공학도를 위한 선형대수학

 

                    - 기술고시에  주로 나는 선형대수 관련 문제와 답을 정리했습니다. -

 

  Note :  공대에서 쓰는 번역된 수학 용어가 (적절하게 번역인 안된 공업수학 교재의 용어를 쓰므로) 현재 우리가 수학에서 쓰는 올바른 용어와 다른 점이 있음을 유의하세요. 문제는 주로 고유값, 고유벡터, 행렬의 대각화를 알면 대부분의 문제는 풀 수 있답니다.

 

1. 선형 시불변 시스템(TIME INVARIANT SYSTEM)의 상태방정식(DYNAMIC EQUATION)이

        =AX(t)+BU(t) 일 때 A=, B=에 대한

        상태 전이 행렬( STATE TRANSITION MATRIX)    를 구하라.

 

 

 2. 행렬 A에 대한 고유값(Eigenvalue)가 다음과 같을 때 고유벡터를 구하라.

 

                         A=

 

 

3. 다음 상태방정식(DYNAMIC EQUATION, STATE EQUATION)을 대각화하라.

 

              A=, B=

 

 

4. 다음과 같은 상태방정식(DYNAMIC EQUATION)에서 질문에 답하시오.

 

 

         ,     Y=X

 

   a). BIBO(BOUNDED INPUT BOUNDED OUTPUT) STABILITY를 판별하라.

   b). 평형상태(EQUILIBRIUM STATE)를 계산하라.

   c). 점근안정(ASYMPTOTICALLY STABILITY)을 판별하라.

 

  

5. 다음상태 방정식의 상태전이행렬(state transition matrix) ,  상태방정식(state equation)을 구하라.

 

                        =+r

 

         단, t>=0 에 대해 입력 r(t)=u(t) 이다.

 

 6. 상태방정식이 다음과 같을 때 위상변수표준형(phase variable canonical form) 을 구하여라.

 

         A1y(t) + B1u(t) = y(t)+u(t)

 

 7. 다음의 미분방정식으로 표시된 선형시불변 제어계(control system) 에 대하여 다음에 답하여라.

 

 

                +2+c(t)=r(t)

 

 

     가) 상태전이행렬(state transition matrix)은?

     나) 특성방정식과 고유값(characteristic equation & eigenvalue)은?

 

sol) 가) 상태천이행렬 : 상태변수를 지정 x1=c, x2=,

          상태방정식 =x2, =r-x1-2x2        

           그러므로     =+r      c=,

           상태천이행렬 sI-A=  따라서,=

 

            특성방정식과 고유값: =0 따라서,+2s+1=0, 고유값은 -1.

  

8. =+ 이와 같이 묘사된 계통에 대하여 다음을 답하라.

 

   가) 위 계통의 가제어성(controllability)을 판별하라.

   나) 위 계통의 행렬을 대각화하라.

 

 

 sol) 가제어성 S =[B  AB  B ...   B] 와 같은 행렬이  full rank (즉, N)을 가지면 ,즉    가 0이 아니면, 가제어하다고 한다.

 

        AB=, S= 이와 같이  S가 정사각행렬이 아닐 경우에 는  S 를 구하여 가 0이 아니면  가제어하다.

        S= DET(S)=0, 가제어 하지 못하다.

  

나) 대각화 : 고유값 =0  s=-2,-3  

             고유벡터 P1=,P2=,

             = AP=, =B=,   

             따라서, =y(t)+u(t)

 

 

**가제어성(controllability)의 정의**

 

   선형시불변계의 동태 방정식이 다음과 같이 기술되었을 때  =AX(t)+Bu(t),     C(t)=DX(t)+Eu(t)   유한 시간내에 상태량 X(t0)를 어떤 최종상태로 옮겨 갈 수 있는 부분연속적인 입력 u(t)가 존재한다면 x(t)는 t=t0에서 제어될  수 있다고 한다.

 

* 상태 방정식의 계통이 완전히 가제어되기 위한 필요 충분조건은 다음의 행렬이 rank N을 가져야한다.

                     S=[B AB B .......B]

 

 

 

**가관측성(observability)의 개념**

 

계통의 모든 상태변수가 출력에 영향을 주면 그 계통은 완전히 가관측하다고 한다. 만약 상태 변수중의 어느 하나라도 출력을 측정한것으로 부터 관측될 수 없다면 그 상태변수는 관측될 수없다. 또는 그 계통은 가관측되지 못하다고 말하거나 간단히 가관측에 있지않다고 말한다.

 

= AX(t)+Bu(t),     C(t)=DX(t)+Eu(t) 의 계통이 완전히 가관측될 수 있기 위한 필요 충분조건은 다음의 행렬이 N의RANK를 갖는 것이다.

 

V=[D' A'D' (A')D'......D']이 조건은 [A,D]쌍의 가관측성을 말해주기도 한다.

 

***가제어성.가관측성과 전달함수(transfer function)와의 관계***

 

만약 선형제어계의 입.출력 전달함수에서, 극점, 영점이 소거된다면 이 계통은 상태변수를 어떻게 정의하느냐에 따라서 상태가제어가 될 수 없거나 혹은 가관측하지 못하다.

만약 선형제어계의 입. 출력 전달함수에서, 극점, 영점이 소거되지 않는다면 이 계통은 항상 완전히 가제어성과 가관측성을 지닌 동태방정식(dynamic equation) 으로  표현될 수 있다.

 

 

9. 다음 미분 방정식에 대하여 전달함수, 가제어성, 가관측성을 조사하라..

  

              +4-3=r1,   ++c1+2c2=r2,         

  

 

 

 

10. 다음 시스템의 가제어성과 가제어성을 판별하라.

 

          =+u ,     y=

  

sol) 가제어성   S=[B AB]=,  =-1  가 0이 아니므로 가제어하다.

 

 가관측성   V=[D' A'D']=,  =0 그러므로 가관측하지 못하다.  

 

** 그 외 행렬론 강의 내용중 공학에 도움이 될 내용의 일부는 다음과 같다.**

 

                           (기술고시 합격한 전자공학과 조성봉군 정리-  Edited by Prof. Sang-Gu Lee )

 

이상구교수의 읽고 보는 수학 자료실  (http://math.skku.ac.kr/~sglee)         

이상구교수 2000년 1학기 강의 Schedule

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ⓒ 2000 Prof. S.G.Lee, Dept. of Math of SungKyunKwan University