À̻󱸱³¼öÀÇ °­ÀǽÇ: Old Exams

 

anir04.gif

anir04.gif// /

 

(99, °¡À»)      ¼±Çü´ë¼öÇÐ    (Midterm)                  /

 ______________________________________________________________   / 100 __

½Ã°£ : 50ºÐ       Çаú:          Çйø:           À̸§:

----------------------------------------------------------------

1.  ¸ÂÀ¸¸é (0) Ç¥¸¦  Æ²¸®¸é (x) Ç¥¸¦ ÇϽÿÀ.

(  )  1. If rank()=rank() then rank()=rank().

(  )  2. ,

(  )  3. If

(  )  4. ÀÌ´Ù.

 

II. State (¼­¼úÇϽÿÀ).                            

1.  Cauchy-Schwarz ºÎµî½Ä: for all x, y in R^n.

     ______________________________   (µîÈ£¼º¸³ iff    ________________)

2. (V, +,) °¡ º¤ÅÍ°ø°£ÀÌ´Ù if 2°³ÀÇ ±âº»¹ýÄ¢ (1) ___________________

   (2)___________________________  ¸¦ ¸¸Á·ÇÏ°í 8°³ÀÇ ¿¬»ê¹ýÄ¢À» ¸¸Á·.

 

III. Find   (°è»êÀº µÞ¸é ÀÌ¿ë ¹Ù¶÷)

1.

                                    _____________

2.   ÀÇ ¿ÜÀûÀ» ±¸ÇϽÿÀ.

 

                                                ______________________

3. Find adjoint of A where

  A=

 

                                               _______________________

4. ¾Æ·¡ ¿¬¸³¹æÁ¤½ÄÀÌ ¹«¼öÈ÷ ¸¹Àº Çظ¦ °®±â À§ÇÑ ÀÇ Á¶°ÇÀ» ±¸Ç϶ó.

 

              

                                                ______________________

 5.  Â÷ÀÇ Á¤»ç°¢Çà·Ä °¡ °¡¿ªÀÌ°í ´ÙÀ½ ½ÄÀ» ¸¸Á·ÇÒ ¶§ À» ±¸ÇϽÿÀ.  

        

                                                ________________________

IV  Prove the followings in detail.  Let

1. ´ë°¢ÇÕÀ» ÀÌ¿ëÇÏ¿© ´ÙÀ½À» ¸¸Á·ÇÏ´Â Â÷ÀÇ Á¤»ç°¢Çà·Ä ´Â Á¸ÀçÇÏÁö ¾ÊÀ½À» Áõ¸íÇ϶ó.

    

 

2.  Á¤»ç°¢Çà·Ä ÀÇ µÎ ÇàÀÌ ÀÏÄ¡Çϸé ÀÌ´Ù.

   (¶Ç´Â Á¤»ç°¢Çà·Ä ÀÇ ÇÑ ÇàÀÇ ¼ººÐÀÌ ¸ðµÎ 0À̸é ÀÌ´Ù. )

 

3. Á¡ ¿¡¼­ Æò¸é ¿¡ À̸£´Â °Å¸® ¸¦ ±¸Ç϶ó.

 

4. ÀÇ (n-1)by(n-1) minors¸¦ »ý°¢ÇÏ¿© ÀÓÀ» º¸¿©¶ó.

 anir04.gif

------------------------------------------------------------------

(Sample)       ¼±Çü´ë¼öÇÐ    (Final EXAM)            

______________________________________________________________

½Ã°£(2:00-2:50, 31151) Çаú:       Çгâ,Çйø:           À̸§:

--------------------------------------------------------------------

I. ¸ÂÀ¸¸é (0) or Ʋ¸®¸é (x) Ç¥ ÇϽÿÀ.

(  )  1. ¸¸ÀÏ ¿Í °¡ ÀÇ  ÇØ ÀÌ¸é µµ

         ¿ª½Ã ÀÇ ÇØÀÌ´Ù.

(  )  2. ¸¸ÀÏ  À̸é ÀÌ´Ù.

(  )  3.  

(  )  4. ¸¸ÀÏ  À̸é ÀÌ´Ù.

 

II. ´ÙÀ½À» Á¤ÀÇÇ϶ó. , ÀÏ ¶§,

(1) ÀÇ ¿©ÀÎÀÚ(Cofactor) =

                                        _____________________             

(2) º¤ÅÍ :

 

                                           

 __________________________________________________________

 

(3) ¼±Çüº¯È¯¿¡ ´ëÇÑ "Rank-Nullity Á¤¸®"¸¦  ¼­¼ú ÇϽÿÀ

 

 

___________________________________________________________

 

III. Find:

 1. ¾Æ·¡ Çà·ÄÀÇ ¿ªÇà·ÄÀ» ±¸Ç϶ó.

       

                                              __________________

 

 2. À§ Çà·ÄÀÇ °íÀ¯°ªÀ» ±¸Ç϶ó.

 

                                     

                                    ---------,-------,--------

3. ´ÙÀ½¿¡¼­ ÀÇ º¤ÅÍ À» ÁÖ¾îÁø º¤Å͵éÀÇ

  ÀÏÂ÷°áÇÕÀ¸·Î ³ªÅ¸³»¶ó.

    

 

=   __________________________________________________________

4. ¾Æ·¡ Çà·ÄÀÇ rank¿Í nullity¸¦ ±¸Ç϶ó.

   

 

                                rank _______________  nullity ________

 

IV. Prove.

1. °¡ º¤ÅÍ°ø°£ ÀÇ ºÎºÐ°ø°£ÀÌ°í ¸¦ ´ÙÀ½°ú °°ÀÌ

   Á¤ÀÇÇÏ¸é ´Â ÀÇ ºÎºÐ°ø°£ÀÓÀ» Áõ¸íÇ϶ó.

      

pf.

 

 

2. ¸¦ ÀÇ ÇØÁýÇÕÀ̶ó ÇÒ ¶§, ÀÇ

    span ¿¡ ¼ÓÇÏ´Â ¸ðµç º¤ÅÍ´Â ÀÇ ÇØÀÓÀ» Áõ¸íÇ϶ó.

pf.

 

3. ¿¬¸³¹æÁ¤½Ä °¡ Çظ¦ °¡Áú ÇÊ¿äÃæºÐÁ¶°ÇÀº ´ÙÀ½°ú °°´Ù.

             

pf.

 

4. °¡ ÀÇ °íÀ¯°ªÀÌ¸é °¡ ÀÇ °íÀ¯°ªÀÓÀ» º¸¿©¶ó.

pf.

 anir04.gif

 

(Sample)      Çà·Ä·Ð    (Quiz 1 )                     

______________________________________________________________/ 10

½Ã°£ : 10ºÐ       Çаú:          Çйø:           À̸§:

----------------------------------------------------------------

1. (5Á¡) 158ÂÊ °¡ Â÷¿ø º¤ÅÍ°ø°£ÀÌ°í ¼±Çüº¯È¯ ÀÌ Àü»çÀ̸é

  ÀÓÀ» º¸¿©¶ó. [¶Ç´Â rank-nullity Á¤¸®¸¦ ¾²°í Áõ¸íÇ϶ó (3Á¡)]

 

2. (5Á¡) 180ÂÊ·ÎÀÇ ¼±Çüº¯È¯ ÀÌ with ±âÀú

    ÀÏ ¶§ Çà·ÄÇ¥Çö À» ±¸ÇϽÿÀ.

 

------------------------------------------------------------------

(Sample)       Çà ·Ä ·Ð    (Mid. Term I )                           /

______________________________________________________________/ 100

½Ã°£ : 60ºÐ  Çаú:          Çгâ, Çйø:           À̸§:

-----------------------------------------------------------------

I. ¸ÂÀ¸¸é (0) or Ʋ¸®¸é (x) Ç¥ ÇϽÿÀ.

  (  )   1. Gram-Schmidt Á¤±ÔÁ÷±³È­°úÁ¤Àº ÀÓÀÇÀÇ  n °³ÀÇ º¤Å͵éÀÇ ÁýÇÕ

           À¸·ÎºÎÅÍ n °³¿øÀ» °®´Â Á¤±ÔÁ÷±³ÁýÇÕÀ» °Ç¼³ ÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù.

  (  )   2. ¸¸ÀÏ L.T. ÀÌ°í À̸é, ÀÌ´Ù.

  (  )   3. ¿¡ ´ëÇØÀÌ´Ù.

  (  )   4. °¡ Á÷±³´ë°¢È­ °¡´ÉÇÏ´Ù  iff   ´Â ´ëĪÇà·ÄÀÌ´Ù

II. ´ÙÀ½À» Á¤ÀÇÇ϶ó.

(1) ¼±Çüº¯È¯¿¡ ´ëÇÑ "Rank-Nullity Á¤¸®"¸¦  ¼­¼ú ÇϽÿÀ

 

 

___________________________________________________________

III. Find

1. ¼±Çüº¯È¯ ÀÌ with ±âÀú** ÀÏ ¶§ Çà·ÄÇ¥ÇöÀ» ±¸Ç϶ó.

                                    _______________________________________

2. ¿¡ ´ëÇÏ¿© ³»ÀûÀ» ´ÙÀ½°ú °°ÀÌ Á¤ÀÇÇÒ ¶§,

         À϶§ ÇÔ¼öÀÇ ³ë¸§À»     ±¸Ç϶ó.

                                     ______________________________________

3. Çà·ÄÀÏ ¶§,µÇ°Ô ÇÏ´Â °¡¿ªÇà·Ä P¸¦ ±¸Ç϶ó.

                                      

IV. Prove the followings in detail.

1. °¡ ÀÇ °íÀ¯°ªÀÌ¸é °¡ ÀÇ °íÀ¯°ªÀÓÀ» º¸¿©¶ó.

Pf.

 

2. ½Ç(real) Á÷±³(othogonal)Çà·Ä ÀÇ °íÀ¯°ªÀÇ Àý´ë°ªÀº 1ÀÓÀ» º¸¿©¶ó.

Pf.

 

3. Á¤»ç¿µÀ» ÀÌ¿ëÇÏ¿© º¹¼Ò³»Àû°ø°£ ¿¡¼­ÀÇ (Cauchy-Schwarz ºÎµî½Ä) À» º¸¿©¶ó.

Pf

 

4.  II-3ÀÇ , ÀÎ ¸¦ ÀÌ¿ëÇÏ¿©

      ÀÓÀ» º¸¿©¶ó.

Pf

 

5. Project ¿¡ ´ëÇØ ¾Æ·¡¸¦ ä¿ì¶ó. [ ³» ÁÖ¼Ò´Â : sglee@yurim.skku.ac.kr ]

(1) º»ÀÎÀÇ Project Á¦Ãâ ¿¹Á¤ ÀÏÀÚ: 5¿ù7ÀÏ (¶Ç´Â 5¿ù  ÀÏ)

(2) ÁøÇà°úÁ¤ÀÇ ÀϺΠ(¶Ç´Â ÀüºÎ)¸¦ Á¶¸¸°£ º»Àο¡°Ô e-mail ·Î º¸³¾ °ÍÀΰ¡? (  )

(3)  Á¦  ¸ñ  :

 

 anir04.gif

--------------------------------------------------------------------

(Sample)      Çà·Ä·Ð    (Final)            /

  ______________________________________________________________  / 150 __

½Ã°£ : 90ºÐ       Çаú:          Çйø:           À̸§:

----------------------------------------------------------------

1. (30Á¡) ¸ÂÀ¸¸é (0) Ç¥¸¦  Æ²¸®¸é (x) Ç¥¸¦ ÇϽÿÀ.

(  )  1. °¡¿ªÇà·Ä °¡ ´ëĪÇà·ÄÀÌ¸é µµ ´ëĪÇà·ÄÀÌ´Ù.

(  )  2. ÀÌ°í ÀÌ ¿µÇà·ÄÀ̸é ÀÇ °íÀ¯°ªÀº ¸ðµÎ 0 ÀÌ´Ù.

(  )  3. ÀÌ´Ù.

(  )  4. ¸¸ÀÏ °¡ ´ëĪÇà·ÄÀÌ ÀÌ´Ù

(  )  5. ¿Í °¡ ´ë°¢È­°¡´ÉÇÏ¸é µµ ´ë°¢È­°¡´ÉÀÌ´Ù.

(  )  6. ÀÌ°í ¸é ´Â Àû¾îµµ ÇϳªÀÇ ¾çÀÇ °íÀ¯°ªÀ» °®´Â´Ù.

II. (50Á¡) Find                            

1.  Àº?                     

                                                 Ans.   ____________.

2. ÀÇ ±×·¡ÇÁÀÇ °³Çü À» ±×·Á¶ó.

                                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. ÃʱâÁ¶°Ç À» ¸¸Á·ÇÏ´Â

  ´ÙÀ½ ¿¬¸³¹ÌºÐ¹æÁ¤½ÄÀÇ Çظ¦ ±¸Ç϶ó.

     

 

  ´ä.   =         +        

 4. whereÀÏ ¶§, least square solution

  ¸¦ ±¸ÇÏ°í ¿ÀÂ÷(error) ¸¦ ±¸Ç϶ó.

 

 

Ans. =___________. ,  ____________.

 

III (60Á¡) Prove the followings in detail.

1. Çà·Ä¿¡ ´ëÇØ ÀÏ

   ÇÊ¿äÃæºÐÁ¶°ÇÀºÀÓÀ» º¸¿©¶ó.

 

2.  ´ÙÀ½ ÀÌÂ÷Çü½ÄÀÌ ¾çÀÇ Á¤ºÎÈ£(positive definite)ÀÎÁö ¾Æ´ÑÁö¸¦ º¸¿©¶ó.

   

 

3. À¯Å¬¸®µå ³»ÀûÀÌ Á¤ÀǵǾî ÀÖ°í °¡ À¯´ÏŸ¸®Çà·Ä ÀÏ ¶§

  °¡ ÀÇ °íÀ¯°ªÀ̸é ÀÓÀ» º¸¿©¶ó.

 

4. Çà·Ä ÀÇ °íÀ¯°ªµéÀÇ ÇÕÀº ¿Í °°À½À» Áõ¸íÇ϶ó.

 

5.   (Áï, ) ÀÇ

  (1) µ¿¹ÝÇà·Ä(Companion Matrix) ¸¦ ±¸Ç϶ó.

  (2) À§ÀÇ ÀÇ Æ¯¼º¹æÁ¤½Ä À» ±¸Ç϶ó.

  (3) Á¡ µµÇ¥¸¦ ÀÌ¿ëÇÏ¿© Çà·Ä ÀÇ Jordan Ç¥ÁØÇü ¸¦ ±¸Ç϶ó.

  (4) À§ÀÇ ÀÇ minimal polynomial ¸¦ ±¸Ç϶ó.

 

´ä:

 (1)                              (3)

 

 

 (2)  =                     (4) =

IV. (10Á¡) Çà·Ä °¡ ¿Í ´àÀ½ÀÓÀ» º¸À̽ÿÀ.

 anir04.gif

--------------------------------------------------

(1996, °¡À»)  ¼±Çü´ë¼öÇаú ÀÀ¿ë (Áß°£°í»ç)       

____________________________________________________       / 100

½Ã°£ : 50ºÐ  Çгâ:        Çйø:                  À̸§:

------------------------------------------------------------

1.  Á¡ ¿¡¼­ Æò¸é ¿¡

    À̸£´Â °Å¸® ¸¦ ±¸Ç϶ó.

 

                                               ´ä _________________________

2.  ¼¼Á¡ (0 , 3)  (1, 1)  (2, -5) À» Åë°úÇÏ´Â Æ÷¹°¼±À» ±¸Ç϶ó

 

                                              ´ä _________________________

3. Â÷ÀÇ Á¤»ç°¢Çà·Ä °¡ °¡¿ªÀÏ ¶§,

    ´ÙÀ½À» º¸¿©¶ó.

       .

                                     

 4.  ´ÙÀ½ µî½ÄÀÌ ¼º¸³ÇÔÀ» º¸¿©¶ó.

    

 

5. ¿øÁ¡ O ¸¦ Ç°´Â Æò¸é»óÀÇ »ï°¢Çü OABÀÇ ¸éÀûÀÌ

    ÀÓÀ» º¸¿©¶ó.

 

6.   Çâ¼ö ȸ»ç°¡ ÀÌÀÍÀ» ±Ø´ëÈ­½ÃÅ°±â À§ÇØ »óÇ° °¡°ÝÀÇ ¸ðµ¨¸µÀ» ÇÏ°íÀÚ ÇÑ´Ù. ÇϳªÀÇ ¹æ¹ýÀ¸·Î¼­  °¡°ÝÀÌ  1º´´ç

 ¿ø ÇÏ¸é °³ ( ´ÜÀ§´Â õ°³ )¸¦ ÆÈ ¼ö ÀÖ´Ù´Â ¼±Çü ¹æÁ¤½ÄÀ» ã°íÀÚÇÑ´Ù.  ÀÌ°ÍÀ» À§ÇØ Çâ¼ö ȸ»ç´Â 4°³ÀÇ µµ½Ã¿¡

Çâ¼ö¸¦ ½ÃÇè ÆǸÅÇÏ¿© ´ÙÀ½°ú °°Àº °á°ú¸¦ ¾ò¾ú´Ù.

 

 

µµ½Ã 1

µµ½Ã 2

µµ½Ã 3

µµ½Ã 4

x

6.25

6.75

8.00

8.75

y

6.03

5.62

4.78

4.34

ÃÖ¼ÒÁ¦°ö ´ÙÇ×½Ä ¸¦ ±¸ÇÏ°í,  ÆǸŠ°¡°ÝÀ» º´´ç 1¿ø ¿Ã¸± ¶§ ÁÖ´ç ÆǸŠ°³¼öÀÇ º¯È­¸¦ ¸»ÇϽÿÀ

 

                                                        ´ä _________________________

7. ±×°£ ¼ö¾÷¿¡¼­ º¸°í ¹è¿î ³»¿ëÁß Çϳª¸¸À» °ñ¶ó ±× ³»¿ëÀ» ±¸Ã¼ÀûÀ¸·Î

   ¼­¼úÇϽÿÀ. (¿¹, ¼öÇÐ Program, Video Tape, ÀÀ¿ë, °­¿¬µî)

 

8. Project (Proposal) ¿¡ ´ëÇØ ¾Æ·¡¸¦ ä¿ì¶ó.

     (Á¦Ãâ ¿¹Á¤ ÀÏÀÚ: 11¿ù 13ÀÏ) [ ¹®ÀÇ¿Í Á¦ÃâÀº ¼ö½Ã·Î : sglee@yurim.skku.ac.kr ]

(1) Á¦¸ñÀº?            _____________________________________

(2) °øµ¿¿¬±¸¿øÀº?(  ¸í) _____________________________________

(3) ÀÌ¿ëÇÒ Âü°íÀڷᳪ ½Ã¼³, ¹°¾î º¼ »ç¶÷Àº?

(4) ÇÏ·Á´Â ³»¿ëÀº ±¸Ã¼ÀûÀ¸·Î ¾²¸é?

(5) ¾î¶²½ÄÀ¸·Î ¿¬±¸¸¦ ÁøÇà ½Ãų°ÍÀΰ¡?

 

 anir04.gif

  (More Sample)  LINEAR ALGEBRA  (ÀÚ¿¬°úÇкΠ±âŸ )       /

   ____________________________________________________  /  100

½Ã°£ : 60ºÐ  Çаú:          Çгâ+Çйø:             À̸§:

------------------------------------------------------------

I. ¸ÂÀ¸¸é (0) or Ʋ¸®¸é (x) Ç¥ ÇϽÿÀ.  

  (  )   1.   

  (  )   2.   ÁýÇÕ Àº ÀÇ ±âÀúÀÌ´Ù.

  (  )   4.    °¡ ´ëĪÇà·ÄÀ̸é, µµ ´ëĪÇà·ÄÀÌ´Ù

   (  )   6   

  (  )   7.    Gram-Schmidt Á¤±ÔÁ÷±³È­°úÁ¤Àº ÀÓÀÇÀÇ  n °³ÀÇ º¤Å͵éÀÇ ÁýÇÕ

             À¸·ÎºÎÅÍ n °³¿øÀ» °®´Â Á¤±ÔÁ÷±³ÁýÇÕÀ» °Ç¼³ ÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù.

  (  )   8.    2Â÷ÀÌÇÏÀÇ ´ÙÇ׽ĵéÀÇ º¤ÅÍ°ø°£ÀÇ º¤ÅÍ

            ¿¡ ´ëÇÏ¿© ´Â ÀÇ ±âÀúÀÌ´Ù.

  (  )   9.   º¤ÅÍ°ø°£ ÀÇ º¤ÅÍ°¡ ÀÏÂ÷µ¶¸³À̸é

            µµ ÀÏÂ÷µ¶¸³ÀÌ´Ù.

II. Define ¶Ç´Â  Find.

(1) (Á¤ÀÇ) ÀÇ Laplace ¿©ÀÎÀÚ (cofactor) Àü°³;           

                         where

                           _______________        ___________________

(3) ¾Æ·¡ Çà·Ä½ÄÀ» ±¸Ç϶ó.

                 

    Ans _______________.

(4)

   A = , C = , B = ,  

   ÀÏ ¶§ ´ë°¢ÇÕ´Â?                     Ans ____________,

(5)  °¡ Â÷ÀÇ Á¤»ç°¢Çà·ÄÀÌ°í ÀÏ ¶§, ´ÙÀ½À» ±¸Ç϶ó.

     (1) =    ________________  (2)    = ______________

(6) ´ÙÀ½ Çà·Ä ÀÇ °è¼ö(rank)¿Í ÀÇ ÇØ°ø°£ÀÇ ±âÀú¹× Â÷¿ø(nullity)À» ±¸Ç϶ó.

                          

 Ans. rank(A)=_____ , ÇØ°ø°£ÀÇ ±âÀú { __________________________ },  nullity(A) =________

(7) Gram-Schmidt Á¤±ÔÁ÷±³È­ °úÁ¤À» ÀÌ¿ëÇÏ¿© **À» Á¤±ÔÁ÷±³±âÀú·Î º¯È¯Ç϶ó.

 

 

III. Prove:

(1) ¿¬¸³¹æÁ¤½ÄÀÌ Çظ¦ °¡Áú ÇÊ¿äÃæºÐÁ¶°ÇÀº

     ´ÙÀ½°ú °°À½À» º¸¿©¶ó.

        

(Áõ¸í)

 

(2) ÀÇ ¿µ¾Æ´Ñ º¤Å͵éÀÇ ÁýÇÕ °¡

    Á÷±³(o.g.) ÁýÇÕÀ̸é, ´Â ÀÏÂ÷µ¶¸³ÁýÇÕÀÌ´Ù.

(Áõ¸í)

 

   À§ÀÇ ¹®Á¦µéÀÌ ¿©·¯ºÐ ½ÃÇè Áغñ¿Í ¿¹½À¿¡ µµ¿òÀÌ µÇ±â¸¦ ¹Ù¶ø´Ï´Ù. À̻󱸱³¼ö

anir04.gif