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다음 정리는 대각화가능하지 않은 행렬이라도 대각선행렬과 유사한 행렬과 닮음(similar)이 되도록 만들 수 있다는 것을 보여준다.

정리 8.8

${\mathit{n}}$ 차의 정사각행렬 ${\mathit{A}}$ 가 ${\mathit{(1 \leq t \leq n)}}$ 개의 일차독립인 고유벡터를 가지면 ${\mathit{A}}$ 는 다음과 같은 행렬 ${\mathit {J_{A}}}$ 와 (유니타리)닮음이다.

$\begin{displaymath} { {\mathit{J_{A}}} = \left( \begin{array} {cccc} {J_{1}} &... ... & \\ & & {\ddots} & \\ 0 & & & {J_{t}} \end{array} \right)}\end{displaymath}$

여기서, ${ {\mathit{J_{k}}} = \left( \begin{array} {cccc} {{\lambda}_{i}} & 1 & & 0 \\... ...dots} & \\ & & {\ddots} & 1 \\ 0 & & & {{\lambda}_{i}} \end{array} \right) }$ , ${\mathit{(1 \leq k \leq t)}}$ 이고, 이를 ${\mathit{A}}$ 의 고유값 ${{\lambda}_{i}}$ 에 대한 하나의 Jordan block이라 부른다. 이때 ${\mathit {J_{A}}}$ 를 ${\mathit{A}}$ 의 Jordan 표준형(Jordan canonical form)이라 한다.

위의 정리에서 각 Jordan block ${\mathit{J_{k}}}$ 는 대각선 성분으로 같은 고유값 ${{\lambda}_{i}}$ 를 갖는 상삼각행렬(upper triangular matrix)이다.
특히, ${\mathit{A}}$ 가 ${\mathit{n}}$ 개의 일차독립인 고유벡터들을 갖는다면 ${\mathit{n}}$ 개의 Jordan block을 갖는 Jordan 표준형을 갖고, 대각선행렬과 닮은행렬이 된다.

또한, 하나의 고유값 ${{\lambda}_{i}}$ 의 중복도가 ${\mathit{m}}$ 이고 이에 대응하는 ${\mathit{k}}$ 개 ${\mathit{(k {\leq}m)}}$ 의 일차독립인 고유벡터들을 갖는다면 ${\mathit{A}}$ 는 ${{\lambda}_{i}}$ 를 대각선성분으로 갖는 ${\mathit{k}}$ 개의 Jordan block과 또 다른 고유값에 대응하는 Jordan block들을 갖게 된다. 그리고 ${{\lambda}_{i}}$ 에 대응하는 모든 Jordan block들의 크기의 합은 ${{\lambda}_{i}}$ 의 중복인 ${\mathit{m}}$ 이 된다. 따라서, 대각선행렬은 Jordan 표준형의 한 특수한 경우이다.

어떤 행렬 ${\mathit{A}}$ 의 Jordan 표준형 ${\mathit {J_{A}}}$ 는 ${\mathit{P^{-1}AP=J_{A}}}$ 가 되게 하는 가역행렬 ${\mathit{P}}$ 를 몰라도, 각 고유값의 중복도와 그 고유값에 대한 고유공간(eigenspace)안에 있는 1차독립인 고유벡터들의 수 (즉, 고유공간의 차원)에 의하여 대부분은 바로 결정된다. 물론, 경우에 따라 ${\mathit{P^{-1}AP=J_{A}}}$ 되는 행렬 ${\mathit{P}}$ 를 구하는 것이 꼭 필요할 때도 있다.

이제, 예를 통하여 Jordan 표준형의 성질과 ${\mathit{J_{A}, P}}$ 를 구하는 과정을 알아 보자.

【예제 1】

5차의 정사각행렬 ${\mathit{A}}$ 가 중복도 5 인 고유값 ${\lambda}$ 하나만을 갖고 ${\lambda}$ 에 대응하는 일차독립인 고유벡터를 단 하나 갖는다면 ${\mathit{A}}$ 의 Jordan 표준형은

$\begin{displaymath} { {\mathit{J_{A}}} = \left( \begin{array} {ccccc} {\lambda} ... ... {\lambda} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & {\lambda}\end{array} \right)}\end{displaymath}$

이다. 왜냐하면 ${\mathit{A}}$ 의 일차독립인 고유벡터는 하나밖에 없기 때문이다. ¶

이제 행렬 ${\mathit{A}}$ 의 Jordan block의 성질을 분석해보자. ${({\mathit{J_{A}}}-{\lambda}{\mathit{I}})}$ 는 다음성질을 갖는 ${\mathit{R^5}}$ 상의 선형변환이다.

$\begin{displaymath} { {({\mathit{J_{A}}}-{\lambda}{\mathit{I}}){x}} = \left( \be... ...n{array} {c} x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ 0\end{array} \right)} \end{displaymath}$

그런데, ${\mathit{e_1, e_2, e_3, e_4, e_5}}$ 가 ${\mathit{R^5}}$ 의 표준기저일 때 ${({{\mathit{J_{A}}}-{\lambda}{\mathit{I}}}){e_1} = 0}$ 이고 ${( {\mathit{J_{A}}}-{\lambda}{\mathit{I}}){e_{i}} = {e_{i-1}},\: i = 2, 3, 4, 5 }$ 이므로 ${\mathit{e_1}}$ 은 ${\lambda}$ 에 대응하는 ${\mathit {J_{A}}}$ 의 하나뿐인 일차독립인 고유벡터이다. ${({\mathit{J_{A}}-{\lambda}{\mathit{I}}})^{i}{e_{i}} = 0, (i = 2, 3, 4, 5 )}$ 이고 이 식은 ${({{\mathit{J_{A}}}-{\lambda}{\mathit{I}}}){x} = 0}$ 과 비슷한 꼴이므로 ${{\mathit{e_{i}}}, (i = 2, 3, 4, 5)}$ 가 ${\mathit {J_{A}}}$ 의 고유벡터는 아니지만 고유벡터와 유사한 성질을 갖게 된다. 이런 ${{\mathit{e_{i}}}, (i = 2, 3, 4, 5)}$ 를 ${\mathit {J_{A}}}$ 에 대한 일반화된 고유벡터 (generalized eigenvector)라고 한다.

일반적으로 ${\mathit{{P}^{-1}AP}}$ 의 Jordan 표준형 ${\mathit {J_{A}}}$ 가 되는 행렬 ${\mathit{P}}$ 를 구하는 문제를 "일반화된 고유벡터를 구하는 문제" 라 하는데, 이것은 이책의 수준을 넘어서므로 여기서는 다루지 않기로 한다.

이춘재가 이상구교수님 교재에서 정리