선대시험

이상구교수의 강의실: Old Exams

(1999, 가을 ) 선형대수학 (Midterm)

(Sample ) 선형대수학 (Final EXAM)

(Sample ) 행 렬 론 (Quiz 1 )

(Sample ) 행 렬 론 (Mid. Term I )

(Sample ) 행 렬 론 (Final)

(Sample ) 선형대수학과 응용 (중간고사)

(Extra ) LINEAR ALGEBRA (자연과학부 Midterm )

// /

(99, 가을) 선형대수학 (Midterm) /

______________________________________________________________ / 100 __

시간 : 50분 학과: 학번: 이름:

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1. 맞으면 (0) 표를 틀리면 (x) 표를 하시오.

( ) 1. If rank()=rank() then rank()=rank().

( ) 2. ,

( ) 3. If

( ) 4. 이다.

II. State (서술하시오).

1. Cauchy-Schwarz 부등식: for all x, y in R^n.

______________________________ (등호성립 iff ________________)

2. (V, +,) 가 벡터공간이다 if 2개의 기본법칙 (1) ___________________

(2)___________________________ 를 만족하고 8개의 연산법칙을 만족.

III. Find (계산은 뒷면 이용 바람)

_____________

2. 의 외적을 구하시오.

______________________

3. Find adjoint of A where

_______________________

4. 아래 연립방정식이 무수히 많은 해를 갖기 위한 의 조건을 구하라.

______________________

5. 차의 정사각행렬 가 가역이고 다음 식을 만족할 때 을 구하시오.

________________________

IV Prove the followings in detail. Let

1. 대각합을 이용하여 다음을 만족하는 차의 정사각행렬 는 존재하지 않음을 증명하라.

2. 정사각행렬 의 두 행이 일치하면 이다.

(또는 정사각행렬 의 한 행의 성분이 모두 0이면 이다. )

3. 점 에서 평면 에 이르는 거리 를 구하라.

4. 의 (n-1)by(n-1) minors를 생각하여 임을 보여라.

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(Sample) 선형대수학 (Final EXAM)

______________________________________________________________

시간(2:00-2:50, 31151) 학과: 학년,학번: 이름:

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I. 맞으면 (0) or 틀리면 (x) 표 하시오.

( ) 1. 만일 와 가 의 해 이면 도

역시 의 해이다.

( ) 2. 만일 이면 이다.

( ) 3.

( ) 4. 만일 이면 이다.

II. 다음을 정의하라. , 일 때,

(1) 의 여인자(Cofactor) =

_____________________

(2) 벡터 :

__________________________________________________________

(3) 선형변환에 대한 "Rank-Nullity 정리"를 서술 하시오

___________________________________________________________

III. Find:

1. 아래 행렬의 역행렬을 구하라.

__________________

2. 위 행렬의 고유값을 구하라.

---------,-------,--------

3. 다음에서 의 벡터 을 주어진 벡터들의

일차결합으로 나타내라.

= __________________________________________________________

4. 아래 행렬의 rank와 nullity를 구하라.

rank _______________ nullity ________

IV. Prove.

1. 가 벡터공간 의 부분공간이고 를 다음과 같이

정의하면 는 의 부분공간임을 증명하라.

pf.

2. 를 의 해집합이라 할 때, 의

span 에 속하는 모든 벡터는 의 해임을 증명하라.

pf.

3. 연립방정식 가 해를 가질 필요충분조건은 다음과 같다.

pf.

4. 가 의 고유값이면 가 의 고유값임을 보여라.

pf.

(Sample) 행렬론 (Quiz 1 )

______________________________________________________________/ 10

시간 : 10분 학과: 학번: 이름:

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1. (5점) 158쪽 가 차원 벡터공간이고 선형변환 이 전사이면

임을 보여라. [또는 rank-nullity 정리를 쓰고 증명하라 (3점)]

2. (5점) 180쪽로의 선형변환 이 with 기저

일 때 행렬표현 을 구하시오.

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(Sample) 행 렬 론 (Mid. Term I ) /

______________________________________________________________/ 100

시간 : 60분 학과: 학년, 학번: 이름:

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I. 맞으면 (0) or 틀리면 (x) 표 하시오.

( ) 1. Gram-Schmidt 정규직교화과정은 임의의 n 개의 벡터들의 집합

으로부터 n 개원을 갖는 정규직교집합을 건설 할 수 있다.

( ) 2. 만일 L.T. 이고 이면, 이다.

( ) 3. 에 대해이다.

( ) 4. 가 직교대각화 가능하다 iff 는 대칭행렬이다

II. 다음을 정의하라.

(1) 선형변환에 대한 "Rank-Nullity 정리"를 서술 하시오

___________________________________________________________

III. Find

1. 선형변환 이 with 기저** 일 때 행렬표현을 구하라.

_______________________________________

2. 에 대하여 내적을 다음과 같이 정의할 때,

일때 함수의 노름을 구하라.

______________________________________

3. 행렬일 때,되게 하는 가역행렬 P를 구하라.

IV. Prove the followings in detail.

1. 가 의 고유값이면 가 의 고유값임을 보여라.

Pf.

2. 실(real) 직교(othogonal)행렬 의 고유값의 절대값은 1임을 보여라.

Pf.

3. 정사영을 이용하여 복소내적공간 에서의 (Cauchy-Schwarz 부등식) 을 보여라.

4. II-3의 , 인 를 이용하여

임을 보여라.

5. Project 에 대해 아래를 채우라. [ 내 주소는 : sglee@yurim.skku.ac.kr ]

(1) 본인의 Project 제출 예정 일자: 5월7일 (또는 5월 일)

(2) 진행과정의 일부 (또는 전부)를 조만간 본인에게 e-mail 로 보낼 것인가? ( )

(3) 제 목 :

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(Sample) 행렬론 (Final) /

______________________________________________________________ / 150 __

시간 : 90분 학과: 학번: 이름:

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1. (30점) 맞으면 (0) 표를 틀리면 (x) 표를 하시오.

( ) 1. 가역행렬 가 대칭행렬이면 도 대칭행렬이다.

( ) 2. 이고 이 영행렬이면 의 고유값은 모두 0 이다.

( ) 3. 이다.

( ) 4. 만일 가 대칭행렬이 이다

( ) 5. 와 가 대각화가능하면 도 대각화가능이다.

( ) 6. 이고 면 는 적어도 하나의 양의 고유값을 갖는다.

II. (50점) Find

1. 은?

Ans. ____________.

2. 의 그래프의 개형 을 그려라.

3. 초기조건 을 만족하는

다음 연립미분방정식의 해를 구하라.

답. = +

4. where일 때, least square solution

를 구하고 오차(error) 를 구하라.

Ans. =___________. , ____________.

III (60점) Prove the followings in detail.

1. 행렬에 대해 일

필요충분조건은임을 보여라.

2. 다음 이차형식이 양의 정부호(positive definite)인지 아닌지를 보여라.

3. 유클리드 내적이 정의되어 있고 가 유니타리행렬 일 때

가 의 고유값이면 임을 보여라.

4. 행렬 의 고유값들의 합은 와 같음을 증명하라.

5. (즉, ) 의

(1) 동반행렬(Companion Matrix) 를 구하라.

(2) 위의 의 특성방정식 을 구하라.

(3) 점 도표를 이용하여 행렬 의 Jordan 표준형 를 구하라.

(4) 위의 의 minimal polynomial 를 구하라.

답:

(1) (3)

(2) = (4) =

IV. (10점) 행렬 가 와 닮음임을 보이시오.

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(1996, 가을) 선형대수학과 응용 (중간고사)

____________________________________________________ / 100

시간 : 50분 학년: 학번: 이름:

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1. 점 에서 평면 에

이르는 거리 를 구하라.

답 _________________________

2. 세점 (0 , 3) (1, 1) (2, -5) 을 통과하는 포물선을 구하라

답 _________________________

3. 차의 정사각행렬 가 가역일 때,

다음을 보여라.

4. 다음 등식이 성립함을 보여라.

5. 원점 O 를 품는 평면상의 삼각형 OAB의 면적이

임을 보여라.

6. 향수 회사가 이익을 극대화시키기 위해 상품 가격의 모델링을 하고자 한다. 하나의 방법으로서 가격이 1병당

원 하면 개 ( 단위는 천개 )를 팔 수 있다는 선형 방정식을 찾고자한다. 이것을 위해 향수 회사는 4개의 도시에

향수를 시험 판매하여 다음과 같은 결과를 얻었다.

	도시 1	도시 2	도시 3	도시 4
x	6.25	6.75	8.00	8.75
y	6.03	5.62	4.78	4.34

최소제곱 다항식 를 구하고, 판매 가격을 병당 1원 올릴 때 주당 판매 개수의 변화를 말하시오

답 _________________________

7. 그간 수업에서 보고 배운 내용중 하나만을 골라 그 내용을 구체적으로

서술하시오. (예, 수학 Program, Video Tape, 응용, 강연등)

8. Project (Proposal) 에 대해 아래를 채우라.

(제출 예정 일자: 11월 13일) [ 문의와 제출은 수시로 : sglee@yurim.skku.ac.kr ]

(1) 제목은? _____________________________________

(2) 공동연구원은?( 명) _____________________________________

(3) 이용할 참고자료나 시설, 물어 볼 사람은?

(4) 하려는 내용은 구체적으로 쓰면?

(5) 어떤식으로 연구를 진행 시킬것인가?

(More Sample) LINEAR ALGEBRA (자연과학부 기타 ) /

____________________________________________________ / 100

시간 : 60분 학과: 학년+학번: 이름:

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I. 맞으면 (0) or 틀리면 (x) 표 하시오.

( ) 1.

( ) 2. 집합 은 의 기저이다.

( ) 4. 가 대칭행렬이면, 도 대칭행렬이다

( ) 6

( ) 7. Gram-Schmidt 정규직교화과정은 임의의 n 개의 벡터들의 집합

으로부터 n 개원을 갖는 정규직교집합을 건설 할 수 있다.

( ) 8. 2차이하의 다항식들의 벡터공간의 벡터

에 대하여 는 의 기저이다.

( ) 9. 벡터공간 의 벡터가 일차독립이면

도 일차독립이다.

II. Define 또는 Find.

(1) (정의) 의 Laplace 여인자 (cofactor) 전개;

where

_______________ ___________________

(3) 아래 행렬식을 구하라.

Ans _______________.

(4)

A = , C = , B = ,

일 때 대각합는? Ans ____________,

(5) 가 차의 정사각행렬이고 일 때, 다음을 구하라.

(1) = ________________ (2) = ______________

(6) 다음 행렬 의 계수(rank)와 의 해공간의 기저및 차원(nullity)을 구하라.

Ans. rank(A)=_____ , 해공간의 기저 { __________________________ }, nullity(A) =________

(7) Gram-Schmidt 정규직교화 과정을 이용하여 **을 정규직교기저로 변환하라.

III. Prove:

(1) 연립방정식이 해를 가질 필요충분조건은

다음과 같음을 보여라.

(증명)

(2) 의 영아닌 벡터들의 집합 가

직교(o.g.) 집합이면, 는 일차독립집합이다.

(증명)

위의 문제들이 여러분 시험 준비와 예습에 도움이 되기를 바랍니다. 이상구교수