'98 선형대수학 OCU 1장 3절

웹노트(LA Web Note)


 이곳은 열린가상대학(Open Cyber University)에 소개하는 이상구 교수(Dr. Sang-Gu Lee) Linear Algebra WebNote 입니다. 학부 선형대수학의 강의록과 과제, Quiz와 답, 중간시험문제는 물론 토론을 위한 자유계시판, 예등이 있습니다.


제 1 장 연립일차방정식과 행렬 


  자연과학이나 사회과학의 다양한 문제들은 쉽게 연립일차방정식의 문제로 바꾸어 놓을 수 있기 때문에 연립방정식을 푸는 일은 중요하다. 연립방정식을 풀 때, 행렬을 이용하면 매우 편리하다. 이 장에서는 행렬을 정의하고 행렬의 연산에 대하여 알아본다. 또 행렬을 이용하여 연립방정식의 해를 구하는 방법을 소개하고, 행렬과 연립방정식의 해 사이의 관계를 살펴본다.


notebook.gif  오늘은 1장 3절 행렬연산의 성질을 학습합시다. 1.3절에서는 앞에서 정의된 행렬연산의 성질에 대하여 알아보겠습니다


OCU 1장 3절

(1.3) 행렬연산의 성질


          AB ≠ BA


[예제1]


정리 1.1  행렬 A, B, C 는 각 연산이 정의될 수 있는 적당한 크기의 행렬이고, a, b, c 가 스칼라일 때, 다음이 성립한다. <9가지성질>

(덧셈의 교환법칙) (덧셈의 결합법칙) (곱셈의 결합법칙) (좌분배법칙) (우분배법칙 등)

 

[증명]


[예제2]

[예제3]


  성분이 모두 0인 행렬을 영행렬(zero matrix)이라 하고, 0 으로 나타낸다.


정리 1.2  임의의 행렬 A 와 영행렬 0 에 대하여 다음이 성립한다.

            A+0=0+A=A

            A-A=0

            0-A=-A

            A0=0A=0


  주대각선성분이 모두 1인 n차의 스칼라행렬을 n차의 단위행렬(identity matrix)이라 하고  In 으로 나타낸다. 즉, A가 mxn 행렬일 때, 단위행렬 Im , In 에 대하여 다음이 성립함을 쉽게 알 수 있다.

            ImA = A = AIn


[예제4]


정 의  A가 n차의 정사각행렬일 때, A의 거듭제곱을 다음과 같이 정의한다.

           A0 = In , Ak = A ... A (k 개)


정리 1.3  A가 정사각행렬이고 r, s 가 음이 아닌 정수 일 때, 다음이 성립한다.

   


정 의  행렬 A=[aij ]m×n 에 대하여 A의 전치행렬(transpose of A)을 AT로 나타내 고 다음과 같이 정의한다.

 


[예제5]


정리 1.4  두 행렬 A, B 와 임의의 스칼라 k 에 대하여 다음이 성립한다.

 

[증명]


[예제6]


정 의  정사각행렬 A가 AT = A 를 만족하면 A를 대칭행렬(symmetric matrix)이라 하고, AT =-A 를  만족하면 반대칭행렬(skew symmetric matrix)이라고 한다.


[예제7]

[예제8]


[연습문제 1.3]


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starfish.gif 본 자료의 판권은 이상구교수와 OCU에 있습니다.   1998. 5. 25.