Prof. S.-G. Lee's Galois theory

Galois 이론

정보공학과등에서 필요한 Galois 이론의 주요 정의과 결과를 요약했답니다. 참고 서적은 Beachy/Blair의 추상대수학, 제 2판, 1996을 이용했습니다. 졸업생들도 가끔 보며 기억을 되새기고 타과생 에게도 도움이 되면 좋겠군요. - 성대 수학과 이상구교수

1. Galois 군의 다항식

2. 중복근

3. Galois 이론의 기초정리

다항방정식(polynomial equation)을 근에 의한 해법(solvability by radicals)을 연구하기 위해 우리는 의 계수(coefficient)에 의해 생성된 체(field)를 라 놓고, 를 위의 의 분사체(splitting field)라 하자. Galois는 계수체(coefficient field)를 고정시킨 근의 순열(permutation)을 생각했다. 현대적인 접근 방법은 이러한 치환에 의해 결정된 자기동형사상(automorphism)을 연구한 것이다. 체 의 어떠한 자기동형사상이라도 주된 부분체( sub field )로 고정시켜 두어야만 한다는데 주목해야 할 것이다.

8.1.1. 명제. 를 의 확장체(extension field) 라 할 때, 모든 에 대하여 를 만족하는 모든 자기동형사상 의 집합은 함수의 합성 하에서 군을 이룬다.

8.1.2. 정의. 를 의 확장체라 할 때, 집합를 에 대한 의 Galois 군이라 부르고 로 표시한다.

8.1.3. 명제. 를 체라 하자. 라 하고, 를 에 대한 의 분 사체라 하자. 그러면 는 에 대한 의 Galois 군 또는 에 대한 방정식 의 Galois 군이라 한다.

8.1.4. 명제. 를 의 확장체라 하고, 라 하면 의 임의의 원소는 에 있는 의 근의 치환을 정의한다.

8.1.5. 보조정리. 를 중복 근을 갖지 않는 다항식이라 하고 를 에 대한 의 분사체 하자. 만약 가 에서 로의 동형체이고 는 에 대한 의 분 사체이면, 모든 에 대하여 를 만족하는 동형사상 은 정확히 로 존재한다.

8.1.6. 정리. 를 체라 하고, 이라 하자. 그리고 는 에 대한 의 분사체라 하자. 만약 가 중복 근을 갖지 않는다면, 이다.

8.1.7. 따름정리. 를 유한체라 하고 는 를 갖는 의 확장이라 하자. 그러면 는 차수 의 순환 군이다.

2. 중복근(multiple roots)

8.2.1. 정의. 를 에 속하는 다항식이라 하고, 는 에 대한 의 분사 체라 하자. 만약 가 에 대한 인수분해 를 가지면, 우리는 근 이 중복도 을 가진다고 말한다. 만약 이면, 를 simple 근이라 부른다.

8.2.2. 정의. 인 라 하자. 의 정식 도함수 가 공식 에 의해 정의된다. (단, 는 자기 자신을 번 더한 합이다.)

8.2.3. 명제. 다항식 가 중복 근을 갖지 않는다는 필요충분조건은 이다.

8.2.4. 명제. 가 체 에 대하여 더 이상 약분할 수 없는 다항식이라 하자. 그러면 는 이고 일 때만 중복 근이 없다.

8.2.5. 정의. 다항식 가 기약원소인 단순근(simple root)을 가지면 를 체 에 관하여 분리 가능하다라고 한다. 각 의 원소인 최소의 다항식이 분리 가능하다 라고 하면 의 대수적 확대체 가 에 관하여 분리 가능하다라고 한다. 에 관한 모든 다항식이 분리 가능하다면 체 를 완전하다 라고 한다.

8.2.6. 정리. 지수 0의 어떤 다항식도 완전하다. 지수 의 체가 완전하다는 필요충분조건은 체의 원소가 개의 근을 갖는다는 것이다.

8.2.7. 따름정리. 어떠한 유한 체도 완전하다.

8.2.8. 정리. 를 에 관한 유한확대라 하자. 만약 가 에 관하여 분리 가능하면, 는 의 단순확대라 한다.

3. Galois 이론의 기초정리

8.3.6. 정리. 다음 조건들은 의 확장체 와 동치이다.

(1) 는 분리 가능한 다항식 의 분 사체이다.

(2) 는 의 자기동영사상의 어떤 유한 군 이다.

(3) 는 의 유한확장, 정규확장, 분리 가능한 확장이다.

8.3.7. 따름정리. 만약 가 의 자기동형사상의 어떤 유한 군 에 대하여 를 만족하는 확장 체라 하면, 이다.

Example. 8.3.1. 상의 의 Galois 군은 차수가 n인 순환이고, 모든 에 대하여 로 정의된 자기동형사상 에 의해 생성된다.

8.3.8. 정리. [Galois 이론에 관한 기본정리] 를 체 상의 분리 가능한 다항식의 분사 체라 하고, 라 하자.

(a) 를 포함하는 의 부분 군 과 의 부분 체 사이에 순서를 역으로 하는 일대일 대응이 존재한다..

(ⅰ) 만약 가 의 부분 군이면, 대응되는 부분 체는 이고, 이다.

(ⅱ) 만약가 를 포함하는 의 부분 체이면, 대응하는 의 부분 군은 이고, 이다.

(b) 의 어떤 부분 군 에 대하여, 이고 이다.

기본 정리의 명제에 따르면 우리는 정규부분군은 정규확장에 대응된다고 간단히 말할 수 있다. 증명에서 만약 F가 의 정규확장이라면 모든 에 대하여 라는 것을 알 수 있다. 기본정리의 문맥에서 만약 을 만족하는 가 존재한다면 두 중간부분체 과 는 켤레라고 말한다. 우리는 이제 중간부분체 의 켤레 부분 체가 의 켤레 부분 군에 해당됨을 보였다. 따라서 가 정규확장이라는 것은 오직 그 자신만을 켤레로 갖는 것과 필요충분조건이다.

8.3.9. 명제.를 체 상에서 분리 가능한 다항식의 분사 체라 하고, 가 를 가지면서 를 만족하는 부분 체라 하자. 만약 , 이면 이다.

8.3.10. 정리. [대수학의 기본정리] 복소체 상의 모든 다항식의 집합 속하는 어떤 n 차 다항식도 에서 n 개의 근을 갖는다.

4. 근에 의한 해법

이 절에서 대부분의 결과에 있어서 약분할 수 없는 다항식이 중복 근을 가질 수 없다는 것을 증명하기 위해서 우리는 체가 지수 0을 갖는다는 것을 추정할 수 있다. 우리가 다항방정식이 근에 의해 풀이될 수 있다고 말할 때 우리는 해답이 사칙연산을 포함하거나 n제곱근을 취하는 각각의 유한수열의 단계의 계수에서 얻어질 수 있음을 의미한다. 오직 n제곱근의 풀이만이 좀더 넓은 체로 이끌어 낼 수 있고, 그리하여 우리의 형식적 정의로 부분 체의 항으로 나타낼 수 있고, 적합한 원소 에 대하여 에 관한 첨가의 식으로 나타내어진다.

8.4.1. 정의. 만약 (ⅰ), (ⅱ)를 할 때, 의 확장체 를 의 근의 확장이라 한다.

(ⅰ)

(ⅱ)를 만족하는 가 인 원소가 존재하면 의 확장 체 를 의 근의 확장이라 한다.

에 대해, 다항식으로 된 방정식 은 의 모든 근들을 포함하는 의 근의 확장 가 존재한다면 근에 의한 해법이라 있다.

8.4.2. 명제. 를 체 상에서 지수가 0인 의 분사 체라 하자. 그러면 는 가환군이다.

8.4.3. 정리. 를 모든 n번째의 단위로 하는 근들을 포함하는 지표가 0인 체라고 하고, 이고, 를 에 관하여 의 분산 체라 하자. 그러면 는 차수가 n의 약수인 순환 군이다.

8.4.4. 정리. p를 소수라 하고, 를 모든 p번째의 단위로 하는 근들을 포함하는 체라 하고, 를 의 확장이라 하자. 만약 이면 를 만족하는 어떤 에 대하여 이다.

8.4.5. 보조정리. 를 지수가 0인 것의 체라 하고, 를 의 근의 확장이라 하자. 그러면 거기에서 의 정규적인 근의 확장인 에 대한 의 확장이 존재한다.

8.4.6. 정리. 를 지수가 0인 체 에 관한 다항식이라 하자. 방정식 가 근들에 의해 풀릴 수 있다는 것은 에 관한 의 Galois군이 풀릴 수 있다는 것과 필요충분조건이다.

정리. 7.7.2. 이 일 때에는 풀리지 않음을 보여준다. 그리고 근들에 의해 풀리지 않는 n차식의 다항식 방정식의 한 예를 보여주기 위해, 우리는 에 관한 Galois 군이 인 n차식의 다항식을 찾아내기만 하면 된다.

8.4.7. 보조정리. 호환과 길이가 5인 순환을 모두 포함하는 의 어떤 부분군도 그 자체와 동일해야 한다.

8.4.8. 정리. 근으로 풀리지 않는 유리계수를 갖는 5차 다항식이 존재한다.

5. 원분다항식

8.5.1. 정의. n을 양의 정수라 하고, 를 복소수로 놓자. 일 때 이다. 가 n보다 작은 양의 정수의 집합에 속하고 n과 서로소일 때, 다항식 는 n 번째 원분다항식 이라고 한다.

8.5.2. 명제. n을 양의 정수라 하고, 를 n번째 원분다항식으로 놓자. 그러면 다음 조건을 만족한다.

(a)

(b)

8.5.3. 정리. n차 원분다항식 는 모든 양의 정수에 대하여 Q에 관하여 약분할 수 없다.

8.5.4. 정리. 모든 양의 정수 n에 대하여, Q에 관한 n차 원분다항식의 Galois군은 과 동형이다.

Example. 8.5.2. 정 n다각형을 만들 수 있다는 것은 이 제곱수이다 는 것과 필요충분조건이다. 만일 p가 홀수의 소수이고 가 제곱수이면 p는 반드시 꼴을 갖는다. 단, k는 제곱수이다. 그러한 소수들을 페르마의 소수라 한다. 유일하게 알려진 예로는 3, 5, 17, 257, 그리고 65537이 있다. 이것은 곧 정 17다각형을 만들 수 있다는 뜻을 내포한다.

곱셈의 교환법칙을 제외한 체의 모든 공리를 만족시키는 집합을 사체(斜體; division ring) 또는 비가환체(非可換體; skew field)라고 부른다.

8.5.6. 이론. [Wedderburn] 어떤 유한 사체(斜體; division ring)도 하나의 체(field)이다.

6. Galois 군의 계산

8.6.1. 정의. 집합 S에 대해 속하는 군을 라 하자. 만약 S에 속하는 각각의 순서쌍에, 라는 집합 에 속하는 요소 g가 존재한다면, 는 S 위에서 추이적(또는 전이적)(推移的 또는 轉移的)으로 이행되어 움직인다고 말한다. 만약 가 대칭군 의 부분 군이라면, 또 그것이 집합 위에서 추이 적으로 이행되어 움직인다면, 는 변환군(추이 또는 전이군)이라 불린다.

8.6.2. 명제.를 분 사체 안에 근을 갖는 체에 대해 분리 가능한 다항식이라고 하자. 그러면 가의 근에 추이 적으로 이행된다는 것은 가 에 대해 약분할 수 없다는 것과 필요충분조건이다.

8.6.3. 보조정리. p를 소수라 하고, 를 의 변환부분군이라고 하면, 의 자명하지 않는 어떤 정규부분군도 역시 변환 군이다.

8.6.4. 보조정리. p를 소수라 하고, 를 의 풀 수 있는 변환부분군이라 하면, 는 길이가 p인 순환을 포함한다.

8.6.5. 명제. p를 소수라 두고 를 해결가능하고, 의 변환부분군이라 한자. 그러면 를 p순서의 순환부분군의 안에서 정규화 하는 부분 군이다.

를 체 위의 n차 다항식이라 하고, 는 인 분 사체 의 근을 가진다고 가정하자. 의 원소 를 이라 정의한다. 이것을 인 모든 를 갖는 곱을의 판별식(discriminant)이라 부른다.

어떤 의 판별식은 의 계수로서의 다항식으로 정수 계수로 나타내어질 수 있다. 이는 기본 대칭함수로의 사용을 요구하며, 우리가 이 책에서 선택한 범위 밖이다.

우리는 다음과 같은 판별식(discriminant)의 성질을 알고 있다.

ⅰ) 이면 는 다른 근을 갖는다는 것과 필요충분조건이다.

ⅱ) ;

ⅲ) 이면 순열 인 것은 의 부호가 바뀌지 않는다는 것과 필요충분조건이다.

8.6.6. 명제. 를 체 안의 판별식 를 갖는 분리 가능한 다항식이라 하고, 를 안의 분 사체 하자. 그러면 에 속하는 모든 순열은 안의 어떤 원소의 제곱이라는 것과 필요충분조건이다.

우리가 지금 우리의 주의를 유리수 계수를 갖는 다항식에 한정하자. 다음 정리는 Galois군의 연산에서 정수 계수 다항식을 고려하기 충분하다는 것을 보여준다. 그러면 하나의 강력한 기교는 소수를 법으로 하여 정수 계수로 귀착시키는 것과 체에 관한 귀착된 방정식의 Galois군을 고려하는 것이다.

8.6.7. 정리. 라 하고, 에 대하여 Z 라 가정하자.

그러면 는 정수계수를 갖는 monic 이고, 로써 에 관한 같은 분 사체(splitting field)를 갖는다.

만약 p가 소수이면, 우리는 자연함수 를 얻는데 이것은 각각의 계수를 p로 나눈 것이다. 우리는 이제 로 표시하여 사용할 것이다.

정리 [ Dedekind ]. 를 정수 계수와 Q에 대한 Galois군 를 가진 n차의 monic 다항식으로 놓고, p를 가 다른 근을 갖게 하는 소수라 하자. 만약 를 차들의 약분할 수 없는 하나의 곱으로써 에 속하는 인수라 하면 는 분해 순환를 가지는 순열을 포함하고, 적합한 근의 정렬에 관계한다.

Zorn's Lemma의 간단한 증명

Zorn's lemma에는 두 종류의 증명 형태가 있는데 일반적으로 교과서에서 찾을 수 있다.

이 중에서 하나는 〔1〕과〔2〕에서 주어진 증명 형태이고, 다른 하나는 서수와 초월 점화식을 사용한다. 이러한 기수의 목적이 약간은 서수 증명의 기미가 보이지만, 서수 증명을 요구하고 있지 않는다는 것이 Zorn's Lemma 증명의 제시이다.

기수법. 만약 가 집합 X에서의 반순서(半順序, partially order)이라면, 체인(Chain) 는 X의 부분집합 C가 순서 에 의해서 전 순서(totally ordered)된다. 공집합은 하나의 체인임을 주의하라.

만약 C가 X에서의 체인이고 이면, 우리는 이라고 정의할 수 있다. 의 형태를 가지고 있는 체인 C 의 부분집합을 C에서의 절면(節面;initial Segment)라고 부른다. 가 부분적으로 정렬된 집합 의 원소이고 인 원소 가 존재하지 않을 때 최대(maximal)가 된다고 한다. Zorn's Lemma (Hausdorff 최대 원리) 가 집합 에서의 반순서이고 에서의 모든 체인에 대해 위로의 유계를 갖는다고 가정하자. 그러면 는 최대의 원소를 갖는다.

모순을 얻기 위하여, 가 최대의 숫자를 갖기 않는다고 가정하자. 만약 C가 에서의 연쇄이라면, C의 위로의 유계 와 인 원소를 택함으로써 우리는 모든 에 대하여를 만족하는 인 원소를 얻을 수 있다. 이러한 원소 x는 C의 완전한 위로 유계이라고 불려질 것이다. 선택의 공리를 사용함로서 우리는 모든 연쇄 에 할당되는 함수 와 완전한 위로 유계 를 택하게 된다.

의 부분집합 가 만약 아래의 두 조건을 만족한다면, 의 부분집합 는 적합하다라고 부를 수 있다.

(a) 순서 는 집합 의 정렬 순서(well order)이다.

(b) 모든 원소 에 대하여 를 갖는다.

이제 의 적합한 부분집합들을 비교하기 위한 관찰을 할 수 있다.

만약 와 가 에 적합한 부분집합이고 이면, 이 두 집합 중 하나는 다른 하나의 절 면이 된다.

증명. 라고 가정해 보자. x를 의 가장 작은 원소라고 정의하면

이다. 우리는 라고 주장한다. 모순을 얻기 위해 라고 가정하고, y가 의 가장 작은 원소라 정의하자. 를 만족하면서 주어진 임의의 원소 와 에 대해서, 는 명백하다. 그러므로 만약 z가의 가장 작은 숫자라면 우리는 를 얻어내게 된다. 임에 주목하라. 그러나 이고, 이기 때문에 는 얻지 못 한다. 그러므로 이고, y의 선택이 모순되므로 라고 결론을 내릴 수 있다.

우리가 방금 증명한 적합한 집합의 비교성의 성질을 사용하면서, 만약 가 의 적합한 부분집합이고 이면 일 때는 언제나 또는 y는 적합한 집합에 속하지 않는다. 의 모든 적합한 부분집합의 합집합 를 쉽게 이끌어 낼 수 있고, 이 사실로부터 만약 이면 집합 은 적합하다고 추론할 수 있다. 그러므로 이고 가 의 위로 유계라는 사실과 모순이다.

Liouville 정리의 역

유리수에 의해 실 대수적 접근에 관한 Liouville의 정리를 보면 그 역이 참인지 자연스럽게의문을 갖게 된다. 즉, 어떤 양의 정수 k와 상수 c에 대하여 을 만족하는 식에서 단지 유한개의 유리수 가 존재한다면, 를 대수적 수라고 결론 지을 수 있겠는가? 여기 표준 교재 [1,2,3,4]에서 언급되지 않은 간단한 반례가 있다.

만약 가 연속되는 오직 1s와 2s만을 포함하는 연속 분수 표시의 숫자 집합이라면, A는 셀 수 없고 따라서 반드시 초월적인 숫자를 포함해야 한다. 그러나 만약 라면 는 어떠한 유리수의 접근에도 닫혀 있지 않다. 이 번째 수렴하는 것을 보여라. 어떤 간단한 연속인 분수에 대해이다.

그러나 문제에서 이므로 또는 이고, 고려하고 있는 수에 대하여 이니까 이다.

또한, 이 부등식은 어떠한 유리수 에 대해서도 성립한다. 왜냐하면 만약 이면 이기 때문에 가 수렴한다는 것을 알 수 있다.

이상구교수의 읽고 보는 수학 자료실 (http://math.skku.ac.kr/~sglee)

이상구교수 2000년 1학기 강의 Schedule