이상구교수의 강의실: Old Exams

 

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(99, 가을)      선형대수학    (Midterm)                  /

 ______________________________________________________________   / 100 __

시간 : 50분       학과:          학번:           이름:

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1.  맞으면 (0) 표를  틀리면 (x) 표를 하시오.

(  )  1. If rank()=rank() then rank()=rank().

(  )  2. ,

(  )  3. If

(  )  4. 이다.

 

II. State (서술하시오).                            

1.  Cauchy-Schwarz 부등식: for all x, y in R^n.

     ______________________________   (등호성립 iff    ________________)

2. (V, +,) 가 벡터공간이다 if 2개의 기본법칙 (1) ___________________

   (2)___________________________  를 만족하고 8개의 연산법칙을 만족.

 

III. Find   (계산은 뒷면 이용 바람)

1.

                                    _____________

2.   의 외적을 구하시오.

 

                                                ______________________

3. Find adjoint of A where

  A=

 

                                               _______________________

4. 아래 연립방정식이 무수히 많은 해를 갖기 위한 의 조건을 구하라.

 

              

                                                ______________________

 5.  차의 정사각행렬 가 가역이고 다음 식을 만족할 때 을 구하시오.  

        

                                                ________________________

IV  Prove the followings in detail.  Let

1. 대각합을 이용하여 다음을 만족하는 차의 정사각행렬 는 존재하지 않음을 증명하라.

    

 

2.  정사각행렬 의 두 행이 일치하면 이다.

   (또는 정사각행렬 의 한 행의 성분이 모두 0이면 이다. )

 

3. 점 에서 평면 에 이르는 거리 를 구하라.

 

4. 의 (n-1)by(n-1) minors를 생각하여 임을 보여라.

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(Sample)       선형대수학    (Final EXAM)            

______________________________________________________________

시간(2:00-2:50, 31151) 학과:       학년,학번:           이름:

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I. 맞으면 (0) or 틀리면 (x) 표 하시오.

(  )  1. 만일 의  해 이면

         역시 의 해이다.

(  )  2. 만일  이면 이다.

(  )  3.  

(  )  4. 만일  이면 이다.

 

II. 다음을 정의하라. , 일 때,

(1) 의 여인자(Cofactor) =

                                        _____________________             

(2) 벡터 :

 

                                           

 __________________________________________________________

 

(3) 선형변환에 대한 "Rank-Nullity 정리"를  서술 하시오

 

 

___________________________________________________________

 

III. Find:

 1. 아래 행렬의 역행렬을 구하라.

       

                                              __________________

 

 2. 위 행렬의 고유값을 구하라.

 

                                     

                                    ---------,-------,--------

3. 다음에서 의 벡터 을 주어진 벡터들의

  일차결합으로 나타내라.

    

 

=   __________________________________________________________

4. 아래 행렬의 rank와 nullity를 구하라.

   

 

                                rank _______________  nullity ________

 

IV. Prove.

1. 가 벡터공간 의 부분공간이고 를 다음과 같이

   정의하면 의 부분공간임을 증명하라.

      

pf.

 

 

2. 의 해집합이라 할 때,

    span 에 속하는 모든 벡터는 의 해임을 증명하라.

pf.

 

3. 연립방정식 가 해를 가질 필요충분조건은 다음과 같다.

             

pf.

 

4. 의 고유값이면 의 고유값임을 보여라.

pf.

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(Sample)      행렬론    (Quiz 1 )                     

______________________________________________________________/ 10

시간 : 10분       학과:          학번:           이름:

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1. (5점) 158쪽 차원 벡터공간이고 선형변환 이 전사이면

  임을 보여라. [또는 rank-nullity 정리를 쓰고 증명하라 (3점)]

 

2. (5점) 180쪽로의 선형변환 with 기저

    일 때 행렬표현 을 구하시오.

 

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(Sample)       행 렬 론    (Mid. Term I )                           /

______________________________________________________________/ 100

시간 : 60분  학과:          학년, 학번:           이름:

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I. 맞으면 (0) or 틀리면 (x) 표 하시오.

  (  )   1. Gram-Schmidt 정규직교화과정은 임의의  n 개의 벡터들의 집합

           으로부터 n 개원을 갖는 정규직교집합을 건설 할 수 있다.

  (  )   2. 만일 L.T. 이고 이면, 이다.

  (  )   3. 에 대해이다.

  (  )   4. 가 직교대각화 가능하다  iff   는 대칭행렬이다

II. 다음을 정의하라.

(1) 선형변환에 대한 "Rank-Nullity 정리"를  서술 하시오

 

 

___________________________________________________________

III. Find

1. 선형변환 with 기저** 일 때 행렬표현을 구하라.

                                    _______________________________________

2. 에 대하여 내적을 다음과 같이 정의할 때,

         일때 함수의 노름을     구하라.

                                     ______________________________________

3. 행렬일 때,되게 하는 가역행렬 P를 구하라.

                                      

IV. Prove the followings in detail.

1. 의 고유값이면 의 고유값임을 보여라.

Pf.

 

2. 실(real) 직교(othogonal)행렬 의 고유값의 절대값은 1임을 보여라.

Pf.

 

3. 정사영을 이용하여 복소내적공간 에서의 (Cauchy-Schwarz 부등식) 을 보여라.

Pf

 

4.  II-3의 , 를 이용하여

      임을 보여라.

Pf

 

5. Project 에 대해 아래를 채우라. [ 내 주소는 : sglee@yurim.skku.ac.kr ]

(1) 본인의 Project 제출 예정 일자: 5월7일 (또는 5월  일)

(2) 진행과정의 일부 (또는 전부)를 조만간 본인에게 e-mail 로 보낼 것인가? (  )

(3)  제  목  :

 

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(Sample)      행렬론    (Final)            /

  ______________________________________________________________  / 150 __

시간 : 90분       학과:          학번:           이름:

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1. (30점) 맞으면 (0) 표를  틀리면 (x) 표를 하시오.

(  )  1. 가역행렬 가 대칭행렬이면 도 대칭행렬이다.

(  )  2. 이고 이 영행렬이면 의 고유값은 모두 0 이다.

(  )  3. 이다.

(  )  4. 만일 가 대칭행렬이 이다

(  )  5. 가 대각화가능하면 도 대각화가능이다.

(  )  6. 이고 는 적어도 하나의 양의 고유값을 갖는다.

II. (50점) Find                            

1.  은?                     

                                                 Ans.   ____________.

2. 의 그래프의 개형 을 그려라.

                                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. 초기조건 을 만족하는

  다음 연립미분방정식의 해를 구하라.

     

 

  답.   =         +        

 4. where일 때, least square solution

  를 구하고 오차(error) 를 구하라.

 

 

Ans. =___________. ,  ____________.

 

III (60점) Prove the followings in detail.

1. 행렬에 대해

   필요충분조건은임을 보여라.

 

2.  다음 이차형식이 양의 정부호(positive definite)인지 아닌지를 보여라.

   

 

3. 유클리드 내적이 정의되어 있고 가 유니타리행렬 일 때

  의 고유값이면 임을 보여라.

 

4. 행렬 의 고유값들의 합은 와 같음을 증명하라.

 

5.   (즉, ) 의

  (1) 동반행렬(Companion Matrix) 를 구하라.

  (2) 위의 의 특성방정식 을 구하라.

  (3) 점 도표를 이용하여 행렬 의 Jordan 표준형 를 구하라.

  (4) 위의 의 minimal polynomial 를 구하라.

 

답:

 (1)                              (3)

 

 

 (2)  =                     (4) =

IV. (10점) 행렬 와 닮음임을 보이시오.

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(1996, 가을)  선형대수학과 응용 (중간고사)       

____________________________________________________       / 100

시간 : 50분  학년:        학번:                  이름:

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1.  점 에서 평면

    이르는 거리 를 구하라.

 

                                               답 _________________________

2.  세점 (0 , 3)  (1, 1)  (2, -5) 을 통과하는 포물선을 구하라

 

                                              답 _________________________

3. 차의 정사각행렬 가 가역일 때,

    다음을 보여라.

       .

                                     

 4.  다음 등식이 성립함을 보여라.

    

 

5. 원점 O 를 품는 평면상의 삼각형 OAB의 면적이

    임을 보여라.

 

6.   향수 회사가 이익을 극대화시키기 위해 상품 가격의 모델링을 하고자 한다. 하나의 방법으로서  가격이  1병당

 원 하면 개 ( 단위는 천개 )를 팔 수 있다는 선형 방정식을 찾고자한다.  이것을 위해 향수 회사는 4개의 도시에

향수를 시험 판매하여 다음과 같은 결과를 얻었다.

 

 

도시 1

도시 2

도시 3

도시 4

x

6.25

6.75

8.00

8.75

y

6.03

5.62

4.78

4.34

최소제곱 다항식 를 구하고,  판매 가격을 병당 1원 올릴 때 주당 판매 개수의 변화를 말하시오

 

                                                        답 _________________________

7. 그간 수업에서 보고 배운 내용중 하나만을 골라 그 내용을 구체적으로

   서술하시오. (예, 수학 Program, Video Tape, 응용, 강연등)

 

8. Project (Proposal) 에 대해 아래를 채우라.

     (제출 예정 일자: 11월 13일) [ 문의와 제출은 수시로 : sglee@yurim.skku.ac.kr ]

(1) 제목은?            _____________________________________

(2) 공동연구원은?(  명) _____________________________________

(3) 이용할 참고자료나 시설, 물어 볼 사람은?

(4) 하려는 내용은 구체적으로 쓰면?

(5) 어떤식으로 연구를 진행 시킬것인가?

 

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  (More Sample)  LINEAR ALGEBRA  (자연과학부 기타 )       /

   ____________________________________________________  /  100

시간 : 60분  학과:          학년+학번:             이름:

------------------------------------------------------------

I. 맞으면 (0) or 틀리면 (x) 표 하시오.  

  (  )   1.   

  (  )   2.   집합 의 기저이다.

  (  )   4.    가 대칭행렬이면, 도 대칭행렬이다

   (  )   6   

  (  )   7.    Gram-Schmidt 정규직교화과정은 임의의  n 개의 벡터들의 집합

             으로부터 n 개원을 갖는 정규직교집합을 건설 할 수 있다.

  (  )   8.    2차이하의 다항식들의 벡터공간의 벡터

            에 대하여 의 기저이다.

  (  )   9.   벡터공간 의 벡터가 일차독립이면

            도 일차독립이다.

II. Define 또는  Find.

(1) (정의) 의 Laplace 여인자 (cofactor) 전개;           

                         where

                           _______________        ___________________

(3) 아래 행렬식을 구하라.

                 

    Ans _______________.

(4)

   A = , C = , B = ,  

   일 때 대각합는?                     Ans ____________,

(5)  차의 정사각행렬이고 일 때, 다음을 구하라.

     (1) =    ________________  (2)    = ______________

(6) 다음 행렬 의 계수(rank)와 의 해공간의 기저및 차원(nullity)을 구하라.

                          

 Ans. rank(A)=_____ , 해공간의 기저 { __________________________ },  nullity(A) =________

(7) Gram-Schmidt 정규직교화 과정을 이용하여 **을 정규직교기저로 변환하라.

 

 

III. Prove:

(1) 연립방정식이 해를 가질 필요충분조건은

     다음과 같음을 보여라.

        

(증명)

 

(2) 의 영아닌 벡터들의 집합

    직교(o.g.) 집합이면, 는 일차독립집합이다.

(증명)

 

   위의 문제들이 여러분 시험 준비와 예습에 도움이 되기를 바랍니다. 이상구교수

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