정규시스템(normal system), 최소제곱해(least square solution)

주어진 데이터에 가장 근사한 직선 (1)의 계수 , 를 구하는 방법에 대하여 알아보자

주어진 데이터의 점을 식 (1)에 대입하면, 2개의 미지수 , 를 갖는 연립 일차방정식

                                                     (2)

을 얻는다. (이 연립방정식은 해를 갖지 않을 수도 있다.)  이 식은

                                                                                (3)

의 형태로 쓸 수 있다. 여기서, 는 각각 다음과 같다.

식 (3)의 양변에 를 곱한

                                                                                  (4)

를 식 (3)에 관한 정규시스템(normal system)이라 하며, 이 정규시스템의 해를 연립방정식 (2)의 최소제곱해(least square solution)라고 한다.

식 (4)를 다시 쓰면

이고, 행렬의 곱을 계산하면 주어진 개의 데이터의 점에 가장 근사한 직선 를 구할 수 있는 다음 정규 시스템을 얻을 수 있다.  

                                            (5)

식 (5)의 해 가 연립방정식 (2)의 최소제곱해이다. 번째 방정식에서의 오차는 축 거리 이다.  이것은 방정식 에 를 대입해 보면 알 수 있듯이, 값과 값 사이의 차이이다.  최소제곱법의 해인 는 이 오차들의 제곱의 합인

을 최소화시키는 직선 를 결정한다.  이것은 최소제곱법을 이용하여 주어진 데이터로부터 가장 근사한 직선을 찾았다는 의미이다.

 사실 정규시스템의 방정식 (5)를 기억할 필요는 없다. 왜냐하면, 로부터 얻어진 정규 시스템 의 해 를 쉽게 구할 수 있기 때문이다. 요약하면 주어진 데이터의 값 에 오차가 가장 작은 직선 를 찾기 위해서는

                                          (6)

의 최소제곱해(least square solution) 를 찾으면 된다.

 

  (이익의 극대화를 위한 근사직선)

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