'98 선형대수학 OCU 1장 4절

웹노트(LA Web Note)


 이곳은 열린가상대학(Open Cyber University)에 소개하는 이상구 교수(Dr. Sang-Gu Lee) Linear Algebra WebNote 입니다. 학부 선형대수학의 강의록과 과제, Quiz와 답, 중간시험문제는 물론 토론을 위한 자유계시판, 예등이 있습니다.


제 1 장 연립일차방정식과 행렬 


  자연과학이나 사회과학의 다양한 문제들은 쉽게 연립일차방정식의 문제로 바꾸어 놓을 수 있기 때문에 연립방정식을 푸는 일은 중요하다. 연립방정식을 풀 때, 행렬을 이용하면 매우 편리하다. 이 장에서는 행렬을 정의하고 행렬의 연산에 대하여 알아본다. 또 행렬을 이용하여 연립방정식의 해를 구하는 방법을 소개하고, 행렬과 연립방정식의 해 사이의 관계를 살펴본다.


notebook.gif  오늘은 1장 4절 Gauss소거법과 Gauss-Jordan 소거법 행렬연산의 성질을 학습합시다. 1.4 절에서는 연립일차방정식을 푸는 익숙한 소거법을 체계화하여 유용한 해법을 얻도록 합니다.


OCU 1장 4절

(1.4) Gauss소거법과 Gauss-Jordan 소거법


정 의  mxn 행렬 E 가 다음 성질을 만족할 때, 행 사다리꼴(row echelon form)이라고 한다.

          (i) 성분이 모두 0인 행이 존재하면 그 행은 행렬의 맨 아래에 위치한다.

          (ii) 각 행에서 처음으로 나타나는 0이 아닌 성분은 1이다. 이때, 이 1을 그 행의 선행 성분(leading entry)이라고 한다.

          (iii) i 행과 i+1 행 모두에 선행성분이 존재하면 (i+1) 행의 선행성분은 i 행의 선행 성분보다 오른쪽에 위치한다.

              또, 행렬 E 가 행사다리꼴이고 아래의 성질도 만족하면 E를 기약 행 사다리꼴 (reduced row echelon form)이라고 한다.

          (iv) 어떤 행의 선행성분을 포함하는 열(column)의 다른 성분은 모두 0이다.


 


[예제1]

[예제2]

[예제3]


정 의  mxn 행렬 A에 관한 다음 연산을 기본행연산(elementary row operation)이라고 한다.

          E1 : A의 두 행 i 행과 j 행을 서로 바꾼다.

          E2 : A의 i 행에 0 이 아닌 상수 k 를 곱한다.

          E3 : A의 i 행을 k 배하여 j 행에 더한다.
 


( [예제 1] 참조 )

    E1 : Ri <--> Rj

    E2 : k Ri

    E3 : k Ri + Rj


정 의 행렬 A에 기본행연산을 시행하여 얻어지는 행렬을 B라 하면 A와 B는 행동치 (row equivalent)라고 한다.

[예제4]



단계 1.


단계 2.


단계 3.


idea.gifNote: 위의 행렬 A2를 다음과 같이 쓰기도 한다.

  A2= [1 2 -1 1 ; 0 2 1 -1 ; 3 5 -5 1 ]

<이 표현은 타이핑 할 때는 아주 편하며 MATLAB 프로그램의 명렬어이기도 하다>


단계 4.

    [ A3의 1 행의 선행성분 아래에 있는 모든 성분을 0 으로 만든다.]

  A3= [1 2 -1 1 ; 0 2 1 -1 ; 0 -1 -2 -2 ]

  A2의 1 행에 -3 배 하여 3행에 더했다.


단계 5.

  [ A_3 의 1행을 제외한 나머지를 B 라 하고 단계 1에서 단계 4를 반복한다.]

  B= [0 2 1 -1 ; 0 -1 -2 -2 ]

  (성분이 모두는 0이 아닌 가장 좌측열에서 시작) B의 1 행과 2행을 교환한다.

  B2= [0 1 2 2 ; 0 2 1 -1 ]

  B1의 1 행을 -1 로 나누었다.

  B3= [0 1 2 2 ; 0 0 -3 -5 ]

  B2의 1행의 -2배를 2행에 더했다.


단계 6.

  [ B_2 의 1행을 제외한 나머지를 C 라 하고 단계 1에서 단계 3을 반복한다.]

  C= [0 0 -3 5 ]

  (성분이 모두는 0이 아닌 가장 좌측열에서 시작한다)

  C1= C2 =[ 0 0 1 5/3 ]

  C의 1 행을 -3으로 나누었다.


따라서, 다음과 같은 A 의 REF을 얻는다.


[예제5]

[예제6]


정리 1.5 첨가행렬이 행동치인 두 연립일차방정식은 동치이다.


  위 정리에 의하여 연립일차방정식의 첨가행렬을 REF로 변형시켜 그 해를 구할 수 있다. 이러한 방법을 Gauss 소거법이라고 한다.


  한편, 정리 1.5에 의하여 연립일차방정식의 첨가행렬을 RREF로 변형시켜 해를 구할 수도 있다. 이러한 방법을 Gauss-Jordan 소거법이라고 한다.


[예제7]

[예제8]


  위의 Gauss 소거법과 Gauss-Jordan 소거법은 선형대수학에서 매우 중요하답니다. 이것을 이용하여 연립방정식도 풀고, 역행렬도 구할수 있으며 더 나아가 LU 분해도 할 수 있기 때문이며 역사적으로도 중요합니다. 그래서 시험에도 나고, 여러분이 필수적으로 알아두어야 할 계산이랍니다. 쉽게 프로그램을 짤수도 있으며, 그런 프로그램을 이용하는 것도 알려드리겠습니다만, 우선 손으로 구하는 법을 익혀 두시기 바랍니다. 그러나 큰 행렬의 경우 계산이 너무 많으므로, 3주차에는 HLINPRAC (이나 MATLAB등)을 이용하여 쉽게 계산하는 법을 알려 드리겠습니다.


[연습문제 1.4]  


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Quiz

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starfish.gif 본 자료의 판권은 이상구교수에게 있습니다.   1998. 5. 25.