 2이며 나머지는 5가 되는데, 이 5라는 숫자는 8의 하나 앞 숫자이다. 또한 144를 55로 나누더라도 그 몫은 2이며, 나머지는 55의 하나 앞 숫자인 34가 된다.

 

셋째, 바로 앞의 숫자를 뒤의 숫자로 나누면 그 값은 점점 1.628이라는 숫자에 접근한다. 즉, 3/2= 1.50, 21/12= 1.614, 55/34= 1.6176, 144/89= 1.61797, 987/610= 1.6180327로 되는 것이다.

 

넷째, 한 숫자를 하나 건너의 숫자로 나누면 그 값은 점점 2.618에 접근한다. 예를 들어 5/2= 2.50, 21/8= 2.625, 144/55= 2.61818 등이 되는 것이다.

 

다섯째, 1.618의 역수는 0.618이며, 2.618의 역수는 0.382가 된다.

 

 

  그림 15>.황금분할 비율.

 

 

3) 엘리어트 파동이론의 법칙과 거래전략

 

①엘리어트 파동이론의 법칙

 

절대법칙

 

*2번 파동은 1번 파동의 저점을 절대 하회 못한다.

 

 1번 파동의 크기를 넘어서는 조정은 새로운 상승추세의 형성이 아니라 하락추세의 지속으로 보기  때문에 2번 파동의 조정폭이 1번 파동보다 크다면, 이는 파동을 잘못 해석한 것임.

 

*3번 파동은 상승충격파중 절대 가장 짧은 파동이 될 수 없다.

 

 뿐만 아니라 연장(extension)도 가장 자주 3번 파동에서 일어난다.

 

*4번 파동은 1번 파동과 겹칠 수 없다.

 

 3번 파의 조정이므로 1번 파동의 최고점 이하로 내려갈 수 없다. 유일한 예외는 5번 파동에서

 나타나는 대각삼각형(diagonal triangle)의 경우이다.

 

파동변화의 법칙

  

각 파동의 상호관계에 관한 법칙으로 만약 3번 파동이 연장되었다면 5번 파동은 연장되지 않고, 반대로 5번 파동이 연장되었다면, 3번 파동은 연장될 수 없다는 것이다.

상승장에서 형성된 조정파인 2번 파동이 간단한 형태의 조정을 보였다면 4번 파동은 복잡한형태의 조정을 보인다. 반대도 해당. 파동형성시간도 적용된다. 2파 형성시간이 길었다면 4파는 형성시간이 길어야 한다. a파 b파 형성모양, 시간도 마찬가지로 적용된다.

파동변화의 법칙은 절대법칙은 아니며 파동분석시 자주 접하는 사실이다.

 

파동균등의 법칙

 

상승 5파중 충격파인 1파, 3파, 5파는 기본적을 그 길이아 기간이 같아야 하며, 만약 그 중에서 하나의 파동이 연장되었다면 나머지 두 파동의 길이와 기간은 균등할 가능성이 많다는 것이다. 대체적으로 파동균등의 법칙에 따라 3번 파동이 연장되었다면, 5번 파동과 1번 파동의 길이는 같거나, 아니면 길이가 짧은 1번 파동은 5번 파동의 61.8%의 크기로 산정될 가능성이 매우 높다고 할 수 있다. 파동균등의 법칙은 절대법칙은 아니다.

 

약세시장(Bear Market)의 법칙 - 4번 소파동의 법칙

 

엘리어트 파동이론에서 'bear market should not fall below the bottom of the previous fourth wave'라고 하였다. 이는 상승 5파 후의 조정 3파가 조정을 할 때에는 4번 파동의 밑으로 하락조정해서는 안된다. 또한 4번 파동은 직전의 파동인 3번 파동의 5개의 소파동중 4번째 소파동의 밑으로 내려가면 안된다. 마찬가지로, 상승 5파중 2번 파동의 경우도 그 직전 파동인 1번 파동을 구성하고 있는 5개의 소파동중 4번째 소파동의 밑으로 내려가지 않는다는 법칙이다. 이는 융통성이 있으며 알아두면 유익한 법칙이다.

 

중요도(the Order of Importance)의 법칙

 

파동의 형식(forms), 비율(ratio), 시간(time)의 세부분중 형식을 가장 우선 순위에 두고, 파동의 비율분석이나 시간분석 때문에 파동의 형태가 손상되어서는 안된다는 것이다. 그 다음의 우선순위는 비율분석이다. 이때는 피보나치의 비율을 대입해보면 계산이 용이하다.

 

 

②각 파동에서의 거래전략 ( '엘리어트파동이론, 김중근저, 사계절' 요약정리했음)

 

 

**상승장을 예로 설명하므로 거꾸로 하면 하락장의 예가됨.

 

 

*1번 파동에서의 거래전략

 

1번 파동이 완성되기 전에는 지금의 파동이 5개의 파동으로 완성될지 아니면 3개의 파동으로 될지 모른다. 따라서 1번파동에서는 보통 매입하기가 어렵다. 앞으로 있을 2번, 3번 파동에서 매입해도 얼마든지 많은 이익을 낼 수 있다.

 

 

*2번 파동에서의 거래전략

 

강력한 3파동앞에서의 하락파동. 적극적 매입 적기. 2번 파동의 바닥은 1번 파동의 바닥 이하로 내려가서는 안 된다. 그러므로 2번 파동이라고 생각하여 매입하는 것은 매우 바람직한 일이 되겠지만, 만약 2번 파동으로 생각되던 하락파동이 1번 파동이라고 생각했던 상승파동의 바닥을 지나쳐서 내려가는 일이 발생한다면 즉시 손절매(stop loss selling)를 해야 한다.

 

이때 매입시점과 손절매를 반드시 해야하는 1번 파동의 바닥 수준과의 차이가 너무 커서 이에 따른 손실을 감당 못할 경우라면, 주가의 움직임이 1번 파동을 70%이상 되돌리는 수준에서 손실 중지를 하여도 크게 나쁘진 않다.

 

2번 파동은 조정파이므로 3개의 소파동으로 구성되있어야 하며, 파동균등의 법칙상 대부분 a파와 c파가 비슷한 수준을 보인다는 것을 알면 2번 파동이 언제쯤 끝날지 미리 알아낼 수 있다. 보통 2번 파동에서의 조정패턴은 플랫이거나 지그재그일 가능성이 높다. 플랫과 지그재그를 제외한 나머지 조정패턴 중에서 삼각형은 4번 파동에서만 나타나는 패턴이므로 2번 파동에는 나타날 수가 없고, 불규칙 조정은 5번 파동이 끝난 다음에 진행될 확률이 높기 때문이다. 즉, a파가 5개의 파동으로 세분되면 지그재그로 형성되고 a파가 3개의 파동으로 완성되었다면 플랫모양이 진행될 것이 확실하다. 이는 2번 파동에서의 매입결정에 유용한 정보이다.

 

 

*3번 파동에서의 거래전략.

 

3번 파동은 기다려주지 않는다. '상투'를 잡는 한이 있더라도 적극적인 투자를 하는 것이 중요하다. 일반적으로 3번 파동을 인식하는 시점은 2번 파동에서 비롯된 주가의 하락이 끝나고 시장에서의 주가가 다시 상승 분위기를 타기 시작하여 이전에 1번 파동에 의해서 형성된 꼭지점을 통과하는 순간이 된다. 이 방법이 무난하고 안전하다. 그런데 여기서 3번 파동이라고 믿었던 것이 사실이 아닌 것이 밝혀지고, 새로운 고점을 형성하면서 상승하던 주가 움직임이 꺾여서 기존의 1번 파동의 고점을 하향 돌파해 버린다면 3번 파동이 아니다. 즉시 손절매를 통해 손실을 쵯소화해야 한다.

 

3번 파동은 특징상 갭이 자주 발생하고 갭 중에서도 급진 갭(run away gap)이거나 또한 최소한 돌파 갭(break away gap)이어야 한다. 그리고 이 갭은 채워지지(gap filling)않는다. 갭이 채워지는지를 관찰하는 것도 3번 파동의 여부를 확인하는 데 유용하다.

 

 

*4번 파동에서의 거래전략.

 

3번 파동에 대한 하락 조정파동이므로 매도 기회를 노리기보다는, 차라리 4번 파동의 바닥수준에서 앞으로 다가올 5번 파동을 대비한 매입 전략을 생각하는 것이 보다 적극적인 거래 전략일 것이다. 특히 4번 파동은 그 성격상 바로 앞의 3번 파동을 세분했을 때의 한 등급 낮은 네 번째 파동과 바닥이 서로 일치하는 경향이 많다. 따라서 5번 파동의 상승을 기대하고 4번 파동에서는 주식을 매입해야겠지만, 매입하는 주가의 수준은 앞선 3번 파동을 한 등급 낮은 파동으로 세분해서 참고하는 것이 바람직할 것이다. 만약 4번 파동으로 믿었던 하락 움직임이 1번 파동이라고 생각했던 파동의 꼭지점을 통과하여 하락을 지속하는 일이 발생하면 손절매를 반드시 해야한다. 버텨봐야 손실만 커진다. 버리지 못함은 패배의 지름길. 잘못했다면 인정할 줄도 알아야한다.

 

 

*5번 파동에서의 거래전략

 

5번 파동에서는 매도 타이밍이다. 상승장의 마지막 장이므로 이 기회가 마지막이다. 전형적인 5번 파동은 파동 균등의 법칙에 따라 1번 파동과 비슷한 크기로 형성되거나, 또는 최소한 1번 파동의 61.8%의 길이로 결정되는 경향이 높다. 또한 우리는 채널 기법에 따라 5번 파동의 최종 목표 수준을 미리 알아볼 수도 있다. 5번 파동은 마지막 상승 파동이므로 설사 주가가 좀더 상승할 가능성이 있다 하더라도 앞날을 위하여 미리 주식을 처분하는 것이 보다 현명한 선택이 될 것이다. 엘리어트는 5번 파동에서의 거래량이 3개의 충격파중 가장 많다고 했다. 이른바 마지막 투혼? 따라서 거래량도 유심히 살피는 것이 필요하다. 또한 소멸갭(exhaustion gap)이 나타나는 일이 많으며 보통 채워진다. 갭이 나타나는 순간은 바로 매도타이밍이 된다. 왜냐면 갭이 나타난 수준 이하로 주가가 다시 하락하면서 갭이 채워지는 순간이 상승추세가 끝났다는 것을 알려 주는 순간이 되기 때문이다. 또한 갭이 나타난 수준 바로 아래를 매도 수준으로 생각하는 것은, 만의 하나 우리가 3번 파동을 5번 파동으로 잘못 생각하여 성급하게 주식을 매도하는 위험도 막아준다. 왜냐하면, 3번 파동에서 나타나는 갭은 돌파 갭이거나 급진 갭으로서 채워지지 않는 특징을 가지고 있으므로, 우리가 파동을 잘못 계산하여 3번 파동을 5번 파동이라고 오해하고 있다 하더라도 그 갭은 채워지지 않을 것이고, 따라서 성급하게 매도할 위험성도 없어지게 된다. 다시 말해서, 5번 파동에서는 갭이 채워지는 순간 매도하기만 하면 안전하다.

 

 

**조정파동에서의 거래전략

 

엘리어트 이론을 외환 시장에 적용하는 방법에 대해 역작을 펴낸 로버트 발란(Robert Balan)은 그의 책 '엘리어트 이론의 외환시장 적용(Elliott Wave Principle applied to Foreign Exchange Markets)'에서, 시장의 움직임은 충격파동에서 30%의 시간이 걸리고, 조정 파동을 지나는 데 70%의 시간이 걸린다고 하였다. 즉, 충격파동과 조정 파동이 소요되는 시간은 30대 70으로, 조정 파동이 월등하게 더 오래 걸린다는 이야기다. 발란은 외환 시장의 경우로만 국한시켰지만, 주식 시장의 경우도 마찬가지다. 통상 조정 국면을 지나는 데 걸리는 시간이 훨씬 더 긴 법이다.

 

그러므로 이 사실을 반드시 알고 거래에 임해야 할 것이다.

 

 

*a파동에서의 거래전략

 

조정장세는 a-b-c파동으로 구성되며, 조정의 형태에 따라 지그재그, 플랫, 불규칙조정, 삼각형의 형태로 이루어진다.

 

a파동은 5번 파동에서처럼 매도에 치중해야 한다. 그런데 5번 파동에서와 a파동의 초기에서 매도 타이밍을 놓쳤다면 b파동까지 기다렸다가 매도하는 편이 더 낫다. 사실 a파동의 바닥이라는 것도 a파동이 끝나 보아야 확인할 수 있는 일이다. 따라서, 보다 안전한 거래를 하려면 a파동의 바닥이 완성되는 것을 확인한 다음에 b파동의 초입에서 단기적인 매입 전략을 구사하는 것이 더 나은 선택이다.

 

 

*b파동에서의 거래전략

 

b파동은 5번 파동에서, a파동에서 처분하지 못하고 기다리고 있던 주식을 매도할 마지막의 기회이다. a파동이 몇 개의 파동으로 구성되어 있는지를 살펴보는 일이 b파동에서의 거래 전략을 결정하는 중요한 변수로 작용한다. a파동이 5개의 파동으로 구성된다면 앞으로 전개될 a-b-c파동은 반드시 지그재그(5-3-5)의 형태를 나타낸다. 이때는 b파동은 잘해야 a파동의 61.8% 정도 상승하는 수준에 그칠 것이다. a파동이 3개의 파동으로 세분된다면 앞으로 전개될 모양은 플랫이거나 불규칙조정, 또는 삼각형의 형태를 띠게 될 것이다. 이 경우는 조금 더 욕심을 내어 a 파동의 꼭지점(플랫), 또는 그 이상의 수준(불규칙조정)까지도 기다려 봄 직하다. 하지만 b파동에서는 너무 욕심을 부리지 않는 것이 좋다. 왜냐하면, b파동이 끝나면 이제 c 파동이 찾아드는데, 이 c 파동이야말로 강력하고 빠른 하락세가 이어지므로 이제까지 그나마 조금이라도 벌었다고 생각했던 투자 이익이 하루 아침에 사라지는 불행한 사태가 종종 빚어지기 때문이다.

 

 

*c파동에서의 거래전략

 

충격파의 3번 파동처럼 강력하고 급격하게 진행되는 특징을 보인다. 그러므로 c파동은 하락 일변도로 주가가 움직이게 되며, 주식시장의 분위기는 돌변하여 모든 사람들이 '팔자'를 외치게 된다. 따라서 c 파동은 매도 위주의 거래전략이 되어야 한다. 비록 지금이 바닥이라고 생각하는 한이 있더라도 과감하게 주식을 팔아 버려야한다. '조금만 오르면 팔 것'이라는 생각은 c ,파동에서는 통하지 않는다. 좀 과장해서 말한다면, 일단 먼저 매도하고 나서 그 다음에 생각해야 할 것이다. 오직 매도이다.

 

③엘리어트 파동이론의 한계와 의미

 

 

엘리어트 파동이론은 우리 주식시장에서 끊임없는 논쟁거리로 등장해왔으며, 이는 이론을 둘러싼 해석을 둘러싼 일 때문이다. 분명한 사실 하나는 엘리어트 파동이론은 분석가들에게 큰 이익을 남겨주었다는 것이다. 이젠 엘리어트 파동이론은 주식.선물시장에서 기본적인 기술적분석지표가 되었다. 그런데 이 이론을 절대적으로 신봉한 나머지 본질적 분석을 게을리 하고 기술적지표에만 매달린다면 큰 낭패를 볼 것이 분명하다.

 

이 파동이론을 적용할 때 제기되는 문제점은 다음과 같다.

 

첫째, 한 파동의 시작과 끝에대한 언급이 없다.

 

둘째, 각 단계의 전환점을 확인하기 어렵다. 다시말해 어느 한 파동이 끝나 다른 파동이 진행중이라고 믿고 있다 하더라도, 그것은 이전 파동의 연장일 뿐 새로운 파동이 아닌 경우가 있다는 점이다. 이 둘째 사항 때문에 우리나라 주식시장에서 논쟁이 많은 것이다. ( 이런 지표해석상의 논쟁은 '주가학원론' 정의석지음.에도 많이 나옴.)

 

본인의 생각은 만약 주식시장에서 투자에 임한다면 본질가치를 최우선으로 여기고 그 다음 성장성 그 다음 순서로 엘리어트 파동이론등 각 기술적 지표를 이용할 것을 권유한다. 이 글을 읽는 사람은 프로도 있겠지만 아마 본인 처럼 아마추어일 확률이 높을 것으로 생각한다. 만약 주식 선물을 동시에 투자한다면 주식은 장기추세위주로 선물시장은 단기매매위주로 (반드시 stop 주문포함할 것 stop없이 場으로 나가는 것은 자살행위이다) 나가는 것이 더 유리할 것이다. 선물을 장기로 끌고가는 행위는 방향에 확신이 없다면 하지 말길 권유한다.   - 김중근 著 '엘리어트 파동이론' 발췌  

 

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ⓒ 1996-1999 Dr Ron Knott      R.Knott@surrey.ac.uk      3 December 1999