공학도를 위한 선형대수학
- 기술고시에 주로 나는 선형대수 관련 문제와 답을 정리했습니다. -
Note : 공대에서 쓰는 번역된 수학 용어가 (적절하게 번역인 안된 공업수학 교재의 용어를 쓰므로) 현재 우리가 수학에서 쓰는 올바른 용어와 다른 점이 있음을 유의하세요. 문제는 주로 고유값, 고유벡터, 행렬의 대각화를 알면 대부분의 문제는 풀 수 있답니다.
1. 선형 시불변 시스템(TIME INVARIANT SYSTEM)의 상태방정식(DYNAMIC EQUATION)이
=AX(t)+BU(t) 일 때 A=
, B=
에 대한
상태 전이 행렬(
STATE TRANSITION MATRIX) 
를 구하라.
Sol) sI-A = s
- 
= 
- 
= 
,
= 
=- 
,
= 
[ 
]= 
2. 행렬 A에 대한 고유값(Eigenvalue)가 다음과 같을 때 고유벡터를 구하라.
A=
Sol) 1) 
=2일 때 
X= 
, 
= 
2 x-6 y+5 z=0, -x+2 y-2z=0,
x=1, y=
, z=-1 그러므로, X= 
2) 
일 경우 ( 
)X= 
,
= 
, x-6y+5z=0, -x+2y-2z=0,
x=1, y=
, z= 
그러므로 X= 
3) 
일 때 ( 
)X= 
,
= 
, x-6y+5z=-1, -x+y-2z= 
,
x=1,
y=
, z= 
그러므로 X= 
4) 고유벡터들로
만든 행렬 P =
3. 다음 상태방정식(DYNAMIC EQUATION, STATE EQUATION)을 대각화하라.
A=
, B=
Sol) 고유값(EIGENVALUE)과 대응하는 고유벡터로 만든 행렬 P 를 이용하여,
P=
, 
AP= 
, 
B= 
.
4. 다음과 같은 상태방정식(DYNAMIC EQUATION)에서 질문에 답하시오.
, Y=
X
a). BIBO(BOUNDED INPUT BOUNDED OUTPUT) STABILITY를 판별하라.
b). 평형상태(EQUILIBRIUM STATE)를 계산하라.
c). 점근안정(ASYMPTOTICALLY STABILITY)을 판별하라.
Sol). a) 유한입력에 대해 유한출력이 존재하면, BIBO STABLE이다. 여기서 안정도는 특성방정식의 근이 좌반면에 존재해야한다.
전달함수 G(S)=
= 
즉 극점, 영점이 소거되어, 특성방정식의 근이 -1(좌반면에 존재)이므로 STABLE한
SYSTEM이다.
b). 평형상태(EQUILIBRIUM STATE)는 임의의 상태(평형 상태)에 도달한 후 어떠한 입력도
가해지지 않았다면, 궤적은 영원히 그 자리에 머문다. 이때 그 상태를 평형 상태라고 한다.
즉,
U(t)=0 그러므로 
,즉 기울기의 변화가 없을 때 를 말한다.
LTI (Linear Time Invariant) system에서 nonsingular matrix인 경우는 1개의 상태존재, singular matrix일 경우는 여러개 존재함.
c). 점근안정은 입력이 0일 때 초기상태에 의한 응답의 안정도이다. 이 경우는 특성방정식의 근이모두 좌반면에 존재해야한다.
여기서는 
즉, 
, 근은 1,-1. 따라서, 우반면 근이 존재하기
때문에, 이 system은 불안정하다.
5. 다음상태 방정식의 상태전이행렬(state transition matrix) , 상태방정식(state equation)을 구하라.
=
+
r
단, t>=0 에 대해 입력 r(t)=u(t) 이다.
sol) 
= 
[ 
] 이다.
(
)= 
.
그러므로, 상태천이행렬 
= 
상태천이 방정식 x(t)=
[ 
]X(0)+ 
[ 
BR(s)]
[
B R(s)]= 
6. 상태방정식이 다음과 같을 때 위상변수표준형(phase variable canonical form) 을 구하여라.
A1y(t)
+ B1u(t) = 
y(t)+
u(t)
sol) 1) S=[B AB 
B]
AB =
, 
B= 
, S= 
2) Q=
= 
3) A1= QA
= 
, B1=QB= 
7. 다음의 미분방정식으로 표시된 선형시불변 제어계(control system) 에 대하여 다음에 답하여라.
+2
+c(t)=r(t)
가) 상태전이행렬(state transition matrix)은?
나) 특성방정식과 고유값(characteristic equation & eigenvalue)은?
sol) 가) 상태천이행렬 : 상태변수를 지정 x1=c, x2=
,
상태방정식
=x2, 
=r-x1-2x2
그러므로
=
+
r c=
,
상태천이행렬
sI-A=
따라서,
=
특성방정식과
고유값: 
=0 따라서,
+2s+1=0, 고유값은 -1.
8. 
=
+
이와 같이 묘사된 계통에 대하여 다음을 답하라.
가) 위 계통의 가제어성(controllability)을 판별하라.
나) 위 계통의 행렬을 대각화하라.
sol) 가제어성
S =[B AB 
B ... 
B] 와 같은 행렬이 full rank (즉, N)을 가지면 ,즉 
가 0이 아니면, 가제어하다고 한다.
AB=
, S=
이와 같이 S가 정사각행렬이 아닐 경우에 는 S
를 구하여 
가 0이 아니면 가제어하다.
S
=
DET(S
)=0, 가제어 하지 못하다.
나) 대각화 : 고유값 
=0 s=-2,-3
고유벡터
P1=
,P2=
,
= AP=
, 
=
B=
,
따라서,
=
y(t)+
u(t)
**가제어성(controllability)의 정의**
선형시불변계의 동태 방정식이 다음과 같이 기술되었을
때 
=AX(t)+Bu(t), C(t)=DX(t)+Eu(t) 유한 시간내에
상태량 X(t0)를 어떤 최종상태로 옮겨 갈 수 있는 부분연속적인 입력 u(t)가 존재한다면 x(t)는 t=t0에서 제어될
수 있다고 한다.
* 상태 방정식의 계통이 완전히 가제어되기 위한 필요 충분조건은 다음의 행렬이 rank N을 가져야한다.
S=[B
AB 
B .......
B]
**가관측성(observability)의 개념**
계통의 모든 상태변수가 출력에 영향을 주면 그 계통은 완전히 가관측하다고 한다. 만약 상태 변수중의 어느 하나라도 출력을 측정한것으로 부터 관측될 수 없다면 그 상태변수는 관측될 수없다. 또는 그 계통은 가관측되지 못하다고 말하거나 간단히 가관측에 있지않다고 말한다.
= AX(t)+Bu(t), C(t)=DX(t)+Eu(t) 의 계통이 완전히
가관측될 수 있기 위한 필요 충분조건은 다음의 행렬이 N의RANK를 갖는 것이다.
V=[D' A'D' (A')
D'......
D']이 조건은 [A,D]쌍의 가관측성을 말해주기도 한다.
***가제어성.가관측성과 전달함수(transfer function)와의 관계***
만약 선형제어계의 입.출력 전달함수에서, 극점, 영점이 소거된다면 이 계통은 상태변수를 어떻게 정의하느냐에 따라서 상태가제어가 될 수 없거나 혹은 가관측하지 못하다.
만약 선형제어계의 입. 출력 전달함수에서, 극점, 영점이 소거되지 않는다면 이 계통은 항상 완전히 가제어성과 가관측성을 지닌 동태방정식(dynamic equation) 으로 표현될 수 있다.
9. 다음 미분 방정식에 대하여 전달함수, 가제어성, 가관측성을 조사하라..
+4
-3
=r1, 
+
+c1+2c2=r2,
sol) 1) 위 미분방정식의 양변을 라플라스 변환하고 초기치를 0으로 놓으면
C1+4sC1-3C2=R1
sC2+sC1+C1+2C2=R2
= 
따라서,
전달함수
행렬 G(s)=
2) 가제어성, 가관측성
전달함수에 대한정리에 대해서, 각 원소들이 극점 영점 소거를 갖지 않으므로 계통은 가제어 가관측하다.
10. 다음 시스템의 가제어성과 가제어성을 판별하라.
=
+
u , y=
sol) 가제어성 S=[B AB]=
,
=-1 
가 0이 아니므로 가제어하다.
가관측성 V=[D' A'D']=
, 
=0 그러므로 가관측하지 못하다.
** 그 외 행렬론 강의 내용중 공학에 도움이 될 내용의 일부는 다음과 같다.**
* JCF.
* Lagrange interplaton formular
* Sylvester interpolation formular
* minimal polynomial
* Ackerman formular
* 행렬 함수 
의 계산방법.(다다익선)
* Cayley-Hamilton 정리
* 닮음(similar, 상사)변환의 기본원리
(기술고시 합격한 전자공학과 조성봉군 정리- Edited by Prof. Sang-Gu Lee )
이상구교수의 읽고 보는 수학 자료실 (http://math.skku.ac.kr/~sglee)
ⓒ 2000 Prof. S.G.Lee, Dept. of Math of SungKyunKwan University